الصوتيات غير الخطية

الاستمرارية:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0}$

قانون حفظ الزخم:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})}$

باستخدام توسيع اضطراب تايلور على الكثافة:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}}$

حيث أن ε هو معامل صغير، أي معامل الاضطراب، تصبح معادلة الحالة كالتالي:

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)}$

إذا تم حذف الحد الثاني في متسلسلة تايلور للضغط، يمكن اشتقاق معادلة الموجة اللزجة. أما إذا تم الاحتفاظ به، فسيظهر الحد غير الخطي في الضغط في معادلة ويسترفيلت.

معادلة الموجة العامة التي تأخذ في الاعتبار اللاخطية حتى الدرجة الثانية تعطى بواسطة معادلة ويسترفيلت ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}}$

أين${\displaystyle p}$هو ضغط الصوت،${\displaystyle c_{0}}$هي سرعة الصوت للإشارة الصغيرة،${\displaystyle \delta }$هي معامل انتشار الصوت،${\displaystyle \beta }$هو معامل اللاخطية و${\displaystyle \rho _{0}}$هي الكثافة المحيطة.

يُعطى معامل انتشار الصوت بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

أين${\displaystyle \mu }$هي لزوجة القص،${\displaystyle \mu _{B}}$اللزوجة الكلية،${\displaystyle k}$الموصلية الحرارية،${\displaystyle c_{v}}$و${\displaystyle c_{p}}$الحرارة النوعية عند ثبات الحجم والضغط على التوالي.

يمكن تبسيط معادلة ويسترفيلت لتأخذ شكلاً أحادي البعد بافتراض انتشار الموجات للأمام بشكل صارم واستخدام تحويل الإحداثيات إلى إطار زمني متأخر: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

أين${\displaystyle \tau =tz/c_{0}}$هو زمن متأخر . وهذا يتوافق مع معادلة برجر اللزجة:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$

في مجال الضغط (y=p)، مع "متغير زمني" رياضي:

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

وباستخدام "متغير مكاني":

${\displaystyle x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau }$

ومعامل انتشار سلبي:

${\displaystyle d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta }$.

معادلة برجر هي أبسط معادلة تصف التأثيرات المشتركة لعدم الخطية والخسائر على انتشار الموجات التقدمية.

تُوصَف معادلة خوخلوف-زابولوتسكايا-كوزنيتسوف (KZK)، التي سُميت نسبةً إلى ريم خوخلوف وإيفجينيا زابولوتسكايا وفي بي كوزنيتسوف، بأنها إضافة إلى معادلة برجر تأخذ في الحسبان التأثيرات المُجتمعة لعدم الخطية والحيود والامتصاص في حزم الصوت الاتجاهية. ^{[ 4 ]} تُستخدم حلول هذه المعادلة عمومًا لنمذجة الصوتيات غير الخطية.

إذا${\displaystyle z}$المحور في اتجاه مسار شعاع الصوت و${\displaystyle (x,y)}$إذا كان المستوى عموديًا على ذلك، فيمكن كتابة معادلة KZK ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

يمكن حل المعادلة لنظام معين باستخدام طريقة الفروق المحدودة . توضح هذه الحلول كيف يتشوه شعاع الصوت أثناء مروره عبر وسط غير خطي.

يؤدي السلوك غير الخطي للغلاف الجوي إلى تغيير شكل الموجة في دوي اختراق حاجز الصوت . وبشكل عام، يجعل هذا الدوي أكثر حدة أو مفاجأة، حيث تنتقل ذروة السعة العالية إلى جبهة الموجة.

لا يمكن تحقيق الرفع الصوتي بدون ظواهر صوتية غير خطية. ^{[ 6 ]} وتتجلى التأثيرات غير الخطية بشكل خاص بسبب الموجات الصوتية عالية الطاقة المستخدمة.

نظراً لارتفاع نسبة سعة الموجات فوق الصوتية إلى طولها الموجي ، فإنها غالباً ما تُظهر سلوكاً غير خطي في الانتشار. فعلى سبيل المثال، يُعدّ علم الصوتيات غير الخطي مجالاً ذا أهمية في التصوير الطبي بالموجات فوق الصوتية، إذ يُمكن استغلاله لتحسين جودة الصورة.

إن السلوك الفيزيائي للصوتيات الموسيقية غير خطي في الغالب. وتُبذل محاولات لنمذجة توليد الصوت من خلال توليف النمذجة الفيزيائية ، ومحاكاة الصوت من خلال قياسات عدم خطيته. ^{[ 7 ]}

المصفوفة البارامترية هي آلية تحويل غير خطية تولد حزمًا ضيقة وخالية تقريبًا من الفصوص الجانبية لصوت منخفض التردد، وذلك من خلال مزج وتفاعل موجات صوتية عالية التردد. ومن تطبيقاتها، على سبيل المثال، الصوتيات تحت الماء والصوتيات.