مجسم عشروني منتظم

مساحة سطح المجسم متعدد السطوح هي مجموع مساحات أوجهه. في حالة المجسم العشري الوجوه المنتظم، فإن مساحة سطحه${\displaystyle A}$حجمه يساوي عشرين ضعف حجم كل وجه من أوجه مثلثه متساوي الأضلاع.${\displaystyle V}$يمكن الحصول على حجمه بعشرين ضعف حجم هرم قاعدته أحد أوجهه وقمته مركز المجسم العشري الوجوه المنتظم؛ أو كمجموع حجم هرمين خماسيين منتظمين ومنشور خماسي مضاد . بافتراض أن طول الحافة${\displaystyle a}$بالنسبة للمجسم العشري الوجوه المنتظم، فإن كلا التعبيرين هما: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.660a^{2},\qquad V={\frac {5\varphi ^{2}}{6}}a^{3}\approx 2.182a^{3}.}$$

الكرة الداخلية للمجسم المحدب هي كرة تلامس كل وجه من أوجه المجسم داخلها. الكرة المحيطة بالمجسم المحدب هي كرة تحتوي على المجسم وتلامس كل رأس من رؤوسه. الكرة الوسطى للمجسم المحدب هي كرة مماسة لكل حافة. ​​علمًا بأن طول الحافة${\displaystyle a}$للمجسم العشروني المنتظم، نصف قطر الكرة (inradius)${\displaystyle r_{I}}$، نصف قطر الكرة المحيطة (نصف قطر الدائرة)${\displaystyle r_{C}}$ونصف قطر الكرة الوسطى (نصف القطر الأوسط)${\displaystyle r_{M}}$وهي على التوالي: ^{[ 12 ]}$${\displaystyle r_{I}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.756a,\qquad r_{C}={\frac {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}{2}}a\approx 0.951a,\qquad r_{M}={\frac {\varphi }{2}}a\approx 0.809a.}$$

من المسائل التي تعود إلى عهد الإغريق القدماء تحديد أي الشكلين له حجم أكبر: مجسم عشروني منتظم محصور داخل كرة، أم مجسم اثنا عشري منتظم محصور داخل الكرة نفسها. وقد حلّ هذه المسألة كلٌ من هيرو ، وبابوس ، وفيبوناتشي ، وغيرهم. ^{[ 13 ]} اكتشف أبولونيوس البرغي نتيجةً غريبةً مفادها أن نسبة حجمي هذين الشكلين هي نفسها نسبة مساحتي سطحيهما. ^{[ 14 ]} لكلا الحجمين صيغٌ تتضمن النسبة الذهبية ، ولكن بقوى مختلفة. ^{[ 15 ]} وكما اتضح، يشغل المجسم العشروني المنتظم نسبةً أقل من حجم الكرة (60.54%) مقارنةً بالمجسم الاثني عشري المنتظم (66.49%). ^{[ أ ]}

الزاوية ثنائية السطوح لمجسم عشريني منتظم هي${\displaystyle 2\arcsin(\varphi /{\sqrt {3}})\approx 138.19^{\circ }}$يُحسب هذا بجمع زوايا الأهرامات الخماسية ذات الأوجه المنتظمة ومنشور خماسي مضاد. تبلغ الزاوية الثنائية بين وجهين مثلثين متجاورين في المنشور الخماسي المضاد والهرم الخماسي حوالي 38.2 درجة. أما الزاوية الثنائية بين وجه خماسي ووجه مثلث في المنشور الخماسي المضاد فتبلغ 100.8 درجة، بينما تبلغ الزاوية الثنائية بين وجهين متجاورين في الهرم الخماسي المضاد 37.4 درجة. لذا، بالنسبة للمجسم العشري الوجوه المنتظم، فإن الزاوية الثنائية بين مثلثين متجاورين، على الحافة التي يتصل بها الهرم الخماسي والمنشور الخماسي المضاد، تساوي 37.4 درجة + 100.8 درجة = 138.2 درجة. ^{[ 16 ]}

يحتوي المجسم العشري الوجوه المنتظم على ثلاثة أنواع من الخطوط الجيوديسية المغلقة . وهي مسارات على سطحه مستقيمة محليًا: تتجنب رؤوس المجسم، وتتبع قطعًا مستقيمة عبر الأوجه التي تتقاطع معها، وتشكل زوايا متتامة على الوجهين المتصلين بكل حافة تتقاطع معها. يشكل الخط الجيوديسي الأول مضلعًا عشاريًا منتظمًا عموديًا على أطول قطر، وطوله${\displaystyle 5}$أما الخطان الجيوديسيان الآخران فهما غير مستويين ، بأطوال${\displaystyle 3{\sqrt {3}}\approx 5.196}$و${\displaystyle 2{\sqrt {7}}\approx 5.292}$[ ^{17 ]​}

يمتلك المجسم العشري الوجوه المنتظم واحدًا وثلاثين محورًا للتناظر الدوراني (أي الدوران حول محور ينتج عنه شكل مطابق). ستة محاور تمر برأسين متقابلين، وعشرة محاور تدور حول وجه مثلثي، وخمسة عشر محورًا تمر بأي من حوافه. هذه المحاور، على التوالي، تمثل تناظرًا دورانيًا خماسيًا (0°، 72°، 144°، 216°، و288°)، وتناظرًا دورانيًا ثلاثيًا (0°، 120°، و240°)، وتناظرًا دورانيًا ثنائيًا (0° و180°). ^{[ 18 ]} كما يمتلك المجسم العشري الوجوه المنتظم خمسة عشر مستوى انعكاس يمكن تمثيلها كدوائر عظمى على سطح كرة. يقسم هذا المجسم سطح الكرة إلى 120 مثلثًا تُسمى المجالات الأساسية ؛ وتُعرف هذه المثلثات بمثلثات موبيوس . كل من الانعكاسات والتناظرات الدورانية هي تحويلات متساوية القياس - أي تحويلات للحفاظ على المظهر - والتي تشكل التناظر العشري الوجوه الكامل${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$من الرتبة 120. ^{[ 19 ]} هذه المجموعة التناظرية متماثلة مع حاصل ضرب مجموعة التناظر الدوراني والمجموعة الدورية ذات الحجم اثنين، المتولدة عن طريق الانعكاس عبر مركز المجسم العشري الوجوه المنتظم. ^{[ 20 ]}

مجموعة التناظر الدوراني للمجسم العشري الوجوه المنتظم متماثلة مع المجموعة المتناوبة على خمسة أحرف. هذه المجموعة البسيطة غير التبديلية هي المجموعة الفرعية الطبيعية الوحيدة غير التافهة للمجموعة المتناظرة على خمسة أحرف. ^{[ 21 ]} بما أن مجموعة غالوا للمعادلة الخماسية العامة متماثلة مع المجموعة المتناظرة على خمسة أحرف، وهذه المجموعة الفرعية الطبيعية بسيطة وغير تبديلية، فإن المعادلة الخماسية العامة لا تملك حلاً في الجذور. يعتمد برهان نظرية أبيل-روفيني على هذه الحقيقة البسيطة، ^{[ 22 ]} وقد ألف فيليكس كلاين كتابًا استخدم فيه نظرية تناظرات المجسم العشري الوجوه لاستنتاج حل تحليلي للمعادلة الخماسية العامة. ^{[ 23 ]}

المجسم العشري الوجوه المنتظم متساوي الزوايا ، ومتساوي الأوجه ، ومتساوي المحاور : يمكن تحويل أي رأسين، أو وجهين، أو ضلعين من المجسم العشري الوجوه المنتظم عن طريق الدوران والانعكاس تحت مدار التناظر الخاص به، مما يحافظ على شكله. لكل مجسم متعدد الوجوه منتظم غلاف محدب على منتصفات أضلاعه؛ المجسم العشري الوجوه ذو الاثني عشر وجهًا هو الغلاف المحدب للمجسم العشري الوجوه المنتظم. ^{[ 24 ]} كل رأس محاط بخمسة مثلثات متساوية الأضلاع، لذا فإن المجسم العشري الوجوه المنتظم يرمز إلى${\displaystyle 3.3.3.3.3}$في تكوين الرؤوس أو${\displaystyle \{3,5\}}$في رمز شلافلي . ^{[ 25 ]}

نرد ذو عشرين وجهاً من مصر البطلمية، منقوش عليه حروف يونانية.

نرد لعبة سكاترجوريز ذو العشرين وجهًا، باستثناء الأحرف الستة Q و U و V و X و Y و Z

تُعدّ النرد من أكثر الأدوات شيوعًا التي تستخدم أشكالًا متعددة الأوجه، منها المجسم العشري الوجوه المنتظم. وقد عُثر على النرد ذي العشرين وجهًا في العصور القديمة. ومن الأمثلة على ذلك النرد الذي عُثر عليه في مصر البطلمية ، والذي استُخدم لاحقًا في العصرين اليوناني والروماني، حيث نُقشت عليه حروف يونانية. ^{[ 26 ]} كما عُثر على مثال آخر في كنز تيبو سلطان ، وكان مصنوعًا من الذهب ومكتوبًا عليه أرقام على كل وجه. ^{[ 27 ]}

في العديد من ألعاب تقمص الأدوار ، مثل لعبة Dungeons & Dragons ، يُستخدم النرد ذو العشرين وجهًا (المُشار إليه بـ d20 ) بشكل شائع لتحديد نجاح أو فشل أي فعل. قد يُرقّم من 0 إلى 9 مرتين، وفي هذه الحالة يُستخدم عادةً كنرد ذي عشرة أوجه ( d10 )؛ أما معظم الإصدارات الحديثة فتُرقّم من 1 إلى 20. ^{[ 28 ]} لعبة Scattergories هي لعبة لوحية أخرى يقوم فيها اللاعب بتسمية فئات مُحددة على بطاقة خلال وقت مُحدد. تبدأ تسمية هذه الفئات باستخدام الأحرف الموجودة على كل نرد ذي عشرين وجهًا. ^{[ 29 ]}

الشعاعيات سيركوجونيا إيكوساهيدرا

خريطة دايمكسيون ، التي تم إنشاؤها بواسطة شبكة من عشرين وجهًا منتظمًا

في علم الفيروسات ، تمتلك فيروسات الهربس أغلفة عشرينية الوجوه ، وهو أمر معروف بشكل خاص في الفيروسات الغدية . ^{[ 30 ]} يُحاط الغلاف البروتيني الخارجي لفيروس نقص المناعة البشرية بعشرين وجهًا منتظمًا، كما هو الحال في رأس فيروس عضلي نموذجي . ^{[ 31 ]} وصف إرنست هيكل العديد من أنواع الشعاعيات التي اكتشفتها أغلفةها بأنها متعددة الوجوه منتظمة الشكل؛ أحدها هو سيركوجونيا إيكوساهيدرا ، الذي يتخذ هيكله شكل عشرين وجهًا منتظمًا. ^{[ 32 ]}

في الكيمياء، تُعرف مركبات كلوزو - كاربوران بأنها مركبات ذات شكل يُشبه المجسم العشري الوجوه المنتظم. ^{[ 33 ]} كما يحدث التوأمة البلورية ذات الأشكال العشرية الوجوه في البلورات، وخاصة الجسيمات النانوية . ^{[ 34 ]} تحتوي العديد من البوريدات ومتآصلات البورون، مثل المعينية ألفا وبيتا ، على مجسم البورون العشري الوجوه _B12 كوحدة بنائية أساسية. ^{[ 35 ]}

في علم الخرائط، استخدم ر. بوكمينستر فولر شبكة مجسم عشريني منتظم لإنشاء خريطة تُعرف باسم خريطة دايمكسيون ، وذلك بتقسيم الشبكة إلى مثلثات، ثم حساب الشبكة على سطح الأرض، ونقل النتائج من الكرة إلى المجسم. وقد أُنشئ هذا الإسقاط في الفترة التي أدرك فيها فولر أن غرينلاند أصغر من أمريكا الجنوبية . ^{[ 36 ]}

في مسألة طومسون ، المتعلقة بتكوين الطاقة الأدنى لـ${\displaystyle n}$الجسيمات المشحونة على كرة، وبالنسبة لمسألة تامس المتمثلة في بناء رمز كروي يزيد من أصغر مسافة بين النقاط، فإن الحل الأدنى المعروف لـ${\displaystyle n=12}$يضع هذا التكوين النقاط عند رؤوس مجسم عشروني الوجوه منتظم، محاط بكرة . وقد ثبت أن هذا التكوين هو الأمثل لمسألة تامس، وكذلك لمسألة توماس. ^{[ 37 ]}

في نظام التنسيغريتي، يتكون المجسم العشري الوجوه المنتظم من ستة دعامات وأربعة وعشرين كابلاً تربط اثنتي عشرة عقدة. وتوجد حالة إجهاد ذاتي واحدة ضمن التركيبة التي يتم الحصول عليها من خلال استخدام التكوين الخلوي . ^{[ 38 ]}

رسم تخطيطي لمجسم عشريني الوجوه منتظم من تصميم يوهانس كيبلر

نموذج كبلر الأفلاطوني الصلب للنظام الشمسي

يُعدّ المجسم العشري الوجوه المنتظم أحد المجسمات الأفلاطونية الخمسة . عُرفت المجسمات المنتظمة منذ القدم، ولكنها سُمّيت نسبةً إلى أفلاطون الذي ربطها، في حواره "طيماوس" ، بالعناصر الخمسة ، ونُسبت وحداتها الأولية إلى هذه الأشكال: النار (الهرم الرباعي الوجوه)، والهواء (الهرم الثماني الوجوه)، والماء (الهرم العشري الوجوه)، والأرض (المكعب)، وشكل الكون ككل (الهرم الاثني عشري الوجوه). عرّف كتاب " الأصول " لإقليدس المجسمات الأفلاطونية وحلّ مسألة إيجاد نسبة قطر الكرة المحيطة إلى طول ضلعها. ^{[ 39 ]}

بعد أن ربط أفلاطون هذه الأشكال بالعناصر، قام يوهانس كيبلر في كتابه "هارمونيسيس موندي" برسم كل منها، ولا سيما المجسم العشري الوجوه المنتظم. ^{[ 40 ]} وفي كتابه "ميستيريوم كوزموغرافيكوم" ، اقترح أيضًا نموذجًا للنظام الشمسي قائمًا على وضع المجسمات الأفلاطونية في تسلسل متمركز ذي أنصاف أقطار متزايدة للكرات المحيطة والمحاطة، والتي تُعطي أنصاف أقطارها المسافة بين الكواكب الستة المعروفة والمركز المشترك. وكان ترتيب هذه المجسمات، من الأقرب إلى الأبعد، كالتالي: ثماني الوجوه المنتظم ، والمجسم العشري الوجوه المنتظم، والمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم ، والهرم الرباعي الوجوه المنتظم ، والمكعب . ^{[ 41 ]}

تم تضمين الرسوم التوضيحية التي رسمها ليوناردو دافنشي لكل من المجسمات العشرينية المنتظمة والاثني عشري المنتظم، من بين متعددات الوجوه الأخرى، في التناسب الإلهي للوكا باسيولي . ^{[ 42 ]}

كل رسم بياني أفلاطوني ، بما في ذلك الرسم البياني ذو العشرين وجهًا ، هو رسم بياني متعدد الأوجه : يمكن رسمه في المستوى دون أن يتقاطع مع حوافه ، وإزالة أي رأسين منه ينتج عنه رسم بياني فرعي متصل . وفقًا لنظرية شتاينيتز ، فإن الرسم البياني ذو العشرين وجهًا الذي يتمتع بهذه الخصائص المذكورة أعلاه يمثل الهيكل العظمي لمجسم عشريني منتظم. ^{[ 43 ]}

يحتوي الرسم البياني ذو العشرين وجهًا على اثني عشر رأسًا، وهو نفس عدد رؤوس المجسم العشري الوجوه المنتظم. وترتبط هذه الرؤوس بخمسة حواف من كل رأس، مما يجعل الرسم البياني ذو العشرين وجهًا منتظمًا من الدرجة 5. ^{[ 44 ]} الرسم البياني ذو العشرين وجهًا هو رسم بياني هاميلتوني ، لأنه يحتوي على دورة يمكنها زيارة كل رأس مرة واحدة فقط. ^{[ 45 ]} أي مجموعة جزئية من أربعة رؤوس لها ثلاثة حواف متصلة، إحداها هي الحافة المركزية من بين جميع هذه الحواف الثلاثة، ولا يحتوي الرسم البياني ذو العشرين وجهًا على أي رسم بياني جزئي مستحث ، أي أنه رسم بياني خالٍ من المخالب . ^{[ 46 ]}

الرسم البياني ذو العشرين وجهاً هو رسم بياني أنيق ، بمعنى أنه يمكن تسمية كل رأس بعدد صحيح بين 0 و30 شاملاً، بحيث يكون الفرق المطلق بين تسميات رأسي الحافة مختلفًا لكل حافة. ^{​​[ 47 ]}

يمكن تمثيل المجسم العشري الوجوه المنتظم بمصفوفة التكوين ، وهي مصفوفة تمثل صفوفها وأعمدتها عناصر المجسم، كالرؤوس والحواف والوجوه. يشير قطر المصفوفة إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في المجسم، بينما تشير العناصر غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عناصر العمود في عنصر الصف أو عنده. المصفوفة التالية هي: ^{[ 48 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}12&5&5\\2&30&2\\3&3&20\end{bmatrix}}.}$$

المجسم العشري الوجوه المنتظم هو المجسم الثنائي للمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم . يمكن رسم المجسم العشري الوجوه المنتظم داخل المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم بوضع رؤوسه في مراكز أوجه المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم، والعكس صحيح. يتمتع المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم بتناظر عشري الوجوه. ^{[ 49 ]}

إلى جانب البناء المذكور أعلاه، يمكن رسم المجسم العشري الوجوه المنتظم داخل مجسم ثماني الوجوه منتظم بوضع رؤوسه الاثني عشر على حواف المجسم الثماني الوجوه الاثني عشر بحيث تقسم كل حافة بنسبة النسبة الذهبية . ولأن القطع الناتجة غير متساوية، توجد خمس طرق مختلفة للقيام بذلك بشكل متسق، وبالتالي يمكن رسم خمسة مجسمات عشرية الوجوه منفصلة داخل كل مجسم ثماني الوجوه. ^{[ 50 ]} وثمة علاقة أخرى بينهما وهي أنهما جزء من التحويل التدريجي من دعامات المجسم المكعب الثماني الوجوه الصلبة ورؤوسه المرنة، والمعروف بتحويل الجيترباغ . ^{[ 51 ]}

مجسم عشروني منتظم طول ضلعه${\displaystyle 1/\varphi \approx 0.618}$يمكن رسم مجسم عشريني الوجوه داخل مكعب طول ضلعه وحدة واحدة، وذلك بوضع ستة من أضلاعه - ثلاثة أزواج متقابلة متعامدة - على الأوجه المربعة للمكعب، متمركزة على مراكز الأوجه وموازية أو عمودية على أضلاع المربع. ^{[ 52 ]} ولأن عدد أضلاع المجسم العشرين الوجوه يفوق عدد أوجه المكعب بخمسة أضعاف، فهناك خمس طرق لرسمه بشكل متسق، وبالتالي يمكن رسم خمسة مجسمات عشرينية الوجوه منفصلة داخل كل مكعب. وتكون أطوال أضلاع المكعب والمجسم العشرين الوجوه المرسوم داخله بنسبة ذهبية. ^{[ 53 ]}

يحتوي المجسم العشري الوجوه المنتظم على عدد كبير من التشكيلات النجمية ، التي تُنشأ بتمديد أوجه المجسم العشري الوجوه المنتظم. وقد حدد كوكسيتر وآخرون (1938) في كتابهم " المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون" تسعة وخمسين تشكيلاً نجمياً للمجسم العشري الوجوه المنتظم. ويُعد المجسم العشري الوجوه المنتظم نفسه التشكيل النجمي الصفري للمجسم العشري الوجوه، ويحتوي التشكيل النجمي الأول على كل وجه أصلي مُضاف إليه هرم صغير. ويشمل التشكيل النجمي الأخير جميع الخلايا في مخطط التشكيل النجمي للمجسم العشري الوجوه، أي أن كل ثلاثة مستويات وجهية متقاطعة من لب المجسم العشري الوجوه تتقاطع إما عند رأس من رؤوس هذا المجسم أو داخله. ^{[ 54 ]}

ستة أشكال نجمية للمجسم العشري الوجوه المنتظم وفقًا لكوكسيتر وآخرون (1938) : المجسم العشري الوجوه المنتظم (الصفر)، والشكل النجمي الأول ، والمركب المنتظم المكون من خمسة مجسمات ثمانية الوجوه ، والمجسم الاثني عشري الوجوه المحفور ، والمجسم العشري الوجوه الكبير ، والشكل النجمي الأخير . انظر القائمة للمزيد.

يمكن بناء المجسم ذي الاثني عشر وجهًا الكبير من المجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم بطرق أخرى. فإلى جانب التشكّل النجمي، يمكن بناء المجسم ذي الاثني عشر وجهًا الكبير عن طريق تقسيم المجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم إلى أوجه، أي إزالة الأوجه المثلثية للمجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم دون إزالة الرؤوس أو إنشاء رؤوس جديدة؛ ثم تشكيل اثني عشر شكلًا خماسيًا منتظمًا على مجموعات من خمسة رؤوس داخل المجسم ذي العشرين وجهًا المنتظم. تتقاطع هذه الأوجه الجديدة مع بعضها البعض، لتشكل نجمة خماسية كشكل رأسي . ^{[ 55 ]}

من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين: مجسم ذو اثني عشر وجهًا كبيرًا ، مجسم ذو عشرين وجهًا مقطوعًا ، هرم خماسي مستطيل الشكل ، ومجسم ذو عشرين وجهًا منكمش الحواف

المجسم العشري الوجوه ثلاثي الأضلاع هو مجسم كاتالاني يُبنى عن طريق ربط قواعد الأهرامات المثلثية بكل وجه من أوجه المجسم العشري الوجوه المنتظم، وهو ما يُعرف بـ"كليتوب " المجسم العشري الوجوه. ^{[ 56 ]} أما المجسم العشري الوجوه المقطوع فهو مجسم أرخميدسي يُبنى عن طريق قطع رؤوس المجسم العشري الوجوه المنتظم؛ ويمكن اعتبار المجسم الناتج كرة قدم نظرًا لاحتوائه على نمط من الأوجه السداسية والخماسية العديدة، ^{[ 57 ]} أو شكلًا بنيويًا للكربون يُعرف باسم "باكمينستر فوليرين" ويتكون من 60 ذرة كربون مرتبطة ببعضها. ^{[ 58 ]}

مجسم جونسون هو متعدد السطوح ذو أوجه منتظمة جميعها ولكنه غير منتظم . بعبارة أخرى، لا يشمل مجسمات أرخميدس ، أو مجسمات كاتالان ، أو الموشورات ، أو الموشورات المضادة . يمكن اشتقاق بعض مجسمات جونسون عن طريق إزالة جزء من مجسم عشريني منتظم، وهي عملية تُعرف بالتصغير . ومن هذه المجسمات: الهرم الخماسي المطوّل ، والمجسم العشري ثنائي التصغير ، والمجسم العشري ثلاثي التصغير ، والتي تُزيل هرمًا خماسيًا واحدًا، وهرمين، وثلاثة أهرامات خماسية من المجسم العشري، على التوالي. ^{[ 59 ]}

يتميز المجسم العشري الوجوه ذو الحواف المنكمشة بسطح يشبه المجسم العشري الوجوه المنتظم، ولكن بعض الوجوه تقع في نفس المستوى . ^{[ 60 ]}

مجسم كروي ذو عشرين وجهاً ولعبة تُدعى إمبوسيبول

يمثل المجسم العشري الوجوه الكروي مجسمًا عشري الوجوه منتظمًا مُسقطًا على كرة، وهو جزء من متعدد السطوح الكروي . ويمكن تمثيله بقوس من الدوائر العظمى ، مُشكلاً حدودًا كحواف المثلث الكروي . ^{[ 61 ]} وقد حدده ر. بوكمينستر فولر ، ويحتوي المجسم العشري الوجوه الكروي على 31 دائرة عظمى . ^{[ 62 ]} أما نظيره فهو المجسم الاثني عشري الوجوه الكروي . ^{[ 61 ]} ويمكن إيجاد شكل مشابه لهذا في لعبة "إمبوسيبول" ، وهي لعبة مشابهة لمكعب روبيك . ^{[ 63 ]}

يمكن اشتقاق شكل آخر مشابه عن طريق الحفاظ على رؤوس المجسم العشري الوجوه المنتظم في مواقعها الأصلية واستبدال أزواج معينة من المثلثات متساوية الأضلاع بأزواج من المثلثات متساوية الساقين. المجسم الناتج هو النسخة غير المحدبة من المجسم العشري الوجوه المنتظم. ومع ذلك، يُعرف أحيانًا بشكل خاطئ باسم مجسم جيسن العشري الوجوه نظرًا للتشابه البصري، وامتلاكه نفس البنية التوافقية والتناظر؛ ^{[ ب ]} الفرق هو أن المجسم غير المحدب لا يشكل بنية شد متوازنة ولا يحتوي على زوايا ثنائية قائمة. ^{[ 64 ]}

المجسم العشري الوجوه المنتظم يُشابه متعدد الوجوه ذو الـ 600 خلية ، وهو متعدد الوجوه رباعي الأبعاد منتظم . ^{[ 65 ]} يتكون هذا متعدد الوجوه من ستمائة رباعي وجوه منتظم كخلايا له . ^{[ 66 ]} يُعد المجسم العشري الوجوه المنتظم خليةً لشبكة قرص العسل في فضاء ثلاثي الأبعاد زائدي . ^{[ 67 ]}