نظرية كارنو (الديناميكا الحرارية)

نظرية كارنو ، وتسمى أيضًا قاعدة كارنو أو قانون كارنو ، هي مبدأ من مبادئ الديناميكا الحرارية طوره نيكولاس ليونارد سادي كارنو في عام 1824 والذي يحدد حدود الكفاءة القصوى التي يمكن أن يحققها أي محرك حراري .

تنص نظرية كارنو على أن كفاءة جميع المحركات الحرارية العاملة بين نفس الخزانين الحراريين لا يمكن أن تتجاوز كفاءة محرك حراري عكوس يعمل بين نفس الخزانين. ومن نتائج هذه النظرية أن كفاءة كل محرك حراري عكوس يعمل بين خزانين حراريين متساوية، بغض النظر عن المادة المستخدمة أو تفاصيل التشغيل. وبما أن محرك كارنو الحراري هو أيضاً محرك عكوس، فإن كفاءة جميع المحركات الحرارية العكوسة تُحدد بكفاءة محرك كارنو الحراري، والتي تعتمد فقط على درجات حرارة خزانيه الساخن والبارد.

تُعرَّف الكفاءة القصوى (أي كفاءة محرك كارنو الحراري) لمحرك حراري يعمل بين خزانين حراريين، أحدهما ساخن والآخر بارد، ويُرمز لهما بـ H و C على التوالي، بأنها نسبة فرق درجة الحرارة بين الخزانين إلى درجة حرارة الخزان الساخن، كما هو موضح في المعادلة.

${\displaystyle \eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},}$

أين​${\displaystyle T_{\mathrm {H} }}$و​​${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$تمثل ⁠ درجات الحرارة المطلقة للخزانات الساخنة والباردة على التوالي، والكفاءة ⁠${\displaystyle \eta }$⁠ هي نسبة العمل الذي يقوم به المحرك (إلى المحيط ) إلى الحرارة المسحوبة من الخزان الساخن (إلى المحرك).

⁠${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$تكون قيمة أكبر من الصفر إذا وفقط إذا كان هناك فرق في درجة الحرارة بين الخزانين الحراريين. بما أن${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$⁠ هو الحد الأعلى لجميع كفاءات محركات الحرارة العكسية وغير العكسية، ويستنتج أنه يمكن إنتاج العمل من محرك حراري إذا وفقط إذا كان هناك فرق في درجة الحرارة بين خزانين حراريين متصلين بالمحرك.

تُعدّ نظرية كارنو نتيجةً للقانون الثاني للديناميكا الحرارية . تاريخياً، استندت هذه النظرية إلى نظرية السعرات الحرارية المعاصرة ، وسبقت وضع القانون الثاني. ^{[ 1 ]}

يُعدّ برهان نظرية كارنو برهانًا بالتناقض ، ويستند إلى حالة مشابهة للشكل الموضح على اليمين، حيث تعمل محركتان حراريتان بكفاءتين مختلفتين بين خزانين حراريين بدرجتي حرارة مختلفتين. يُطلق على الخزان الأكثر سخونة نسبيًا اسم الخزان الساخن، بينما يُطلق على الخزان الآخر اسم الخزان البارد. المحرك الحراري (ليس بالضرورة أن يكون عكسيًا )${\displaystyle M}$بكفاءة أكبر${\displaystyle \eta _{_{M}}}$يقود محرك حراري قابل للعكس${\displaystyle L}$بكفاءة أقل${\displaystyle \eta _{_{L}}}$مما يجعل الأخير يعمل كمضخة حرارية . متطلبات المحرك${\displaystyle L}$إن قابلية الانعكاس ضرورية لشرح العمل${\displaystyle W}$والحرارة${\displaystyle Q}$يرتبط ذلك باستخدام كفاءته المعروفة. ومع ذلك، بما أن${\displaystyle \eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}}$، سيكون صافي تدفق الحرارة عكسيًا، أي إلى الخزان الساخن:

${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},}$

أين${\displaystyle Q}$يمثل الحرارة،${\displaystyle {\text{in}}}$يشير إلى إدخال بيانات إلى كائن،${\displaystyle {\text{out}}}$لإخراج البيانات من كائن، و${\displaystyle h}$للخزان الحراري الساخن. إذا كانت الحرارة${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$إذا تدفقت من الخزان الساخن، فإن إشارتها تكون موجبة (+)، بينما إذا${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$إذا تدفقت الحرارة من الخزان الساخن، فإن إشارتها تكون سالبة (-). ويمكن اشتقاق هذا التعبير بسهولة باستخدام تعريف كفاءة المحرك الحراري.${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$حيث يمثل كل من الشغل والحرارة في هذه المعادلة كميات صافية لكل دورة محرك، ويتم تطبيق قانون حفظ الطاقة لكل محرك كما هو موضح أدناه. اصطلاح الإشارة للشغل${\displaystyle W}$، والتي تستخدم علامة + للعمل الذي يقوم به المحرك على محيطه.

يعني التعبير أعلاه أن كمية الحرارة الداخلة إلى الخزان الساخن من زوج المحركات (الذي يمكن اعتباره محركًا واحدًا) أكبر من كمية الحرارة الداخلة إلى زوج المحركات من الخزان الساخن (أي أن الخزان الساخن يحصل على الطاقة باستمرار). يُزوّد ​​محرك حراري عكسي ذو كفاءة منخفضة الخزان الساخن بكمية أكبر من الحرارة (الطاقة) مقابل كمية معينة من الشغل (الطاقة) المُقدّمة لهذا المحرك عند تشغيله كمضخة حرارية. كل هذا يعني أن الحرارة يمكن أن تنتقل من الأماكن الباردة إلى الأماكن الساخنة دون بذل شغل خارجي، وهذا الانتقال الحراري مستحيل وفقًا للقانون الثاني للديناميكا الحرارية .

• قد يبدو غريباً استخدام مضخة حرارية عكسية افتراضية ذات كفاءة منخفضة لانتهاك القانون الثاني للديناميكا الحرارية، لكن معيار الجدارة لوحدات التبريد ليس الكفاءة.${\displaystyle W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$لكن معامل الأداء (COP)، ^{[ 2 ]} وهو${\displaystyle Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W}$أين هذا${\displaystyle W}$يحمل علامة معاكسة لما سبق (+ للعمل المنجز على المحرك).

لنحدد قيم العمل${\displaystyle W}$والحرارة${\displaystyle Q}$يوضح الشكل على اليمين محرك حراري قابل للانعكاس${\displaystyle L}$بكفاءة أقل${\displaystyle \eta _{_{L}}}$يتم تشغيلها كمضخة حرارية بواسطة محرك حراري${\displaystyle M}$بكفاءة أكبر${\displaystyle \eta _{_{M}}}$.

تعريف الكفاءة هو${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ويمكن صياغة التعبيرات التالية لكل محرك:

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

مقام التعبير الثاني،${\displaystyle Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}$يُستخدم هذا لجعل التعبير متسقًا، ويساعد في تحديد قيم العمل والحرارة للمحرك.${\displaystyle L}$.

بالنسبة لكل محرك، القيمة المطلقة للطاقة الداخلة إلى المحرك،${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{in}}}$يجب أن تكون مساوية للقيمة المطلقة للطاقة الخارجة من المحرك،${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{out}}}$وإلا، فإن الطاقة تتراكم باستمرار في المحرك أو يتم انتهاك قانون حفظ الطاقة عن طريق أخذ طاقة من المحرك أكثر من الطاقة المدخلة إليه:

${\displaystyle E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},}$

${\displaystyle E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.}$

في التعبير الثاني،$\left|Q_{\text{h}}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$يُستخدم لإيجاد المصطلح${\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$وصف كمية الحرارة المأخوذة من الخزان البارد، واستكمال تعبيرات القيمة المطلقة للشغل والحرارة في الشكل الصحيح.

بعد التأكد من صحة قيم الأرقام الصحيحة، يمكن إثبات نظرية كارنو لمحركات الحرارة غير العكوسة والعكوسة كما هو موضح أدناه. ^{[ 3 ]}

كفاءة المحرك الحراري هي الشغل الذي يقوم به المحرك مقسومًا على كمية الحرارة المُدخلة إلى المحرك لكل دورة تشغيل.

${\displaystyle \eta ={\frac {w_{\text{cy}}}{q_{H}}}={\frac {q_{H}-q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$

1

أين${\displaystyle w_{\text{cy}}}$هو العمل الذي يقوم به المحرك،${\displaystyle q_{C}}$هي الحرارة التي تصل إلى خزان الماء البارد من المحرك، و${\displaystyle q_{H}}$تمثل هذه الكمية الحرارة التي تصل إلى المحرك من خزان الماء الساخن، لكل دورة. وبالتالي، تعتمد الكفاءة فقط على${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$[ ^{6 ]​}

لأن جميع المحركات الحرارية العكسية التي تعمل بين درجات حرارة${\displaystyle T_{1}}$و${\displaystyle T_{2}}$يجب أن يكون لهما نفس الكفاءة، فكفاءة المحرك الحراري العكسي هي دالة لدرجتي حرارة الخزانين فقط:

${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$.

2

بالإضافة إلى ذلك، محرك حراري عكسي يعمل بين درجتي حرارة${\displaystyle T_{1}}$و${\displaystyle T_{3}}$يجب أن تكون لها نفس كفاءة وحدة تتكون من دورتين، إحداهما بينهما${\displaystyle T_{1}}$ودرجة حرارة أخرى (متوسطة)${\displaystyle T_{2}}$والثاني بين${\displaystyle T_{2}}$و${\displaystyle T_{3}}$(${\displaystyle T_{1}<T_{2}<T_{3}}$لا يمكن أن يكون هذا هو الحال إلا إذا

${\displaystyle f(T_{1},T_{3})={\frac {q_{3}}{q_{1}}}={\frac {q_{2}q_{3}}{q_{1}q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})f(T_{2},T_{3})}$.

3

التخصص في الحالة التي${\displaystyle T_{1}}$هي درجة حرارة مرجعية ثابتة: درجة حرارة النقطة الثلاثية للماء 273.16. (بالطبع، يمكن استخدام أي درجة حرارة مرجعية وأي قيمة عددية موجبة - الاختيار هنا يتوافق مع مقياس كلفن ). ثم لأي${\displaystyle T_{2}}$و${\displaystyle T_{3}}$،

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

لذلك، إذا تم تعريف درجة الحرارة الديناميكية الحرارية بواسطة

${\displaystyle T'=273.16\cdot f(T_{1},T),}$

إذن، الدالة التي تُنظر إليها كدالة لدرجة الحرارة الديناميكية الحرارية، هي

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}$

ويترتب على ذلك مباشرة أن

${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})={\frac {T_{C}'}{T_{H}'}}}$.

4

بإدخال هذه المعادلة مرة أخرى في المعادلة أعلاه${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$يعطي علاقة للكفاءة بدلالة درجات الحرارة الديناميكية الحرارية:

${\displaystyle \eta =1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {T_{C}'}{T_{H}'}}}$.

5

بما أن خلايا الوقود يمكنها توليد طاقة مفيدة عندما تكون جميع مكونات النظام عند نفس درجة الحرارة (${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$)، من الواضح أنها غير مقيدة بنظرية كارنو، التي تنص على أنه لا يمكن توليد أي طاقة عندما${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$وذلك لأن نظرية كارنو تنطبق على المحركات التي تحول الطاقة الحرارية إلى شغل، بينما تحول خلايا الوقود الطاقة الكيميائية إلى شغل. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، لا يزال القانون الثاني للديناميكا الحرارية يفرض قيودًا على تحويل الطاقة في خلايا الوقود. ^{[ 8 ]}

بطارية كارنو هي نوع من أنظمة تخزين الطاقة التي تخزن الكهرباء في تخزين الطاقة الحرارية وتحول الحرارة المخزنة مرة أخرى إلى كهرباء من خلال دورات ديناميكية حرارية. ^{[ 9 ]}

• كفاءة شامبادال-نوفيكوف
• حدود كفاءة التدفئة والتبريد