نظرية كوشي (الهندسة)

نظرية كوشي هي نظرية في الهندسة ، سُميت نسبةً إلى أوغستين كوشي . تنص هذه النظرية على أن المجسمات المحدبة ثلاثية الأبعاد ذات الأوجه المتناظرة المتطابقة يجب أن تكون متطابقة فيما بينها. أي أن أي شبكة متعددة الأوجه تتكون من فرد أوجه المجسم على سطح مستوٍ، مع تحديد كيفية توصيل الأوجه ببعضها، تحدد بشكل فريد شكل المجسم الأصلي. على سبيل المثال، إذا تم توصيل ستة مربعات على شكل مكعب، فإنها ستشكل مكعبًا: لا يوجد مجسم محدب بستة أوجه مربعة متصلة بنفس الطريقة ولا يكون له نفس الشكل.

هذه نتيجة أساسية في نظرية الصلابة : إحدى نتائج هذه النظرية هي أنه إذا قام المرء بعمل نموذج مادي لمتعدد السطوح محدب عن طريق توصيل ألواح صلبة لكل وجه من وجوه متعدد السطوح بمفاصل مرنة على طول حواف متعدد السطوح، فإن هذه المجموعة من الألواح والمفاصل ستشكل بالضرورة بنية صلبة.

ليكن P و Q متعددَي وجوه محدبين ثلاثي الأبعاد متكافئين توافقيًا ؛ أي أنهما متعددَي وجوه محدبين بشبكات وجوه متماثلة . ولنفترض كذلك أن كل زوج من الوجوه المتناظرة من P و Q متطابق، أي متساوٍ حتى حركة صلبة. عندئذٍ يكون P و Q متطابقين.

لإثبات ضرورة التحدب، لنأخذ مثالاً على مجسم عشريني منتظم . يمكن "دفع" رأس لإنشاء مجسم متعدد السطوح غير محدب، ولكنه يظل مكافئاً تركيبياً للمجسم العشري المنتظم؛ أي أنه يمكن أخذ خمسة أوجه من المجسم العشري تلتقي عند رأس، والتي تشكل جوانب هرم خماسي ، وعكس الهرم بالنسبة لقاعدته.

نشأت هذه النتيجة في كتاب إقليدس " الأصول" ، حيث تُعتبر المجسمات متساوية إذا انطبقت نفس الخاصية على أوجهها. وقد برهن كوشي على هذه الصيغة من النتيجة عام ١٨١٣ استنادًا إلى عمل سابق للاغرانج . وقد صحح إرنست شتاينيتز وإسحاق جاكوب شونبيرج وألكسندر دانيلوفيتش ألكساندروف خطأً في برهان كوشي للفرضية الرئيسية . يتميز برهان كوشي المصحح بالإيجاز والأناقة، حتى أنه يُعتبر أحد البراهين الواردة في كتاب "الأصول" . ^{[ ١ ]}

• لا تنطبق هذه النتيجة على المستوى أو على المجسمات غير المحدبة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$توجد متعددات وجوه مرنة غير محدبة تتمتع بدرجة أو أكثر من حرية الحركة وتحافظ على أشكال وجوهها. على وجه الخصوص، تُعدّ ثمانيات وجوه بريكارد أسطحًا مرنة متقاطعة ذاتيًا اكتشفها عالم الرياضيات الفرنسي راؤول بريكارد عام 1897. أما كرة كونلي ، وهي متعدد وجوه مرن غير محدب متماثل الشكل مع كرة ثنائية الأبعاد، فقد اكتشفها روبرت كونلي عام 1977. ^{[ 2 ] [ 3 ]}
• على الرغم من أن كوشي أثبتها في الأصل في ثلاثة أبعاد، إلا أن ألكسندروف (1950) قام بتوسيع النظرية إلى أبعاد أعلى من 3 .
• تُعد نظرية كوشي للصلابة نتيجة لنظرية كوشي التي تنص على أنه لا يمكن تشويه متعدد السطوح المحدب بحيث تظل وجوهه صلبة.
• في عام 1974، أثبت هيرمان جلوك أنه بمعنى دقيق معين، فإن جميع الأسطح المغلقة المتصلة ببساطة تقريبًا تكون صلبة. ^{[ 4 ]}
• تُعدّ نظرية ديهن للصلابة امتداداً لنظرية كوشي للصلابة لتشمل الصلابة المتناهية الصغر. وقد توصل ديهن إلى هذه النتيجة عام 1916.
• تُعمم نظرية ألكسندروف لعام 1950 نظرية كوشي، مُبينةً أن المجسمات المحدبة تُوصف بشكلٍ فريد بواسطة الفضاءات المترية للجيوديسيات على سطحها. وقد أثبت كوهن-فوسن في عام 1927 نظرية التفرد المماثلة للأسطح الملساء . أما نظرية بوغوريلوف للتفرد فهي نتيجةٌ توصل إليها بوغوريلوف، تُعمم كلتا النتيجتين وتُطبق على الأسطح المحدبة العامة.

• متعدد السطوح شونهاردت

• AL Cauchy، “Recherche sur les polyèdres – Premier mémoire”، Journal de l'École Polytechnique 9 (1813)، 66–86.
• ماكس دهن ، "Über die Starrheit konvexer Polyeder" (بالألمانية)، الرياضيات. آن. 77 (1916)، 466-473.
• ألكسندر دانيلوفيتش ألكسندروف ، المجسمات المحدبة ، معهد غودارد للتكنولوجيا، موسكو، 1950. الترجمة الإنجليزية : سبرينغر، برلين، 2005.
• جيمس ج. ستوكر ، "المسائل الهندسية المتعلقة بالمجسمات متعددة الأوجه في الحجم الكبير"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 21 (1968)، 119-168.
• روبرت كونلي ، "الصلابة"، في كتيب الهندسة المحدبة ، المجلد أ، 223-271، نورث هولاند، أمستردام، 1993.