رقم بريونو

في الرياضيات ، عدد برونو (يكتب أحيانًا برونو أو بريونو ) هو نوع خاص من الأعداد غير النسبية سمي على اسم عالم الرياضيات الروسي ألكسندر برونو ، الذي قدمها في كتابه برونو (1971) .

عدد غير نسبي${\displaystyle \alpha }$يُطلق عليه اسم عدد بريونو عندما يكون المجموع اللانهائي

${\displaystyle B(\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$

يتقارب إلى عدد محدود.

هنا:

• ${\displaystyle q_{n}}$هو مقام التقارب النوني${\displaystyle {\tfrac {p_{n}}{q_{n}}}}$من التوسع الكسري المستمر لـ${\displaystyle \alpha }$.
• ${\displaystyle B}$هي دالة Brjuno

ضع في اعتبارك النسبة الذهبية 𝜙 :

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

ثم المتقارب النوني${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$يمكن إيجادها من خلال علاقة التكرار : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}p_{n}=p_{n-1}+p_{n-2}&{\text{ مع }}p_{0}=1,p_{1}=2,\\q_{n}=q_{n-1}+q_{n-2}&{\text{ مع }}q_{0}=q_{1}=1.\end{cases}}}$

من السهل أن نرى ذلك${\displaystyle q_{n+1}<q_{n}^{2}}$ل${\displaystyle n\geq 2}$، نتيجة ل

${\displaystyle {\frac {\log {q_{n+1}}}{q_{n}}}<{\frac {2\log {q_{n}}}{q_{n}}}{\text{ لـ }}n\geq 2}$

وبما أنه يمكن إثبات ذلك${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n}}{q_{n}}}<\infty }$لأي عدد غير نسبي، يكون 𝜙 عددًا من نوع Brjuno. علاوة على ذلك، يمكن استخدام طريقة مماثلة لإثبات أن أي عدد غير نسبي ينتهي تمثيله الكسري المستمر بسلسلة من الآحاد هو عدد من نوع Brjuno. ^{[ 2 ]}

على النقيض من ذلك، ضع في اعتبارك الثابت${\displaystyle \alpha =[a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ]}$مع${\displaystyle (a_{n})}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}10&{\text{ إذا كان }}n=0,1,\\q_{n}^{q_{n-1}}&{\text{ إذا كان }}n\geq 2.\end{cases}}}$

ثم${\displaystyle q_{n+1}>q_{n}^{\frac {2q_{n}}{q_{n-1}}}}$إذن، من خلال اختبار النسبة ، لدينا أن${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\log q_{n+1}}{q_{n}}}}$يتباعد.${\displaystyle \alpha }$وبالتالي فهو ليس رقمًا من أرقام بريونو. ^{[ 3 ]}

تُعدّ أعداد برونو مهمة في مسائل القواسم الصغيرة التحليلية أحادية البعد. وقد حسّن برونو الشرط الديوفانتي في نظرية سيجل من خلال إثبات أن جراثيم الدوال التحليلية ذات الجزء الخطي${\displaystyle e^{2\pi i\alpha }}$تكون قابلة للتخطيط الخطي إذا${\displaystyle \alpha }$هو عدد بريونو. أظهر جان كريستوف يوكوز ( 1995 ) في عام 1987 أن شرط بريونو دقيق؛ وبشكل أكثر تحديدًا، أثبت أنه بالنسبة لكثيرات الحدود التربيعية، فإن هذا الشرط ليس كافيًا فحسب، بل ضروري أيضًا للخطية. 

بشكل بديهي، لا تحتوي هذه الأعداد على العديد من "القفزات" الكبيرة في متتالية التقاربات، حيث يكون مقام التقارب ( ن + ١ ) أكبر أُسّيًا من مقام التقارب ن . وبالتالي، على عكس أعداد ليوفيل ، لا تمتلك هذه الأعداد تقريبات ديوفانتية دقيقة بشكل استثنائي بواسطة الأعداد النسبية .

• مقياس اللاعقلانية
• ثابت ماركوف

• Brjuno، Alexander D. (1971)، “Analytic form of Differential المعادلات. I، II”، Trudy Moskovskogo Matematičeskogo Obščestva ، 25 : 119–262 ، ISSN 0134-8663 ، MR 0377192  
• لي، إيلين ف. (ربيع 1999)، "بنية وطوبولوجيا أعداد بريونو" (ملف PDF) ، وقائع مؤتمر الطوبولوجيا والديناميكا لعام 1999 (سولت ليك سيتي، يوتا) ، وقائع الطوبولوجيا، المجلد  24، الصفحات 189-201 ، MR 1802686  
• مارمي، ستيفانو؛ موسى، بيير؛ يوكوز، جان كريستوف (2001)، "دوال بريونو المركبة"، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 14 (4): 783-841 ، doi : 10.1090/S0894-0347-01-00371-X ، ISSN 0894-0347 ، MR 1839917  
• Yoccoz، Jean-Christophe (1995)، “Théorème de Siegel، nombres de Bruno et polynômes Quadratiques”، مقسمات صغيرة في البعد 1 ، Astérisque ، المجلد.  231، ص 3 – 88، م.ر 1367353