مقياس اللاعقلانية

الأعداد النسبية لها أس لا عقلاني 1، بينما (كنتيجة لنظرية تقريب ديريشليه ) كل عدد غير نسبي له أس لا عقلاني 2 على الأقل.

من جهة أخرى، يُظهر تطبيق مبرهنة بوريل-كانتيلي أن جميع الأعداد تقريبًا، بما في ذلك جميع الأعداد الجبرية غير النسبية ، لها أس لا نسبي يساوي 2 بالضبط. ^{[ 3 ] : 246}

إنها${\displaystyle \mu (x)=\mu (rx+s)}$للأعداد الحقيقية${\displaystyle x}$والأعداد النسبية${\displaystyle r\neq 0}$و${\displaystyle s}$. إذا كان ذلك لبعض${\displaystyle x}$لدينا${\displaystyle \mu (x)\leq \mu }$ثم يتبع ذلك${\displaystyle \mu (x^{1/2})\leq 2\mu }$[ ^{5 ] : 368​}

بالنسبة للعدد الحقيقي${\displaystyle x}$معطاة بتوسيع الكسر المستمر البسيط${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$مع التقارب${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$ينص على ما يلي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \mu (x)=1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

إذا كان لدينا${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma }$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}=-\tau }$لبعض الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle \sigma ,\tau }$عندئذٍ يمكننا تحديد حد أعلى لمعامل اللاعقلانية لـ${\displaystyle x}$بواسطة: ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle \mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}}$

بالنسبة لمعظم الأعداد المتسامية ، فإن القيمة الدقيقة لأس اللاعقلانية غير معروفة. ^{[ 5 ]} فيما يلي جدول بالحدود العليا والدنيا المعروفة .

رقم${\displaystyle x}$	أس اللاعقلانية${\displaystyle \mu (x)}$		ملحوظات
	الحد الأدنى	الحد الأعلى
العدد النسبي${\displaystyle p/q}$مع${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$	1		كل عدد نسبي${\displaystyle p/q}$له معامل لا عقلاني يساوي 1 بالضبط.
عدد جبري غير نسبي${\displaystyle \alpha }$	2		بحسب نظرية روث، فإن أس اللاعقلانية لأي عدد جبري لا نسبي يساوي 2 بالضبط. ومن الأمثلة على ذلك الجذور التربيعية والنسبة الذهبية.${\displaystyle \varphi }$.
${\displaystyle e^{2/k},k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2		إذا كانت العناصر${\displaystyle a_{n}}$من مفكوك الكسر المستمر البسيط لعدد غير نسبي${\displaystyle x}$محصورة في الأعلى${\displaystyle a_{n}<P(n)}$بواسطة متعددة حدود اختيارية${\displaystyle P}$إذن، يكون أس اللاعقلانية الخاص به هو${\displaystyle \mu (x)=2}$. ومن الأمثلة على ذلك الأعداد التي تتصرف كسورها المستمرة بشكل متوقع، مثل: ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...]}$ و${\displaystyle I_{0}(2)/I_{1}(2)=[1;2,3,4,5,6,7,8,9,10,...]}$.
${\displaystyle \tan(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle \tanh(1/k),k\in \mathbb {Z} ^{+}}$	2
${\displaystyle S(b)}$مع${\displaystyle b\geq 2}$	2		${\displaystyle S(b):=\sum _{k=0}^{\infty }b^{-2^{k}}}$مع${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$، تحتوي على حدود كسرية مستمرة لا تتجاوز قيمة ثابتة. [ 8 ] [ 9 ]
${\displaystyle T(b)}$مع${\displaystyle b\geq 2}$[ 10 ]	2		${\displaystyle T(b):=\sum _{k=0}^{\infty }t_{k}b^{-k}}$أين${\displaystyle t_{k}}$هي متتالية ثو-مورس و${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$انظر ثابت بروهيت-ثو-مورس .
${\displaystyle \ln(2)}$[ 11 ] [ 12 ]	2	3.57455...	وهناك أرقام أخرى من هذا النوع${\displaystyle \ln(a/b)}$والتي تُعرف حدود أسسها اللاعقلانية. [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]
${\displaystyle \ln(3)}$[ 11 ] [ 16 ]	2	5.11620...
${\displaystyle 5\ln(3/2)}$[ 17 ]	2	3.43506...	هناك العديد من الأرقام الأخرى من هذا الشكل${\displaystyle {\sqrt {2k+1}}\ln \left({\frac {{\sqrt {2k+1}}+1}{{\sqrt {2k+1}}-1}}\right)}$والتي تُعرف حدود أسسها اللاعقلانية. [ 17 ] هذا هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle k=12}$.
${\displaystyle \pi /{\sqrt {3}}}$[ 18 ] [ 19 ]	2	4.60105...	هناك العديد من الأرقام الأخرى من هذا الشكل${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}\arctan \left({\frac {\sqrt {2k-1}}{k-1}}\right)}$والتي تُعرف حدود أسسها اللاعقلانية. [ 18 ] هذا هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle k=2}$.
${\displaystyle \pi }$[ 11 ] [ 20 ]	2	7.10320...	لقد ثبت أنه إذا كانت سلسلة فلينت هيلز${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\csc ^{2}n}{n^{3}}}}$إذا تقاربت الدالة (حيث n بالراديان)،${\displaystyle \pi }$معامل اللاعقلانية لـ ' هو على الأكثر${\displaystyle 5/2}$[ 21 ] [ 22 ] وإذا تباعد، فإن أس اللاعقلانية يكون على الأقل${\displaystyle 5/2}$[ 23 ]​
${\displaystyle \pi ^{2}}$[ 11 ] [ 24 ]	2	5.09541...	${\displaystyle \pi ^{2}}$و${\displaystyle \zeta (2)}$تعتمد خطيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$.${\displaystyle \left(\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)}$انظر أيضًا إلى مشكلة بازل .
${\displaystyle \arctan(1/2)}$[ 25 ]	2	9.27204...	هناك العديد من الأرقام الأخرى من هذا الشكل${\displaystyle \arctan(1/k)}$والتي تُعرف حدود أسسها اللاعقلانية. [ 26 ] [ 27 ]
${\displaystyle \arctan(1/3)}$[ 28 ]	2	5.94202...
ثابت أبيري${\displaystyle \zeta (3)}$[ 11 ]	2	5.51389...
${\displaystyle \Gamma (1/4)}$[ 29 ]	2	10 330
ثابت كاهين${\displaystyle C}$[ 30 ]	3
ثوابت شامبرنون${\displaystyle C_{b}}$في القاعدة${\displaystyle b\geq 2}$[ 31 ]	${\displaystyle b}$		ومن الأمثلة على ذلك${\displaystyle C_{10}=0.1234567891011...=[0;8,9,1,149083,1,...]}$
أرقام ليوفيل${\displaystyle L}$	${\displaystyle \infty }$		أعداد ليوفيل هي تحديدًا تلك الأعداد التي لها أس لا عقلاني لانهائي. [ 3 ] : 248

أي عدد حقيقي${\displaystyle x}$مع أس لا عقلانية محدود${\displaystyle \mu (x)<\infty }$له أساس غير عقلاني${\displaystyle \beta (x)=1}$، بينما أي عدد ذو أساس لا عقلاني${\displaystyle \beta (x)>1}$له أس اللاعقلانية${\displaystyle \mu (x)=\infty }$وهو رقم من أرقام ليوفيل.

الرقم${\displaystyle L=[1;2,2^{2},2^{2^{2}},...]}$له أس اللاعقلانية${\displaystyle \mu (L)=\infty }$وقاعدة اللاعقلانية${\displaystyle \beta (L)=1}$.

الأرقام${\displaystyle \tau _{a}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{^{n}a}}=1+{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{a}}}+{\frac {1}{a^{a^{a}}}}+{\frac {1}{a^{a^{a^{a}}}}}+...}$(${\displaystyle {^{n}a}}$يمثل المعايرة ،${\displaystyle a=2,3,4...}$) لها أساس اللاعقلانية${\displaystyle \beta (\tau _{a})=a}$.

الرقم${\displaystyle S=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$له أساس غير عقلاني${\displaystyle \beta (S)=\infty }$وبالتالي فهو عدد ليوفيل فائق.

على الرغم من أنه من غير المعروف ما إذا كان ذلك أم لا${\displaystyle e^{\pi }}$هو عدد ليوفيل، ^{[ 32 ] : 20} من المعروف أن${\displaystyle \beta (e^{\pi })=1}$[ ^{5 ] : 371​}

جلسة${\displaystyle f(q,M)=(Mq^{2})^{-1}}$يُعطي مقياسًا أقوى لعدم العقلانية: ثابت ماركوف${\displaystyle M(x)}$بالنسبة لعدد غير نسبي${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$وهو العامل الذي يمكن من خلاله تحسين نظرية تقريب ديريشليه لـ${\displaystyle x}$أي إذا${\displaystyle c<M(x)}$إذا كان عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن المتباينة

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$

له عدد لا نهائي من الحلول${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$. لو${\displaystyle c>M(x)}$يوجد على الأكثر عدد محدود من الحلول.

تنص نظرية تقريب ديريشليه على${\displaystyle M(x)\geq 1}$وتعطي نظرية هورويتز${\displaystyle M(x)\geq {\sqrt {5}}}$كلاهما غير عقلاني${\displaystyle x}$[ ^{33 ]​}

هذا في الواقع هو أفضل حد أدنى عام لأن النسبة الذهبية تعطي${\displaystyle M(\varphi )={\sqrt {5}}}$وهو كذلك${\displaystyle M({\sqrt {2}})=2{\sqrt {2}}}$.

منح${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$من خلال توسيعها البسيط للكسور المستمرة ، يمكن الحصول على: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle M(x)=\limsup _{n\to \infty }{([a_{n+1};a_{n+2},a_{n+3},...]+[0;a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1}])}.}$

حدود ثابت ماركوف لـ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ويمكن تقديمها أيضًا بواسطة${\displaystyle {\sqrt {p^{2}+4}}\leq M(x)<p+2}$مع${\displaystyle p=\limsup _{n\to \infty }a_{n}}$[ ^{35 ] وهذا يعني} أن${\displaystyle M(x)=\infty }$إذا وفقط إذا${\displaystyle (a_{k})}$غير محدود . الأعداد ذات القيم المحدودة${\displaystyle M(x)}$تُسمى هذه الأعداد بالأعداد غير القابلة للتقريب بشكل سيئ . وعلى وجه الخصوص، كل عدد غير نسبي تربيعي${\displaystyle x}$لا يمكن تقريبها بشكل جيد.

أي رقم مع${\displaystyle \mu (x)>2}$أو${\displaystyle \beta (x)>1}$يحتوي على كسر بسيط مستمر غير محدود، وبالتالي${\displaystyle M(x)=\infty }$ومن النتائج الأخرى ما يلي:${\displaystyle M(e)=\infty }$.

بالنسبة للأعداد النسبية${\displaystyle r}$يمكن تعريفها${\displaystyle M(r)=0}$.

القيم${\displaystyle M(e)=\infty }$و${\displaystyle \mu (e)=2}$يشير ذلك إلى أن عدم المساواة${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$لديه للجميع${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{+}}$عدد لا نهائي من الحلول${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$بينما عدم المساواة${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$لديه للجميع${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$عدد محدود من الحلول على الأكثر${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$وهذا يثير التساؤل حول أفضل حد أعلى. والإجابة هي: ^{[ 36 ]}

${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c\ln \ln q}{q^{2}\ln q}}}$

وهو ما يتحقق بواسطة عدد لا نهائي من${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ل${\displaystyle c>{\tfrac {1}{2}}}$لكن ليس لـ${\displaystyle c<{\tfrac {1}{2}}}$.

وهذا يجعل العدد${\displaystyle e}$إلى جانب الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية التربيعية، هناك استثناء لحقيقة أنه بالنسبة لجميع الأعداد الحقيقية تقريبًا${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$للمتباينة أدناه عدد لا نهائي من الحلول${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$: ^{[ 5 ]} (انظر نظرية خينشين )

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\ln q}}}$

بدلاً من أخذ عدد حقيقي معين${\displaystyle x}$الفرق${\displaystyle |x-p/q|}$مع${\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} }$بدلاً من ذلك، يمكن للمرء التركيز على المصطلح${\displaystyle |qx-p|=|L(x)|}$مع${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle L\in \mathbb {Z} [x]}$مع${\displaystyle \deg L=1}$ضع في اعتبارك المتباينة التالية:

${\displaystyle 0<|qx-p|\leq \max(|p|,|q|)^{-\omega }}$مع${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

يُعرِّف${\displaystyle R}$باعتبارها مجموعة الكل${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$والتي لها عدد لا نهائي من الحلول${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$توجد، بحيث تتحقق المتباينة. عندئذٍ${\displaystyle \omega _{1}(x)=\sup M}$هو مقياس اللاعقلانية عند ماهلر. وهو يعطي${\displaystyle \omega _{1}(p/q)=0}$بالنسبة للأعداد النسبية،${\displaystyle \omega _{1}(\alpha )=1}$بالنسبة للأعداد غير النسبية الجبرية وبشكل عام${\displaystyle \omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$، أين${\displaystyle \mu (x)}$يشير إلى أس اللاعقلانية.

يمكن تعميم مقياس ماهلر للعقلانية على النحو التالي: ^{[ 2 ] [ 3 ]} خذ${\displaystyle P}$أن تكون متعددة الحدود مع${\displaystyle \deg P\leq n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ومعاملات صحيحة${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ثم حدد دالة الارتفاع${\displaystyle H(P)=\max(|a_{0}|,|a_{1}|,...,|a_{n}|)}$وخذ في الاعتبار الأعداد المركبة${\displaystyle z}$عدم المساواة:

${\displaystyle 0<|P(z)|\leq H(P)^{-\omega }}$مع${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

تعيين${\displaystyle R}$أن تكون مجموعة الكل${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$والتي يوجد لها عدد لا نهائي من كثيرات الحدود التي تحافظ على تحقيق المتباينة. عرّف كذلك${\displaystyle \omega _{n}(z)=\sup R}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$مع${\displaystyle \omega _{1}(z)}$باعتباره مقياس اللاعقلانية المذكور أعلاه،${\displaystyle \omega _{2}(z)}$كونه مقياسًا غير تربيعي ، إلخ.

ثم يُعطى مقياس التجاوز عند ماهلر بالصيغة التالية:

${\displaystyle \omega (z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}(z).}$

يمكن الآن تقسيم الأعداد المتسامية إلى الفئات الثلاث التالية:

إن كان ذلك للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$قيمة${\displaystyle \omega _{n}(z)}$محدود و${\displaystyle \omega (z)}$وهو محدود أيضاً،${\displaystyle z}$يُطلق عليه اسم الرقم S (من النوع${\displaystyle \omega (z)}$).

إن كان ذلك للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$قيمة${\displaystyle \omega _{n}(z)}$محدود لكن${\displaystyle \omega (z)}$لا نهائي،${\displaystyle z}$يُطلق عليه اسم رقم T.

إذا وُجد أصغر عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq N}$ال${\displaystyle \omega _{n}(z)}$لا نهائية،${\displaystyle z}$يُطلق عليه اسم رقم U (من الدرجة${\displaystyle N}$).

الرقم${\displaystyle z}$يكون العدد جبريًا (ويُسمى عددًا من النوع A ) إذا وفقط إذا${\displaystyle \omega (z)=0}$.

جميع الأعداد تقريبًا هي أعداد من النوع S. في الواقع، جميع الأعداد الحقيقية تقريبًا تعطي${\displaystyle \omega (x)=1}$بينما تعطي جميع الأعداد المركبة تقريبًا${\displaystyle \omega (z)={\tfrac {1}{2}}}$[ ^{37 ] : 86} العدد e هو عدد S ^ذو${\displaystyle \omega (e)=1}$العدد π إما عدد S أو عدد T. ^{[ 37 ] : 86} الأعداد U هي مجموعة قياسها صفر ولكنها غير قابلة للعد. ^{[ 38 ]} وهي تحتوي على أعداد ليوفيل التي هي بالضبط أعداد U من الدرجة الأولى.

يُعطي تعميم آخر لمقياس ماهلر لللاعقلانية مقياسًا للاستقلال الخطي. ^{[ 2 ] [ 13 ]} للأعداد الحقيقية${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$ضع في اعتبارك المتباينة

${\displaystyle 0<|c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}|\leq \max(|c_{1}|,...,|c_{n}|)^{-\nu }}$مع${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

يُعرِّف${\displaystyle R}$باعتبارها مجموعة الكل${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$والتي لها عدد لا نهائي من الحلول${\displaystyle c_{1},...c_{n}\in \mathbb {Z} }$توجد، بحيث تتحقق المتباينة. عندئذٍ${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=\sup R}$هو مقياس الاستقلال الخطي.

إذا${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$تعتمد خطيًا على${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$ثم${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=0}$.

لو${\displaystyle 1,x_{1},...,x_{n}}$أعداد جبرية مستقلة خطيًا على${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$ثم${\displaystyle \nu (1,x_{1},...,x_{n})\leq n}$[ ^{32 ]​}

كما أنه${\displaystyle \nu (1,x)=\omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$.

اقترح يورجن كوكسما في عام 1939 تعميماً آخر، مشابهاً لتعميم ماهلر، يعتمد على تقريب الأعداد المركبة بالأعداد الجبرية. ^{[ 3 ] [ 37 ]}

بالنسبة لعدد مركب معين${\displaystyle z}$ضع في اعتبارك الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$درجة علمية على الأكثر${\displaystyle n}$عرّف دالة الارتفاع${\displaystyle H(\alpha )=H(P)}$، أين${\displaystyle P}$هي متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle \alpha }$وتأمل في المتباينة التالية:

${\displaystyle 0<|z-\alpha |\leq H(\alpha )^{-\omega ^{*}-1}}$مع${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

تعيين${\displaystyle R}$أن تكون مجموعة الكل${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$والتي يوجد لها عدد لا نهائي من هذه الأعداد الجبرية${\displaystyle \alpha }$توجد عناصر تحافظ على تحقيق المتباينة. حدد كذلك${\displaystyle \omega _{n}^{*}(z)=\sup R}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$مع${\displaystyle \omega _{1}^{*}(z)}$كونه مقياسًا لللاعقلانية،${\displaystyle \omega _{2}^{*}(z)}$كونه مقياسًا لعدم التربيعية ، ^{[ 17 ]} إلخ.

ثم يُعطى مقياس التجاوز لكوكسما بالصيغة التالية:

${\displaystyle \omega ^{*}(z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}^{*}(z)}$.

يمكن الآن تقسيم الأعداد المركبة مرة أخرى إلى أربع فئات: A* و S* و T* و U*. ومع ذلك، يتضح أن هذه الفئات مكافئة لتلك التي قدمها ماهلر، بمعنى أنها تُنتج نفس التقسيم تمامًا. ^{[ 37 ] : 87}

بالنظر إلى عدد حقيقي${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$، مقياس اللاعقلانية${\displaystyle x}$يحدد مدى إمكانية تقريبها بالأعداد النسبية${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$مع المقام${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$. لو${\displaystyle x=\alpha }$إذا اعتبرنا عددًا جبريًا غير نسبي، فيمكننا استنتاج أن المتباينة

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$

لا يوجد لها سوى عدد محدود من الحلول على الأكثر${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$ل${\displaystyle \mu >2}$. وهذا ما يُعرف بنظرية روث .

يمكن تعميم ذلك: بالنظر إلى مجموعة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$يمكن للمرء أن يحدد كمياً مدى إمكانية تقريبها في آن واحد بواسطة الأعداد النسبية${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}}$بنفس المقام${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$إذا${\displaystyle x_{i}=\alpha _{i}}$تُعتبر أعدادًا جبرية، بحيث${\displaystyle 1,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}$مستقلة خطيًا على الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$ويترتب على ذلك أن أوجه عدم المساواة

${\displaystyle 0<\left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}},\forall i\in \{1,...,n\}}$

لا يوجد سوى عدد محدود من الحلول على الأكثر${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}\right)\in \mathbb {Q} ^{n}}$ل${\displaystyle \mu >1+{\frac {1}{n}}}$يعود الفضل في هذه النتيجة إلى فولفغانغ م. شميدت . ^{[ 39 ] [ 40 ]}