لعبة الفوضى

في الرياضيات ، يشير مصطلح "لعبة الفوضى" في الأصل إلى طريقة لإنشاء شكل كسري ، باستخدام مضلع ونقطة ابتدائية مختارة عشوائيًا داخله. ^{[ 1 ] [ 2 ]} يُنشأ الشكل الكسري من خلال إنشاء سلسلة من النقاط بشكل متكرر، بدءًا من النقطة العشوائية الابتدائية، حيث تمثل كل نقطة في السلسلة جزءًا معينًا من المسافة بين النقطة السابقة وأحد رؤوس المضلع؛ ويتم اختيار الرأس عشوائيًا في كل تكرار. غالبًا (ولكن ليس دائمًا) ما ينتج عن تكرار هذه العملية عددًا كبيرًا من المرات، مع اختيار الرأس عشوائيًا في كل تكرار، واستبعاد النقاط القليلة الأولى في السلسلة، شكل كسري. استخدام مثلث منتظم والعامل 1/2 ينتج عنه مثلث سيربينسكي ، بينما إنشاء الترتيب المناسب بأربع نقاط وعامل 1/2 ينتج عنه عرض "هرم سيربينسكي الرباعي"، وهو النظير ثلاثي الأبعاد لمثلث سيربينسكي. عندما يزداد عدد النقاط إلى العدد N، فإن الترتيب يشكل شكلاً متماثلاً من نوع Sierpinski Simplex ذي الأبعاد (N-1) .

تم تعميم المصطلح ليشير إلى طريقة لتوليد الجاذب ، أو النقطة الثابتة ، لأي نظام دوال متكررة (IFS). بدءًا من أي نقطة x₀ _، تُشكّل التكرارات المتتالية على النحو التالي: _xₖ₊₁ = fᵣ ₍ xₖ ₎ ، حيث fᵣ _عنصر من نظام الدوال المتكرر المعطى، يتم اختياره عشوائيًا لكل تكرار. تتقارب التكرارات نحو النقطة الثابتة لنظام الدوال المتكرر. عندما تنتمي x₀ _إلى جاذب نظام الدوال المتكرر، تبقى جميع التكرارات xₖ _داخل الجاذب، وتشكل، باحتمالية 1، مجموعة كثيفة فيه.

تعتمد طريقة "لعبة الفوضى" على رسم النقاط بترتيب عشوائي على كامل سطح الجاذب. وهذا يختلف عن طرق رسم الأشكال الكسورية الأخرى، التي تختبر كل بكسل على الشاشة لمعرفة ما إذا كان ينتمي إلى الشكل الكسوري. يمكن رسم الشكل العام للشكل الكسوري بسرعة باستخدام طريقة "لعبة الفوضى"، ولكن قد يصعب رسم بعض مناطق الشكل الكسوري بتفصيل دقيق.

باستخدام "لعبة الفوضى"، يمكن إنشاء شكل كسري جديد، ويمكن الحصول على بعض المعايير أثناء إنشائه. تُفيد هذه المعايير في تطبيقات نظرية الأشكال الكسرية، مثل التصنيف والتعرف. ^{[ 3 ] [ 4 ]} يتشابه الشكل الكسري الجديد مع الشكل الأصلي في بعض الخصائص المهمة، مثل البُعد الكسري.

في كل تكرار للعبة الفوضى، يمكن وضع النقطة x _k+1 في أي مكان على طول الخط الذي يربط النقطة x _k والرأس المختار، v. بتعريف r على أنه النسبة بين المسافتين d(x _k ,x _k+1 ) و d(x _k ,v)، من الممكن إيجاد القيمة المثلى لـ r، أي r _opt ، لكل مضلع منتظم ذي N ضلعًا، والذي ينتج عنه شكل كسري ذو تعبئة مثالية، أي أن المضلعات الفرعية متلامسة ولكنها لا تتداخل.

يمكن حساب قيمة r _opt كنسبة بين طول ضلع المضلع الفرعي الأول وطول ضلع المضلع الأصلي. ويمكن حساب هذه النسبة هندسيًا: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle r_{opt}={\frac {(1+2a)}{(2+2a)}}}$

حيث يتم حساب قيمة a على النحو التالي:

${\displaystyle a=\sum _{i=1}^{n}\cos[i(\pi -\theta )]}$

حيث θ هي الزاوية الداخلية للمضلع و n هو دليل الرأس الأكثر بروزًا، محسوبًا بدءًا من القاعدة، أي${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {N}{4}}\right\rfloor }$أين${\displaystyle \lfloor \rfloor }$يمثل الجزء الصحيح من الكسر.

النسبة المثلى${\displaystyle r_{opt}}$وقد أطلق عليه أيضاً اسم نسبة التقبيل${\displaystyle K_{n}}$أظهر عبد العزيز وسعيد ذلك${\displaystyle K_{n}}$هو ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{1+\tan {\frac {\pi }{n}}}}\qquad {\text{if}}\quad n\equiv 0{\bmod {4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+2\sin {\frac {\pi }{2n}}}}\quad {\text{if}}\quad n\equiv 1,3{\bmod {4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{1+\sin {\frac {\pi }{n}}}}\qquad {\text{if}}\quad n\equiv 2{\bmod {4}}}$

بينما لا يظهر الشكل الكسري الأمثل إلا لقيمة محددة لـ r، أي r _opt ، فإنه من الممكن تطبيق نظرية الفوضى باستخدام قيم أخرى أيضًا. إذا كانت r>1 (أي أن النقطة x _k+1 تقفز مسافة أكبر من المسافة بين النقطة x _k والرأس v)، فإن الشكل الناتج يمتد خارج المضلع الأولي. ^{[ 5 ]} عندما تكون r=2، تدخل الخوارزمية في حالة شبه مستقرة وتُنتج أشكالًا شبه متناظرة. بالنسبة لقيم r>2، تُوضع النقاط على مسافة أبعد فأبعد عن مركز المضلع الأولي في كل تكرار، فتصبح الخوارزمية غير مستقرة ولا يتم إنتاج أي شكل.

إذا تم تشغيل لعبة الفوضى باستخدام مربع، فلن يكون الشكل الكسري مرئيًا، وسيمتلئ باطن المربع بنقاط بشكل متساوٍ. مع ذلك، إذا تم فرض قيود على اختيار الرؤوس، فستظهر الأشكال الكسرية في المربع. على سبيل المثال، إذا تعذر اختيار الرأس الحالي في التكرار التالي، فسيظهر هذا الشكل الكسري:

إذا لم يكن بالإمكان أن يكون الرأس الحالي على بعد مكان واحد (عكس اتجاه عقارب الساعة) من الرأس الذي تم اختياره مسبقًا، فسيظهر هذا الشكل الهندسي المتكرر:

إذا مُنعت النقطة من الهبوط على منطقة معينة من المربع، فسيتم إعادة إنتاج شكل تلك المنطقة كشكل كسري في أجزاء أخرى من المربع تبدو غير مقيدة.

عندما لا يكون طول القفزة نحو رأس أو نقطة أخرى 1/2، تُولّد لعبة الفوضى أشكالًا كسورية أخرى، بعضها معروف جدًا. على سبيل المثال، عندما تكون القفزة 2/3 ويمكن للنقطة أيضًا القفز نحو مركز المربع، تُولّد لعبة الفوضى شكل فيسيك الكسوري .

عندما تكون القفزة 2/3 ويمكن للنقطة أيضًا القفز نحو منتصفات الجوانب الأربعة، فإن لعبة الفوضى تولد سجادة سيربينسكي :

بإجراء تعديلات طفيفة على قواعد اللعبة، يُمكن استخدام خوارزمية لعبة الفوضى لتمثيل أي تسلسل مُحدد جيدًا ، أي تسلسل يتكون من تكرار عدد محدود من العناصر المُميزة. في الواقع، بالنسبة لتسلسل يحتوي على N عنصرًا مُميزًا، يُمكن لعب لعبة الفوضى على مُضلع ذي N ضلعًا، حيث يُخصص لكل عنصر رأس، ويتم اختيار الرؤوس وفقًا لتسلسل التسلسل (بدلًا من اختيار رأس عشوائي). في هذه النسخة من اللعبة، تُمثل الصورة الناتجة تمثيلًا فريدًا للتسلسل. طُبقت هذه الطريقة على تمثيل الجينات (N=4، r=0.5) ^{[ 8 ] [ 9 ]} والبروتينات (N=20، r=0.863) ^{[ 5 ] [ 10 ]} . بالإضافة إلى ذلك، استُخدمت تمثيلات تسلسلات البروتينات لتوجيه نماذج التعلم الآلي للتنبؤ بخصائص البروتينات. ^{[ 5 ] [ 11 ]} يمكن أن يكون توسيع لعبة الفوضى باستخدام r=2 مفيدًا لتضخيم الطفرات الصغيرة في المقارنة بين سلسلتين (أو أكثر). ^{[ 5 ]}

• نظرية الفوضى

• محاكاة لألعاب الفوضى تم إنشاؤها باستخدام سكراتش
• شرح لعبة الفوضى على موقع beltoforion.de
• لعبة الفوضى من تصميم نمبرفايل