الإسقاط المتعامد

الإسقاط المتعامد ، أو الإسقاط المتعامد (ويُعرف أيضًا باسم أناليما ^{[ a ]} )، هو وسيلة لتمثيل الأجسام ثلاثية الأبعاد في بُعدين . يُعد الإسقاط المتعامد شكلاً من أشكال الإسقاط المتوازي حيث تكون جميع خطوط الإسقاط متعامدة مع مستوى الإسقاط ، ^{[ 2 ]} مما ينتج عنه ظهور كل مستوى من المشهد بتحويل خطي على سطح الرؤية. أما وجه الإسقاط المتعامد فهو الإسقاط المائل ، وهو إسقاط متوازي لا تكون فيه خطوط الإسقاط متعامدة مع مستوى الإسقاط.

يشير مصطلح "الإسقاط المتعامد" أحيانًا إلى تقنية في الإسقاط متعدد المناظر ، حيث تكون المحاور الرئيسية أو مستويات الجسم موازية لمستوى الإسقاط لإنشاء المناظر الأساسية . ^{[ 2 ]} إذا لم تكن المستويات أو المحاور الرئيسية لجسم ما في الإسقاط المتعامد موازية لمستوى الإسقاط، يُطلق على التمثيل اسم "الإسقاط المحوري" أو " المناظر المساعدة" . ( الإسقاط المحوري مرادف للإسقاط المتوازي). تشمل الأنواع الفرعية للمناظر الأساسية المساقط الأفقية والواجهات والمقاطع ؛ وتشمل الأنواع الفرعية للمناظر المساعدة الإسقاطات متساوية القياس ، وثنائية القياس ، وثلاثية القياس .

العدسة التي توفر إسقاطًا متعامدًا هي عدسة مركزية في فضاء الجسم .

يمكن تعريف الإسقاط المتعامد البسيط على المستوى z = 0 بواسطة المصفوفة التالية :

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$

لكل نقطة v = ( v _x , v _y , v _z )، ستكون النقطة المحولة Pv هي

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}}$

في كثير من الأحيان، يكون استخدام الإحداثيات المتجانسة أكثر فائدة . ويمكن تمثيل التحويل المذكور أعلاه للإحداثيات المتجانسة على النحو التالي:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

لكل متجه متجانس v = ( vx _, vy _, vz , ₁ ) ، سيكون المتجه المحوّل Pv هو

${\displaystyle Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}}$

في مجال رسومات الحاسوب ، تُعرَّف إحدى أكثر المصفوفات شيوعًا المستخدمة في الإسقاط المتعامد بستة عناصر ( يسار ، يمين ، أسفل ، أعلى ، قريب ، بعيد )، والتي تُحدد مستويات القطع . تُشكِّل هذه المستويات صندوقًا تكون فيه الزاوية الدنيا عند ( يسار ، أسفل ، قريب ) والزاوية القصوى عند ( يمين ، أعلى ، بعيد ). ^{[ 3 ]}

يتم نقل الصندوق بحيث يكون مركزه عند نقطة الأصل، ثم يتم تغيير حجمه إلى مكعب الوحدة الذي يتم تحديده من خلال وجود زاوية دنيا عند (−1,−1,−1) وزاوية قصوى عند (1,1,1).

يمكن تمثيل التحويل الإسقاطي بالمصفوفة التالية:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

والتي يمكن التعبير عنها كعملية تغيير حجم S متبوعة بعملية إزاحة T على النحو التالي:

${\displaystyle P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

يتم تعريف معكوس مصفوفة الإسقاط P ⁻¹ ، والتي يمكن استخدامها كمصفوفة عكس الإسقاط:

${\displaystyle P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

توجد ثلاثة أنواع فرعية للإسقاط المتعامد، وهي الإسقاط المتساوي القياس ، والإسقاط ثنائي القياس ، والإسقاط ثلاثي القياس ، وذلك تبعًا للزاوية الدقيقة التي ينحرف عندها المنظر عن الخط المتعامد. ^{[ 2 ] [ 4 ]} عادةً في الرسم المحوري، كما هو الحال في أنواع أخرى من الرسومات التصويرية، يُظهر أحد محاور الفضاء عموديًا.

في الإسقاط المتساوي القياس ، وهو الشكل الأكثر شيوعًا للإسقاط المحوري في الرسم الهندسي، ^{[ 5 ]} يكون اتجاه الرؤية بحيث تظهر محاور الفضاء الثلاثة مُختصرة بنفس القدر ، وتوجد زاوية مشتركة مقدارها 120 درجة بينها. ولأن التشوه الناتج عن التقصير منتظم، فإن التناسب بين الأطوال يبقى محفوظًا، وتتشارك المحاور مقياسًا واحدًا؛ مما يُسهّل أخذ القياسات مباشرةً من الرسم. ومن المزايا الأخرى سهولة إنشاء زوايا 120 درجة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط .

في الإسقاط ثنائي الأبعاد ، يكون اتجاه الرؤية بحيث يظهر اثنان من محاور الفضاء الثلاثة بشكل متساوٍ من حيث التقصير، ويتم تحديد المقياس وزوايا العرض المصاحبة وفقًا لزاوية الرؤية؛ ويتم تحديد مقياس الاتجاه الثالث بشكل منفصل.

في الإسقاط الثلاثي الأبعاد ، يكون اتجاه الرؤية بحيث تظهر محاور الفضاء الثلاثة مُختصرة بشكل غير متساوٍ. ويتم تحديد المقياس على طول كل محور من المحاور الثلاثة والزوايا بينها بشكل منفصل وفقًا لزاوية الرؤية. نادرًا ما يُستخدم المنظور الثلاثي الأبعاد في الرسومات الفنية. ^{[ 4 ]}

في الإسقاط متعدد المناظر ، تُنتج ست صور كحد أقصى لجسم ما، تُسمى المناظر الأساسية ، حيث يكون كل مستوى إسقاط موازيًا لأحد محاور إحداثيات الجسم. تُوضع المناظر بالنسبة لبعضها البعض وفقًا لأحد نظامين: الإسقاط من الزاوية الأولى أو الإسقاط من الزاوية الثالثة . في كليهما، يمكن اعتبار مظهر المناظر مُسقطًا على مستويات تُشكل صندوقًا سداسيًا حول الجسم. على الرغم من إمكانية رسم ستة جوانب مختلفة، إلا أن ثلاثة مناظر للرسم عادةً ما تُوفر معلومات كافية لتكوين مجسم ثلاثي الأبعاد. تُعرف هذه المناظر باسم المنظر الأمامي (أو الارتفاع )، والمنظر العلوي (أو المسقط الأفقي )، والمنظر الجانبي . عندما لا يكون مستوى أو محور الجسم المصوّر موازيًا لمستوى الإسقاط، وعندما تظهر جوانب متعددة من الجسم في الصورة نفسها، يُسمى ذلك منظرًا مساعدًا . وبالتالي، يُعتبر الإسقاط المتساوي القياس ، والإسقاط ثنائي القياس ، والإسقاط ثلاثي القياس مناظر مساعدة في الإسقاط متعدد المناظر. من الخصائص النموذجية للإسقاط متعدد المشاهد أن أحد محاور الفضاء يُعرض عادةً بشكل رأسي.

خريطة الإسقاط المتعامد هي إسقاط خرائطي في علم الخرائط . ومثل الإسقاط المجسم والإسقاط الغنوموني ، يُعد الإسقاط المتعامد إسقاطًا منظوريًا (أو سمتيًا) ، حيث تُسقط الكرة على مستوى مماس أو قاطع . تقع نقطة المنظور في الإسقاط المتعامد على مسافة لانهائية . وهو يصور نصف الكرة الأرضية كما تبدو من الفضاء الخارجي ، حيث يكون الأفق دائرة عظمى . وتكون الأشكال والمساحات مشوهة ، خاصة بالقرب من الحواف. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يُعرف الإسقاط المتعامد منذ العصور القديمة، وقد وُثِّقت استخداماته في رسم الخرائط توثيقًا جيدًا. استخدم هيبارخوس هذا الإسقاط في القرن الثاني قبل الميلاد لتحديد مواقع شروق النجوم وغروبها. وفي حوالي عام 14 قبل الميلاد، استخدم المهندس الروماني ماركوس فيتروفيوس بوليو هذا الإسقاط لبناء الساعات الشمسية وحساب مواقع الشمس. ^{[ 7 ]}

يبدو أن فيتروفيوس قد ابتكر مصطلح "الإسقاط المتعامد" - من الكلمتين اليونانيتين orthos ("مستقيم") و graphē ("رسم") - للإشارة إلى الإسقاط. ومع ذلك، كان اسم analemma ، الذي يعني أيضًا ساعة شمسية تُظهر خطوط الطول والعرض، هو الاسم الشائع حتى قام فرانسوا داغيلون من أنتويرب بالترويج للاسم الحالي في عام 1613. ^{[ 7 ]}

تظهر أقدم الخرائط الباقية على هذا الإسقاط على شكل رسومات مطبوعة على الخشب للكرات الأرضية تعود إلى عام 1509 (مجهول)، و1533 و1551 (يوهانس شونر)، و1524 و1551 (أبيان). ^{[ 7 ]}

• نورمال (متعامد) أكسونوميتري (في المانيا)
• الفيديو والرياضيات باستخدام الإسقاط المتعامد