أليكسي بوغوريلوف

أليكسي فاسيليفيتش بوغوريلوف ( بالروسية : Алексе́й Васи́льевич Погоре́лов ، بالأوكرانية : Олексі́й Васи́льович Погорє́лов ؛ 3 مارس 1919 - 17 ديسمبر 2002)، كان عالم رياضيات سوفيتيًا . متخصص في مجال الهندسة المحدبة ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} والهندسة التفاضلية ، والمعادلات التفاضلية الجزئية الهندسية ، ونظرية الأغلفة المرنة، ومؤلف كتب مدرسية جديدة في الهندسة وكتب جامعية في الهندسة التحليلية ، والهندسة التفاضلية، وأسس الهندسة.

سُميت نظرية بوغوريلوف للتفرد ونظرية ألكساندروف-بوغوريلوف نسبة إليه.

وُلد في كوروخا لعائلة فلاحية. في عام ١٩٣١، وبسبب سياسة التجميع الزراعي ، هرب والدا بوغوريلوف من القرية إلى خاركيف ، حيث عمل والده في بناء مصنع جرارات خاركيف. في عام ١٩٣٥، فاز بوغوريلوف بالجائزة الأولى في أولمبياد الرياضيات بجامعة خاركيف الحكومية . بعد تخرجه من المدرسة الثانوية عام ١٩٣٧، التحق بقسم الرياضيات في جامعة خاركيف الحكومية، وكان الطالب المتفوق في القسم.

في عام ١٩٤١، بعد دخول الاتحاد السوفيتي الحرب العالمية الثانية ، أُرسل بوغوريلوف للدراسة لمدة ١١ شهرًا في أكاديمية جوكوفسكي لهندسة القوات الجوية . وخلال دراسته، كان الطلاب يُرسلون دوريًا لعدة أشهر إلى الجبهة كفنيين لصيانة الطائرات. وبعد انتصار الجيش الأحمر على النازيين قرب موسكو، استمر التدريب لفصل دراسي كامل. بعد تخرجه من الأكاديمية، عمل مهندس تصميم في معهد جوكوفسكي المركزي للديناميكا الهوائية (TsAGI).

دفع شغف بوغوريلوف بإكمال دراسته الجامعية والتخصص في الهندسة إلى الالتحاق بجامعة موسكو الحكومية. وبناءً على توصية من إي جي بيتروفسكي (عميد قسم الميكانيكا والرياضيات) وعالم الهندسة المعروف في إف كاغان، التقى بوغوريلوف بـ أ. د. ألكساندروف ، مؤسس نظرية الأسطح المحدبة غير الملساء. وقد أثيرت العديد من التساؤلات حول هذه النظرية، فاقترح ألكساندروف على بوغوريلوف الإجابة على أحدها. وفي غضون عام، تم حل المسألة، والتحق بوغوريلوف بكلية الدراسات العليا في قسم الميكانيكا والرياضيات بجامعة موسكو الحكومية. وأصبح نيكولاي يفيموف مستشاره العلمي في مواضيع نظرية ألكساندروف. وبعد مناقشة أطروحته للدكتوراه عام 1947، سُرِّح من الخدمة العسكرية وانتقل إلى خاركوف، حيث بدأ العمل في معهد الرياضيات بجامعة خاركوف الحكومية وقسم الهندسة بالجامعة. وفي عام 1948، ناقش أطروحته للدكتوراه. في عام ١٩٥١، أصبح عضوًا مراسلًا في أكاديمية العلوم الأوكرانية، وفي عام ١٩٦٠ أصبح عضوًا مراسلًا في أكاديمية العلوم السوفيتية (قسم العلوم الفيزيائية والرياضية). وفي عام ١٩٦١، أصبح أكاديميًا في أكاديمية العلوم الأوكرانية. وفي عام ١٩٧٦، أصبح أكاديميًا في أكاديمية العلوم السوفيتية (قسم الرياضيات). من عام ١٩٥٠ إلى عام ١٩٦٠، ترأس قسم الهندسة في جامعة خاركيف الحكومية. ومن عام ١٩٦٠ إلى عام ٢٠٠٠، ترأس قسم الهندسة في معهد فيركين لفيزياء وهندسة درجات الحرارة المنخفضة التابع للأكاديمية الوطنية للعلوم في أوكرانيا.

منذ عام 2000، كان يعيش في موسكو ويعمل في معهد ستيكلوف للرياضيات .

توفي في 17 ديسمبر 2002، ودُفن في موسكو في مقبرة نيكولو-أرخانجيلسك.

مع بداية القرن العشرين، طُوِّرت طرائق لحل المسائل المحلية المتعلقة بالأسطح المنتظمة. وبحلول ثلاثينيات القرن نفسه، طُوِّرت طرائق لحل مسائل الهندسة "على نطاق واسع". وارتبطت هذه الطرائق أساسًا بنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية. كان علماء الرياضيات عاجزين عندما تكون الأسطح غير ملساء (على سبيل المثال، ذات نقاط مخروطية أو مضلعة، وما إلى ذلك)، وعندما لا تُعطى الهندسة الجوهرية بصيغة تربيعية موجبة محددة ملساء، بل ببساطة بفضاء متري ذي شكل عام إلى حد ما. وقد حقق عالم الهندسة البارز أ. د. ألكسندروف إنجازًا بارزًا في دراسة المقاييس والأسطح غير الملساء. فقد طوّر نظرية الفضاءات المترية ذات الانحناء غير السالب، والتي تُعرف باسم فضاءات ألكسندروف المترية. وفي حالة خاصة، شملت هذه النظرية الهندسة الجوهرية للأسطح المحدبة العامة، أي حدود الأجسام المحدبة. درس ألكساندروف الروابط بين الهندسة الداخلية والخارجية للأسطح المحدبة العامة. وقد أثبت أن كل مقياس ذي انحناء غير سالب معطى على كرة ثنائية الأبعاد (بما في ذلك المقاييس غير الملساء، ما يسمى بالمقاييس الداخلية) يمكن غمره بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد على شكل سطح محدب مغلق، ولكن الإجابات على الأسئلة الأساسية التالية ظلت مجهولة:

1. هل هذا الانغماس فريد من نوعه حتى في الحركة الصلبة؟
2. إذا كان المقياس المعطى على الكرة منتظمًا وله انحناء غاوسي موجب ، فهل صحيح أن السطح بهذا المقياس منتظم؟
3. أثبت جي مينكوفسكي نظرية وجود لسطح محدب مغلق مع انحناء غاوسي معطى كدالة لوحدة عمودية تحت بعض الشروط الطبيعية على هذه الدالة؛ وكان السؤال المفتوح هو: إذا كانت الدالة منتظمة على كرة، فهل السطح منتظم في حد ذاته؟

بعد حلّ هذه المسائل، كانت النظرية التي وضعها ألكساندروف ستحظى بمكانة مرموقة في الرياضيات، ويمكن تطبيقها حتى في الحالة المنتظمة الكلاسيكية. وقد أجاب بوغوريلوف على كلٍّ من هذه المسائل الثلاث إجابةً إيجابية. فباستخدام أساليب هندسية تركيبية، طوّر أساليب هندسية للحصول على تقديرات مسبقة لحلول معادلات مونج-أمبير . من جهة، استخدم هذه المعادلات لحلّ مسائل هندسية؛ ومن جهة أخرى، استنادًا إلى أسس هندسية، بنى حلًّا معمّمًا لمعادلة مونج-أمبير، ثمّ أثبت انتظام هذا الحل في حالة الطرف الأيمن المنتظم للمعادلة. في الواقع، أرست هذه الأعمال الرائدة أسس مجال التحليل الهندسي لبوغوريلوف ، حيث أثبت النتائج الأساسية التالية:

1. ليكن F1 _و F2 _سطحين متساويي القياس محدبين مغلقين في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد أو في الفضاء الكروي. عندئذٍ يتطابق السطحان حتى الحركة الصلبة.
2. يكون السطح المحدب المغلق في فضاء ذي انحناء ثابت صلباً خارج المناطق المسطحة عليه. وهذا يعني أن السطح لا يقبل إلا انحناءات متناهية الصغر تافهة.
3. إذا كان مقياس السطح المحدب منتظمًا من حيث الانتظام С ^к ، k≥2 ، في فضاء ذي انحناء ثابت К* وكان انحناء غاوس للسطح يحقق К>К* ، فإن السطح هو С ^к-1,α .

بالنسبة للمجالات على الأسطح المحدبة، فإنّ العبارتين 1 و2 خاطئتان. تختلف الخصائص المحلية والعالمية للأسطح اختلافًا كبيرًا. بإثباته للعبارة 1، أكمل بوغوريلوف حلّ المسألة التي ظلت مفتوحة لأكثر من قرن. وقد حصل كوشي على أول نتيجة في هذا الاتجاه للمجسمات المحدبة المغلقة عام 1813.

شكّلت النظريات التي أثبتها بوغوريلوف أساسًا لنظريته غير الخطية للأغلفة الرقيقة. تهتم هذه النظرية بالحالات المرنة للغلاف التي تختلف اختلافًا كبيرًا عن شكله الأصلي. في ظل هذه التشوهات، ينحني السطح الأوسط للغلاف الرقيق مع الحفاظ على القياس. وهذا ما يُتيح، باستخدام النظريات التي أثبتها بوغوريلوف للأسطح المحدبة، دراسة فقدان الاستقرار والحالة المرنة الحرجة للأغلفة المحدبة تحت إجهاد مُحدد. تُعدّ هذه الأغلفة من أكثر العناصر شيوعًا في التصاميم الحديثة.

تم تعميم النتيجتين 1 و2 لتشمل الأسطح المنتظمة في الفضاء الريماني. بالإضافة إلى ذلك، تم حل مسألة فايل للفضاء الريماني : حيث ثبت أنه يمكن غمر مقياس منتظم ذي انحناء غاوسي أكبر من ثابت c على كرة ثنائية الأبعاد بشكل متساوي القياس في فضاء ريماني ثلاثي الأبعاد كامل ذي انحناء <c على شكل سطح منتظم. وبدراسة الأساليب المطورة في إثبات هذه النتيجة، قدم الحائز على جائزة أبيل، م. غروموف، مفهوم المنحنيات شبه الهولومورفية، والتي تُعد الأداة الرئيسية في الهندسة التبسيطية الحديثة .

يُعرَّف السطح الفائق المحدب المغلق تعريفًا فريدًا ليس فقط بالمقياس، بل أيضًا بانحناء غاوس كدالة للمتجهات العمودية الوحدوية. علاوة على ذلك، يُحدَّد السطح الفائق تعريفًا فريدًا حتى النقل الموازي. وقد أثبت ذلك ج. مينكوفسكي. ولكن هل يكون السطح الفائق منتظمًا بشرط أن يكون انحناء غاوس K(n) دالة منتظمة لمتجه عمودي وحدوي؟ أثبت بوغوريلوف أنه إذا كانت الدالة الموجبة K(n) تنتمي إلى الفئة C _^k ، حيث k ≥ 3 ، فإن دالة الدعم ستكون من فئة الانتظام C ^_k+1,v ، حيث 0 < v < 1 .

كان الجزء الأصعب من برهان النظرية هو الحصول على تقديرات مسبقة لمشتقات دالة الدعم لسطح فائق حتى الرتبة الثالثة شاملةً. استخدم س. ت. ياو طريقة بوغوريلوف للتقديرات المسبقة للحصول على تقديرات مسبقة لحلول معادلات مونج-أمبير المعقدة. كانت هذه الخطوة الرئيسية في إثبات وجود مشعبات كالابي-ياو، التي تلعب دورًا هامًا في الفيزياء النظرية. تأخذ معادلة مونج-أمبير الشكل التالي:

${\displaystyle \det(z_{ij})=f(x_{1},\dots ,x_{n},z,z_{1},\dots ,z_{n}).}$

تُعتبر التقديرات المسبقة في مسألة مينكوفسكي تقديرات مسبقة لحل معادلة مونج-أمبير باستخدام الدالة

${\displaystyle f={\frac {1}{K(1+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})^{{\frac {n}{2}}+1}}}.}$

في ذلك الوقت، لم تكن هناك طريقة لدراسة هذه المعادلة غير الخطية تمامًا. وضع أ. ف. بوغوريلوف نظرية معادلة مونج-أمبير باستخدام الأساليب الهندسية. أولًا، انطلاقًا من متعددات السطوح، أثبت وجود حلول معممة في ظل شروط طبيعية على الجانب الأيمن. بعد ذلك، وجد تقديرات مسبقة للمشتقات حتى الرتبة الثالثة شاملةً للحلول المنتظمة. باستخدام هذه التقديرات المسبقة، أثبت انتظام الحلول المحدبة تمامًا، ووجود حلول لمسألة ديريشليه وانتظامها. تُعد معادلة مونج-أمبير عنصرًا أساسيًا في مسألة مونج-كانتوروفيتش للنقل؛ وتُستخدم في الهندسة المطابقة، والهندسة الأفينية، وهندسة كاهلر، وفي الأرصاد الجوية، وفي الرياضيات المالية. قال بوغوريلوف ذات مرة عن معادلة مونج-أمبير: " إنها معادلة عظيمة تشرفت بالعمل عليها".

يُعدّ أحد أهمّ أعمال بوغوريلوف المفاهيمية سلسلة أعماله حول الأسطح الملساء ذات الانحناء الخارجي المحدود . وقد وضع ألكسندروف نظريةً للمتشعبات المترية العامة التي تُعمّم بشكل طبيعي المتشعبات الريمانية . وعلى وجه الخصوص، قدّم فئة المتشعبات ثنائية الأبعاد ذات الانحناء المحدود. وهي تشمل فئة جميع المتشعبات ثنائية الأبعاد المترية التي تقبل، في جوار كل نقطة، تقريبًا منتظمًا بواسطة مقاييس ريمانية ذات انحناء تكاملي مطلق (أي تكامل وحدة انحناء غاوس) محدود إجمالًا.

بطبيعة الحال، طُرح التساؤل حول فئة الأسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد التي تحمل مقياسًا كهذا مع الحفاظ على الروابط بين المقياس والهندسة الخارجية للسطح. وللإجابة جزئيًا على هذا التساؤل، قدّم بوغوريلوف فئة الأسطح الملساء من ^النوع C1 ، مع اشتراط أن تكون مساحة الصورة الكروية محدودة، مع مراعاة تعدد التغطية في جوار كل نقطة من نقاط السطح. تُسمى هذه الأسطح بأسطح الانحناء الخارجي المحدود.

بالنسبة لهذه الأسطح، هناك أيضًا ارتباط وثيق جدًا بين الهندسة الجوهرية للسطح وشكله الخارجي: السطح الكامل ذو الانحناء الخارجي المحدود والانحناء الداخلي غير السالب (لا يساوي الصفر) هو إما سطح محدب مغلق أو سطح محدب غير محدود؛ السطح الكامل ذو الانحناء الداخلي الصفري والانحناء الخارجي المحدود هو أسطوانة.

نُشر أول عمل لـ أ. ف. بوغوريلوف حول الأسطح ذات الانحناء الخارجي المحدود عام 1953. وفي عام 1954، نشر ج. ناش بحثًا حول الغمر المتساوي القياس من ^{النوع C1} ، والذي حسّنه ن. كويبر عام 1955. ويتضح من هذه الدراسات أن المقياس الريماني المعرّف على مشعب ثنائي الأبعاد، في ظل افتراضات عامة جدًا، يقبل تمثيلًا على سطح أملس من ^{النوع C1} في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. علاوة على ذلك، يتم هذا التمثيل بحرية تامة كما هو الحال في الغمر الطوبولوجي في فضاء المشعب الذي يُعطى عليه المقياس. ومن ثم، يتضح أنه بالنسبة للأسطح ^{من النوع C1} ، حتى مع وجود مقياس داخلي جيد، يستحيل الحفاظ على الروابط بين الانحناءات الداخلية والخارجية. حتى في حالة امتلاك سطح من ^النوع C1 مقياسًا منتظمًا لانحناء غاوسي موجب، فإن هذا لا يستلزم بالضرورة تحدب السطح محليًا. وهذا يؤكد على طبيعة فئة الأسطح ذات الانحناء الخارجي المحدود التي قدمها بوغوريلوف.

قام بوغوريلوف بحل مشكلة هيلبرت الرابعة ، التي وضعها د. هيلبرت في المؤتمر الدولي الثاني للرياضيات في باريس عام 1900. وقد وجد جميع، حتى التشاكل، تحقيقات أنظمة بديهيات الهندسة الكلاسيكية (إقليدس، لوباتشيفسكي، والقطع الناقص) إذا تم حذف بديهيات التطابق التي تحتوي على مفهوم الزاوية وإضافة بديهية "متباينة المثلث" إلى هذه الأنظمة.

كان بوغوريلوف أحد أوائل من اقترحوا (في عام 1970) فكرة جديدة في بناء مولد توربيني فائق التوصيل مع ملف مجال فائق التوصيل، وشارك بنشاط في الحسابات التقنية وإنشاء النماذج الصناعية المقابلة.

في عام 2015، تم تسمية أحد شوارع خاركيف باسم بوغوريلوف.

في عام 2007، أسست الأكاديمية الوطنية للعلوم في أوكرانيا جائزة بوغوريلوف للإنجازات في مجال الهندسة والطوبولوجيا.

سمي أحد الكويكبات باسم بوجوريلوف: (19919) بوجوريلوف .

• موضوعات في نظرية الأسطح في الفضاءات الإهليلجية . غوردون وبريتش. 1961.
• الهندسة الخارجية للأسطح المحدبة . الجمعية الأمريكية للرياضيات . 1973.
• مسألة مينكوفسكي متعددة الأبعاد . في إتش وينستون. 1978.^{[ 4 ]}
• مشكلة هيلبرت الرابعة . في إتش وينستون. 1979.^{[ 5 ]}
• انحناء الأسطح واستقرار الأغلفة . الجمعية الأمريكية للرياضيات. 1988.
• فضاءات G المنتظمة لبوسمان . هاروود. 1999.
• الهندسة [ترجمة من الروسية: ليونيد ليفانت، وألكسندر ريبييف، وأوليغ إيفيموف]. موسكو: دار نشر مير (1987). ISBN 0714725536رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-0714725536.

• نظرية كوشي

مصادر

• الأماكن القريبة : بوريسينكو، AA؛ زالغالر، فيرجينيا, فيرجينيا ; الأماكن القريبة : ماسلوف، كيلو فولت؛ ميلكا، م. نوفيكوف, إس بي ; ريشتنياك، يو. ز . سكريبنيك، الرابع؛ خروسلوف، إي. (1999). "أليكسي فاسيليفيتش بوجوريلوف (بمناسبة عيد ميلاده الثمانين)". المسوحات الرياضية الروسية . 54 (4): 869-872 . دوى : 10.1070 / RM1999v054n04ABEH000201 .
• ألكسندروف، فيرجينيا؛ أرنولد, السادس ; بوريسينكو، AA؛ بوريسوف، يو. واو؛ زالغالر، فيرجينيا, فيرجينيا ; الأماكن القريبة : الأماكن القريبة : ميلكا، م. ريشتنياك، يو. ز . سابيتوف، آي خ. (2003). "أليكسي فاسيليفيتش بوجوريلوف (نعي)". المسوحات الرياضية الروسية . 58 (3): 593– 596. بيب كود : 2003RuMaS..58..593A . دوى : 10.1070/RM2003v058n03ABEH000638 .
• بوريسينكو، أ.أ. (2006). "أليكسي فاسيليفيتش بوغوريلوف - عالم رياضيات ذو قدرة مذهلة". مجلة الفيزياء الرياضية، التحليل، الهندسة (باللغة الروسية). 2 (3): 231-267 . MR 2249081. Zbl 1157.53302 .  الترجمة الإنجليزية: — (2008). "أليكسي فاسيليفيتش بوغوريلوف، عالم الرياضيات ذو القدرة المذهلة". arXiv : 0810.2641 [ math.DG ].
• بوريسينكو، أ.أ.؛ فيسنين، أ. يو.؛ إيفوتشكينا، ن.م. (2019). "بمناسبة الذكرى المئوية لميلاد أليكسي فاسيليفيتش بوغوريلوف". الدراسات الرياضية الروسية . 74 (6): 1135-1157 . Bibcode : 2019RuMaS..74.1135B . doi : 10.1070/RM9926 .

• أليكسي بوغوريلوف في مشروع علم الأنساب الرياضي
• موقع إلكتروني مخصص لبوغوريلوف وأعماله
• السيرة الذاتية - في معهد بي. فيركين لفيزياء وهندسة درجات الحرارة المنخفضة
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "أليكسي بوغوريلوف" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز