المجسمات المحدبة (كتاب)

متعددات الوجوه المحدبة هو كتاب عن رياضيات متعددات الوجوه المحدبة ، كتبه عالم الرياضيات السوفييتي ألكسندر دانيلوفيتش ألكساندروف ، ونشر في الأصل باللغة الروسية في عام 1950، تحت عنوان Выпуклые многогранники . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تمت ترجمته إلى الألمانية بواسطة فيلهلم سوس باسم Konvexe Polyeder في عام 1958. ^{[ 3 ]} طبعة محدثة، تمت ترجمتها إلى الإنجليزية بواسطة نورلان س. ديربيكوف، وسيمين سامسونوفيتش كوتاتيلادزه، وأليكسي ب. سوسينسكي، مع مواد إضافية بواسطة فيكتور زالجالر ، وإل إيه شور، ويو. تم نشر A. Volkov تحت عنوان متعدد الوجوه المحدب بواسطة Springer-Verlag في عام 2005. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

يركز الكتاب بشكل أساسي على تحديد البيانات الهندسية التي تحدد بشكل فريد شكل متعدد السطوح المحدب ثلاثي الأبعاد، وذلك ضمن فئة معينة من التحويلات الهندسية كالتطابق أو التشابه. ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 6 ]} ويتناول الكتاب كلاً من متعددات السطوح المحدودة ( الأغلفة المحدبة لمجموعات محدودة من النقاط) ومتعددات السطوح غير المحدودة (تقاطعات عدد محدود من أنصاف الفضاءات ). ^{[ 1 ]}

تضمنت الطبعة الروسية للكتاب الصادرة عام 1950 أحد عشر فصلاً. يتناول الفصل الأول الخصائص الطوبولوجية الأساسية للمجسمات، بما في ذلك تكافؤها الطوبولوجي مع الكرات (في الحالة المحدودة) وصيغة أويلر للمجسمات . بعد مبرهنة أوغسطين كوشي حول استحالة تسمية حواف المجسم بإشارات موجبة وسالبة بحيث يكون لكل رأس أربعة تغييرات في الإشارة على الأقل، ^{[ 1 ]} يُلخص ما تبقى من الفصل الثاني محتوى بقية الكتاب. ^{[ 4 ]} يُثبت الفصلان الثالث والرابع نظرية ألكساندروف للوحدانية ، التي تُحدد هندسة سطح المجسمات بأنها بالضبط الفضاءات المترية الكروية طوبولوجيًا محليًا مثل المستوى الإقليدي باستثناء مجموعة محدودة من النقاط ذات النقص الزاوي الموجب ، والتي تُحقق نظرية ديكارت حول النقص الزاوي الكلي التي تنص على أن النقص الزاوي الكلي يجب أن يكون${\displaystyle 4\pi }$يتناول الفصل الخامس الفضاءات المترية المعرفة بنفس الطريقة والتي هي قرص طوبولوجيًا وليست كرة، ويدرس الأسطح متعددة السطوح المرنة الناتجة عنها. ^{[ 1 ]}

تتناول الفصول من 6 إلى 8 من الكتاب نظرية هيرمان مينكوفسكي التي تنص على أن المجسم المحدب يُحدد بشكل فريد بمساحات واتجاهات أوجهه ، مع برهان جديد قائم على ثبات المجال . ^{[ 1 ]} ويُشير تعميم هذه النظرية إلى أن الأمر نفسه ينطبق على محيطات واتجاهات الأوجه. ^{[ 5 ]} ويتناول الفصل 9 إعادة بناء المجسمات ثلاثية الأبعاد من منظور ثنائي الأبعاد، وذلك بتقييد رؤوس المجسم لتقع على أشعة تمر عبر نقطة الرؤية. ويختتم الإصدار الروسي الأصلي للكتاب بفصلين، 10 و11، يتناولان نظرية كوشي التي تنص على أن المجسمات ذات الأوجه المستوية تُشكل هياكل صلبة ، ويصفان الفروق بين صلابة المجسمات وصلابتها المتناهية الصغر، كما طورها ماكس دين بشكل مشابه لنظرية كوشي في الصلابة . ^{[ 1 ] [ 4 ]}

أضافت الطبعة الإنجليزية لعام 2005 تعليقات ومعلومات ببليوغرافية حول العديد من المسائل التي طُرحت كمسائل مفتوحة في طبعة عام 1950، ولكن تم حلها لاحقًا. كما تتضمن في فصل من المواد التكميلية ترجمات لثلاث مقالات ذات صلة بقلم فولكوف وشور، ^{[ 4 ]} بما في ذلك برهان مبسط لنظريات بوغوريلوف التي تعمم نظرية ألكسندروف للوحدانية على الأسطح المحدبة غير متعددة السطوح. ^{[ 5 ]}

يكتب روبرت كونلي أنه بالنسبة لعمل يصف تطورات هامة في نظرية المجسمات المحدبة، والذي كان يصعب الوصول إليه في الغرب، فإن الترجمة الإنجليزية لكتاب "المجسمات المحدبة" كانت متأخرة جدًا. ويصف كونلي المادة المتعلقة بنظرية ألكساندروف للوحدانية بأنها "النتيجة الأبرز في الكتاب"، ويكتب أن الكتاب "كان له تأثير كبير على عدد لا يحصى من علماء الرياضيات الروس". ومع ذلك، ينتقد كونلي قلة التمارين في الكتاب، وعرضه غير المتسق الذي لا يميز بين النتائج الأساسية الهامة والتفاصيل التقنية المتخصصة. ^{[ 5 ]}

على الرغم من أن كتاب "المجسمات المحدبة" موجه لجمهور رياضي واسع، إلا أنه يفترض مستوىً عالياً من المعرفة الأساسية في مجالات تشمل الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية والجبر الخطي . ^{[ 6 ]} يوصي المراجع فاسيل غوركافي بكتاب "المجسمات المحدبة" للطلاب والرياضيين المحترفين كمقدمة لرياضيات المجسمات المحدبة. ويشير أيضاً إلى أنه بعد مرور أكثر من 50 عاماً على نشره الأصلي، "لا يزال الكتاب يحظى باهتمام كبير من المتخصصين"، وذلك بعد تحديثه ليشمل العديد من التطورات الجديدة وسرد المسائل المفتوحة الجديدة في هذا المجال. ^{[ 4 ]}

• قائمة الكتب حول المجسمات متعددة الأوجه