معادلة برجر

معادلة برجر، أو معادلة باتمان-برجر، هي معادلة تفاضلية جزئية أساسية ومعادلة انتقال حراري ^{[ 1 ]} تظهر في مجالات متنوعة من الرياضيات التطبيقية ، مثل ميكانيكا الموائع ^{[ 2 ]} ، والصوتيات غير الخطية ^{[ 3 ]} ، وديناميكا الغازات ، وتدفق حركة المرور ^{[ 4 ]} ، والفيزياء الرياضية ^{[ 5 ]} . وقد طُرحت هذه المعادلة لأول مرة من قِبل هاري باتمان عام 1915 ^{[ 6 ] [ 7 ]} ، ثم درسها يوهانس مارتينوس برجر عام 1948 ^{[ 8 ].} بالنسبة لحقل معين${\displaystyle u(x,t)}$ومعامل الانتشار (أو اللزوجة الحركية ، كما هو الحال في سياق ميكانيكا الموائع الأصلي)${\displaystyle \nu }$، الشكل العام لمعادلة برجر (المعروفة أيضًا باسم معادلة برجر اللزجة ) في بُعد مكاني واحد هو النظام المبدد :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

على المدى${\displaystyle u\partial u/\partial x}$ويمكن إعادة كتابتها أيضًا على النحو التالي${\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}$عندما يغيب مصطلح الانتشار (أي${\displaystyle \nu =0}$تصبح معادلة برجر معادلة برجر غير اللزجة :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

وهو نموذج أولي لمعادلات الحفظ التي يمكن أن تُحدث انقطاعات ( موجات صدمية ).

سبب تشكل التدرجات الحادة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle \nu }$يصبح الأمر واضحًا بشكل بديهي عند فحص الجانب الأيسر من المعادلة. المصطلح${\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}$من الواضح أن هذا عامل موجي يصف موجة تنتشر في الاتجاه الموجب${\displaystyle x}$- اتجاه بسرعة${\displaystyle u}$بما أن سرعة الموجة هي${\displaystyle u}$المناطق التي تُظهر قيمًا كبيرة من${\displaystyle u}$ستنتشر هذه المناطق نحو اليمين بشكل أسرع من المناطق التي تُظهر قيمًا أصغر لـ${\displaystyle u}$بمعنى آخر، إذا${\displaystyle u}$يتناقص في${\displaystyle x}$- في الاتجاه، في البداية، ثم أكبر${\displaystyle u}$سيلحق من يقبعون في الخلف بالصغار${\displaystyle u}$'s على الجانب الأمامي. دور الحد الانتشارى على الجانب الأيمن هو أساساً منع التدرج من أن يصبح لانهائياً.

معادلة برجر غير اللزجة هي معادلة حفظ ، وبشكل أعم، هي معادلة زائدية شبه خطية من الدرجة الأولى . حل المعادلة، بالإضافة إلى الشرط الابتدائي،

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

يمكن بناؤها باستخدام طريقة الخصائص . لنفترض${\displaystyle t}$ليكن المعيار الذي يميز أي خصائص معينة في${\displaystyle x}$-${\displaystyle t}$في المستوى، تُعطى المعادلات المميزة بواسطة

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

يُخبرنا تكامل المعادلة الثانية أن${\displaystyle u}$ثابت على طول الخاصية، ويُظهر تكامل المعادلة الأولى أن الخصائص عبارة عن خطوط مستقيمة، أي

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

أين${\displaystyle \xi }$هي النقطة (أو المعلمة) على المحور السيني ( عند t  =  0) في المستوى x - t الذي يُرسم منه المنحنى المميز.${\displaystyle u}$في${\displaystyle x}$يمكن معرفة المحور السيني من الشرط الابتدائي ومن حقيقة أن${\displaystyle u}$لا يتغير أثناء تحركنا على طول الخاصية المنبعثة من كل نقطة${\displaystyle x=\xi }$نكتب${\displaystyle u=c=f(\xi )}$على كل خاصية. لذلك، فإن مجموعة مسارات الخصائص التي يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \xi }$يكون

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

وبالتالي، يُعطى الحل بواسطة

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =xf(\xi )t.}$

هذه علاقة ضمنية تحدد حل معادلة برجر غير اللزجة بشرط عدم تقاطع الخصائص. إذا تقاطعت الخصائص، فلن يكون هناك حل كلاسيكي للمعادلة التفاضلية الجزئية، مما يؤدي إلى تشكل موجة صدمية . يعتمد تقاطع الخصائص من عدمه على الشرط الابتدائي. في الواقع، يُعطى زمن التكسر قبل تشكل الموجة الصدمية بالمعادلتين ^{[ 9 ] و[ 10 ].}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

يمكن تحويل معادلة برجر اللزجة إلى معادلة خطية عن طريق تحويل كول-هوف ، ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}$

مما يحولها إلى المعادلة

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

والتي يمكن دمجها فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$للحصول على

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

أين${\displaystyle df/dt}$هي دالة اعتباطية للزمن. بإدخال التحويل${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$(وهذا لا يؤثر على الوظيفة)${\displaystyle u(x,t)}$)، وتختزل المعادلة المطلوبة إلى معادلة الحرارة ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

يمكن حل معادلة الانتشار . أي، إذا${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$، ثم

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

الدالة الأولية${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$يرتبط بالوظيفة الأولية${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$بواسطة

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

حيث يتم اختيار الحد الأدنى بشكل تعسفي. وبعكس تحويل كول-هوبف، نحصل على

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

مما يُبسط، عن طريق التخلص من العامل الزمني في وسيط اللوغاريتم ، إلى

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

هذا الحل مشتق من حل معادلة الحرارة لـ${\displaystyle \varphi }$يتلاشى ذلك إلى الصفر عندما${\displaystyle x\to \pm \infty }$حلول أخرى لـ${\displaystyle u}$يمكن الحصول عليها انطلاقاً من حلول لـ${\displaystyle \varphi }$التي تستوفي شروطًا حدودية مختلفة.

تتوفر تعابير صريحة لمعادلة برجر اللزجة. ترد أدناه بعض الحلول ذات الصلة الفيزيائية: ^{[ 17 ]}

• معادلة تشابليجين
• معادلة الحفظ
• معادلة أويلر-تريكومي
• معادلة فوكر-بلانك
• معادلة KdV-برجرز
• معادلة KdV-Burgers-Fisher
• معادلة أويلر-أرنولد

• معادلة برجر في موقع EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• معادلة برجر في موسوعة المعادلات غير الخطية NEQwiki.