مصفوفة كابيبو-كوباياشي-ماسكاوا

في عام 1963، قدّم نيكولا كابيبو زاوية كابيبو ( θc ₎ للحفاظ على عمومية التفاعل الضعيف . ^{[ 1 ]} استلهم كابيبو من أعمال سابقة لموراي جيل مان وموريس ليفي، ^{[ 2 ]} حول التيارات الضعيفة المحورية وغير الغريبة والمتجهة ذات الدوران الفعال، والتي أشار إليها. ^{[ 3 ]}

في ضوء المفاهيم الحالية (قبل اقتراح الكواركات)، ترتبط زاوية كابيبو بالاحتمالية النسبية لتحلل الكواركات السفلية والغريبة إلى كواركات علوية ( | V _{_ud} | ^² و | V _{_us} | ^² على التوالي). في مصطلحات فيزياء الجسيمات، يُعتبر الجسم الذي يقترن بالكوارك العلوي عبر التفاعل الضعيف ذي التيار المشحون تراكبًا للكواركات السفلية، ويُرمز إليه هنا بـ d′ . ^{[ 4 ]} رياضيًا، يكون هذا كما يلي:    

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

أو باستخدام زاوية كابيبو:

${\displaystyle d'=\cos \theta _{\mathrm {c} }\;d~~+~~\sin \theta _{\mathrm {c} }\;s~.}$

باستخدام القيم المقبولة حاليًا لـ  | V _ud |  و  | V _us |  (انظر أدناه)، يمكن حساب زاوية كابيبو باستخدام

${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {c}}={\frac {\,|V_{\mathrm {us} }|\,}{|V_{\mathrm {ud} }|}}={\frac {0.22534}{0.97427}}\quad \Rightarrow \quad \theta _{\mathrm {c} }=~13.02^{\circ }~.}$

عندما تم اكتشاف الكوارك الساحر في عام 1974، لوحظ أن الكوارك السفلي والكوارك الغريب يمكن أن يتحولا إما إلى الكوارك العلوي أو الكوارك الساحر، مما أدى إلى مجموعتين من المعادلات:

${\displaystyle d'=V_{\mathrm {ud} }\;d~~+~~V_{\mathrm {us} }\;s~,}$

${\displaystyle s'=V_{\mathrm {cd} }\;d~~+~~V_{\mathrm {cs} }\;s~;}$

أو باستخدام زاوية كابيبو:

${\displaystyle d'=~~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~,}$

${\displaystyle s'=-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\;d~~+~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}\;s~.}$

ويمكن كتابة ذلك أيضاً باستخدام تدوين المصفوفات على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }\\V_{cd}&V_{cs}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

أو باستخدام زاوية كابيبو

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~~\cos {\theta _{\mathrm {c} }}&\sin {\theta _{\mathrm {c} }}\\-\sin {\theta _{\mathrm {c} }}&\cos {\theta _{\mathrm {ج} }}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\end{bmatrix}}~,}$

حيث تمثل القيم المختلفة | V _ij | ² احتمالية تحلل الكوارك ذي النكهة j إلى كوارك ذي النكهة i . تُسمى مصفوفة الدوران 2×2 هذه "مصفوفة كابيبو"، وقد تم توسيعها لاحقًا إلى مصفوفة CKM 3×3. 

في عام 1973، لاحظ كوباياشي وماسكاوا أنه لا يمكن تفسير انتهاك CP في نموذج الكواركات الأربعة، فعمما مصفوفة كابيبو إلى مصفوفة كابيبو-كوباياشي-ماسكاوا (أو مصفوفة CKM) لتتبع الاضمحلالات الضعيفة لثلاثة أجيال من الكواركات: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d'\\s'\\b'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}V_{\mathrm {ud} }&V_{\mathrm {us} }&V_{\mathrm {ub} }\\V_{\mathrm {cd} }&V_{\mathrm {cs} }&V_ {\mathrm {cb} }\\V_{\mathrm {td} }&V_{\mathrm {ts} }&V_{\mathrm {tb} }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\\s\\b\end{bmatrix}}~.}$

على اليسار، توجد أزواج التفاعل الضعيف للكواركات من النوع السفلي، وعلى اليمين مصفوفة CKM، بالإضافة إلى متجه حالات الكتلة الذاتية للكواركات من النوع السفلي. تصف مصفوفة CKM احتمالية الانتقال من كوارك من النكهة j إلى كوارك من النكهة i . وتتناسب هذه الانتقالات مع | V_{_ij} | ^² .

اعتبارًا من عام 2023، كان أفضل تحديد للمقادير الفردية لعناصر مصفوفة CKM هو: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}|V_{ud}|&|V_{us}|&|V_{ub}|\\|V_{cd}|&|V_{cs}|&|V_{cb}|\\|V_{td}|&|V_{ts}|&|V_{tb}|\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.97435\pm 0.00016&0.22500\pm 0.00067&0.00369\pm 0.00011\\0.22486\pm 0.00067&0.97349\pm 0.00016&0.04182_{-0.00074}^{+0.00085}\\0.00857_{-0.00018}^{+0.00020}&0.04110_{-0.00072}^{+0.00083}&0.999118_{-0.000036}^{+0.000031}\end{bmatrix}}.}$

باستخدام هذه القيم، يمكن التحقق من وحدة مصفوفة CKM. على وجه الخصوص، نجد أن عناصر الصف الأول من المصفوفة تعطي ما يلي:${\displaystyle |V_{\mathrm {ud} }|^{2}+|V_{\mathrm {us} }|^{2}+|V_{\mathrm {ub} }|^{2}=0.999997\pm 0.0007}$

مما يجعل النتائج التجريبية متوافقة مع القيمة النظرية البالغة 1.

إن اختيار استخدام الكواركات السفلية في التعريف هو اصطلاح، ولا يُمثل تباينًا فيزيائيًا مُفضلاً بين الكواركات العلوية والسفلية. وتُعدّ الاصطلاحات الأخرى صحيحة بنفس القدر: إذ يُمكن لحالات الكتلة الذاتية u و c و t للكواركات العلوية أن تُعرّف المصفوفة بشكل مُكافئ بدلالة شركائها في التفاعل الضعيف u′ و c′ و t′ . وبما أن مصفوفة CKM وحدوية، فإن معكوسها هو نفسه منقولها المرافق ، وهو ما تستخدمه الخيارات البديلة؛ فهي تظهر على هيئة المصفوفة نفسها، ولكن بصيغة مُعدّلة قليلاً.

في حالة N = 2، يوجد مُعامل واحد فقط، وهو زاوية المزج بين جيلين من الكواركات. تاريخيًا، كانت هذه هي النسخة الأولى من مصفوفة CKM عندما كان معروفًا جيلان فقط. تُسمى هذه الزاوية بزاوية كابيبو نسبةً إلى مُخترعها نيكولا كابيبو .  

في حالة النموذج القياسي ( N = 3)، توجد ثلاث زوايا خلط وطور معقد واحد ينتهك تناظر الشحنة الزوجية. ^{[ 7 ]}  

استخدمت المعادلة الأصلية لكوباياشي وماسكاوا ثلاث زوايا ( θ₁، θ₂ _، θ₃ ₎ وزاوية _طور مخالفة لتناظر الشحنة الزوجية ( _δ ) . ^{[ 5 ]} θ₁ هي زاوية كابيبو. وللاختصار، يُرمز إلى جيب تمام الزاوية θₖ بـ _cₖ ، وإلى جيب الزاوية _{θₖ بـ sₖ} ، حيث k = 1، 2، 3 على التوالي.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{1}&s_{1}c_{3}&s_{1}s_{3}\\-s_{1}c_{2}&c_{1}c_{2}c_{3}-s_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}c_{2}s_{3}+s_{2}c_{3}e^{i\delta }\\-s_{1}s_{2}&c_{1}s_{2}c_{3}+c_{2}s_{3}e^{i\delta }&c_{1}s_{2}s_{3}-c_{2}c_{3}e^{i\delta }\end{bmatrix}}.}$

_{تستخدم طريقة تشاو- كيونغ} القياسية ^{[ 8 ]} لمعاملات مصفوفة CKM ثلاث زوايا أويلر ( θ12 _، θ23 _، θ13 ) وطورًا واحدًا ينتهك تناظر الشحنة الزوجية ( δ13 ₎ . ^{[ 9 ]} θ12 هي زاوية _كابيبو ، وهو الاصطلاح الذي تتبناه مجموعة بيانات الجسيمات . تتلاشى اقترانات الأجيال الكواركية j و k إذا كانت θjk = 0. يُرمز إلى جيب تمام الزاوية بـ _{cjk ،} وإلى جيب الزاوية بـ sjk _.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&c_{23}&s_{23}\\0&-s_{23}&c_{23}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{13}&0&s_{13}\\0&1&0\\-s_{13}&0&c_{13}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{12}&s_{12}&0\\-s_{12}&c_{12}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}c_{12}c_{13}&s_{12}c_{13}&s_{13}e^{-i\delta _{13}}\\-s_{12}c_{23}-c_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&s_{23}c_{13}\\s_{12}s_{23}-c_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&-c_{12}s_{23}-s_{12}c_{23}s_{13}e^{i\delta _{13}}&c_{23}c_{13}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

كانت قيم عام 2008 للمعايير القياسية كما يلي: ^{[ 10 ]}

θ ₁₂ =13.04° ± 0.05° ، θ ₁₃ =0.201° ± 0.011° ، θ ₂₃ =2.38° ± 0.06°

و

δ ₁₃ =1.20 ± 0.08  راديان =68.8° ± 4.5° .

قدّم لينكولن وولفنشتاين صيغةً ثالثةً لمصفوفة CKM باستخدام أربعة معاملات حقيقية هي λ و A و ρ و η ، والتي ستتلاشى جميعها (ستصبح صفرًا) في حال انعدام الاقتران. ^{[ 11 ]} تتميز معاملات وولفنشتاين الأربعة بأنها جميعًا من الرتبة 1، وترتبط بالصيغة "القياسية".

${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$	${\displaystyle \lambda =s_{12}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{2}=s_{23}~,}$	${\displaystyle A={\frac {s_{23}}{\;s_{12}^{2}\;}}~,}$
${\displaystyle A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )=s_{13}e^{-i\delta }~,\quad }$	${\displaystyle \rho =\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~,\quad \eta =-\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{{\frac {\;s_{13}\,e^{-i\delta }\;}{s_{12}\,s_{23}}}\right\}~.}$

على الرغم من أن تمثيل وولفنشتاين لمصفوفة CKM يمكن أن يكون دقيقًا بالقدر المطلوب عند تطبيقه على رتب عالية، إلا أنه يُستخدم بشكل أساسي لتوليد تقريبات ملائمة للتمثيل القياسي. التقريب من الرتبة λ³ ^، بدقة جيدة تصل إلى أفضل من 0.3%، هو:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&\lambda &A\lambda ^{3}(\rho -i\eta )\\-\lambda &1-{\tfrac {1}{2}}\lambda ^{2}&A\lambda ^{2}\\A\lambda ^{3}(1-\rho -i\eta )&-A\lambda ^{2}&1\end{bmatrix}}+O(\lambda ^{4})~.}$

معدلات انتهاك CP تتوافق مع المعامل η .

باستخدام قيم القسم السابق لمصفوفة CKM، اعتبارًا من عام 2008، فإن أفضل تحديد لقيم معلمات Wolfenstein هو: ^{[ 6 ]}

λ = 0.22500 ± 0.0067، A = 0.826 +0.018 −0.015 ، ρ = 0.159±0.010، و η = 0.348±0.010.