مثلث سيربينسكي

مثلث سيربينسكي ، ويسمى أيضًا حشية سيربينسكي أو غربال سيربينسكي ، هو كسوري له الشكل العام لمثلث متساوي الأضلاع ، وينقسم بشكل متكرر إلى مثلثات متساوية الأضلاع أصغر. تم إنشاؤه في الأصل كمنحنى، وهو أحد الأمثلة الأساسية للمجموعات المتشابهة ذاتيًا - أي أنه نمط تم إنشاؤه رياضيًا ويمكن إعادة إنتاجه بأي تكبير أو تصغير. تم تسميته على اسم عالم الرياضيات البولندي فاكلاف سيربينسكي ، لكنه ظهر كنمط زخرفي قبل عدة قرون من عمل سيربينسكي.

هناك العديد من الطرق المختلفة لإنشاء مثلث Sierpiński.

يمكن إنشاء مثلث سيربينسكي من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق الإزالة المتكررة للمجموعات الفرعية المثلثية:

1. ابدأ بمثلث متساوي الأضلاع.
2. قم بتقسيمه إلى أربعة مثلثات متساوية الأضلاع أصغر حجمًا ثم قم بإزالة المثلث المركزي.
3. كرر الخطوة 2 مع كل من المثلثات الأصغر المتبقية إلى ما لا نهاية.

كل مثلث تمت إزالته ( تريما ) هو مجموعة مفتوحة طوبولوجيًا . ^[1] هذه العملية لإزالة المثلثات بشكل متكرر هي مثال على قاعدة التقسيم المحدود .

يمكن إنشاء نفس تسلسل الأشكال، المتقاربة إلى مثلث Sierpiński، بشكل بديل من خلال الخطوات التالية:

1. ابدأ بأي مثلث في المستوى (أي منطقة مغلقة ومحدودة في المستوى ستعمل في الواقع). يستخدم مثلث سيربينسكي التقليدي مثلثًا متساوي الأضلاع بقاعدة موازية للمحور الأفقي (الصورة الأولى).
2. تقليص حجم المثلث إلى1/2الارتفاع و​1/2قم بعمل ثلاث نسخ من المثلثات الثلاثة المنكمشة بحيث يلامس كل مثلث المثلثين الآخرين في الزاوية (الصورة 2). لاحظ ظهور الفتحة المركزية - لأن المثلثات الثلاثة المنكمشة يمكنها أن تغطي فقط ⁠3/4من مساحة الأصل. (الثقوب هي سمة مهمة في مثلث سيربينسكي.)
3. كرر الخطوة 2 مع كل مثلث من المثلثات الأصغر (الصورة 3 وما إلى ذلك).

لا تعتمد هذه العملية اللانهائية على كون الشكل الأولي مثلثًا، بل إنها أكثر وضوحًا بهذه الطريقة. فالخطوات القليلة الأولى التي تبدأ، على سبيل المثال، من مربع تتجه أيضًا نحو مثلث سيربينسكي. استخدم مايكل بارنسلي صورة سمكة لتوضيح ذلك في ورقته البحثية "الكسور الفراكتلية المتغيرة V والكسور الفائقة". ^{[2] [3]}

إن الشكل الكسري الفعلي هو ما يمكن الحصول عليه بعد عدد لا نهائي من التكرارات. وبشكل أكثر رسمية، يمكننا وصفه من حيث الدوال على مجموعات مغلقة من النقاط. إذا سمحنا لـ d _A بالإشارة إلى التمدد بعامل ⁠1/2حول النقطة A، فإن مثلث Sierpiński ذو الزوايا A و B و C هو المجموعة الثابتة للتحويل .${\displaystyle d_{\mathrm {A} }\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}$

هذه مجموعة ثابتة جذابة ، بحيث عندما يتم تطبيق العملية على أي مجموعة أخرى بشكل متكرر، تتقارب الصور على مثلث Sierpiński. وهذا ما يحدث مع المثلث أعلاه، ولكن أي مجموعة أخرى ستكون كافية.

إذا أخذنا نقطة وطبقنا عليها كلًا من التحويلات d _A و d _B و d _C بشكل عشوائي، فإن النقاط الناتجة ستكون كثيفة في مثلث Sierpiński، وبالتالي فإن الخوارزمية التالية ستولد مرة أخرى تقريبات قريبة بشكل تعسفي لها: ^[4]

ابدأ بوضع علامة على p ₁ و p ₂ و p ₃ باعتبارها زوايا مثلث Sierpiński، ونقطة عشوائية v _1. ضع v _{n +1} = ⁠1/2⁠ ( v _n + p _{r n} ) ، حيث r _n هو رقم عشوائي 1 أو 2 أو 3. ارسم النقاط v ₁ إلى v _∞ . إذا كانت النقطة الأولى v ₁ نقطة على مثلث سيربينسكي، فإن جميع النقاط v _n تقع على مثلث سيربينسكي. إذا لم تكن النقطة الأولى v ₁ التي تقع داخل محيط المثلث نقطة على مثلث سيربينسكي، فلن تقع أي من النقاط v _n على مثلث سيربينسكي، ومع ذلك ستتقارب على المثلث. إذا كانت v ₁ خارج المثلث، فإن الطريقة الوحيدةالتي ستقع بها v _n على المثلث الفعلي، هي إذا كانت v _n على ما سيكون جزءًا من المثلث، إذا كان المثلث كبيرًا بشكل لا نهائي.

أو ببساطة أكثر:

1. خذ ثلاث نقاط في المستوى لتشكيل مثلث.
2. قم باختيار أي نقطة داخل المثلث بشكل عشوائي واعتبرها موقعك الحالي.
3. قم باختيار أي نقطة من النقاط الثلاث عشوائيًا.
4. انتقل نصف المسافة من موقعك الحالي إلى الرأس المحدد.
5. رسم الموقع الحالي.
6. كرر من الخطوة 3.

تُسمى هذه الطريقة أيضًا لعبة الفوضى ، وهي مثال لنظام الوظائف المتكررة . يمكنك البدء من أي نقطة خارج المثلث أو داخله، وستشكل في النهاية حشية سيربينسكي مع بضع نقاط متبقية (إذا كانت نقطة البداية تقع على مخطط المثلث، فلا توجد نقاط متبقية). باستخدام القلم الرصاص والورق، يتم تشكيل مخطط موجز بعد وضع ما يقرب من مائة نقطة، وتبدأ التفاصيل في الظهور بعد بضع مئات.

يُظهِر تصميم آخر لحشية Sierpiński أنه يمكن تصميمها على شكل منحنى في المستوى. يتم تشكيلها من خلال عملية تعديل متكررة لمنحنيات أبسط، على غرار تصميم ندفة الثلج Koch :

1. ابدأ بقطعة خط واحدة في المستوى
2. استبدل كل جزء من خط المنحنى بشكل متكرر بثلاثة أجزاء أقصر، لتكوين زوايا مقدارها 120 درجة عند كل تقاطع بين جزءين متتاليين، بحيث يكون الجزء الأول والأخير من المنحنى إما موازيًا لجزء الخط الأصلي أو يشكلان زاوية مقدارها 60 درجة معه.

في كل تكرار، يعطي هذا البناء منحنى مستمر. في الحد، تقترب هذه المنحنيات من منحنى يتتبع مثلث سيربينسكي من خلال مسار موجه مستمر واحد (متعرج بلا حدود)، والذي يسمى رأس سهم سيربينسكي . ^[5] في الواقع، كان الهدف من مقال سيربينسكي الأصلي في عام 1915 هو إظهار مثال لمنحنى (منحنى كانتوري)، كما ينص عنوان المقال نفسه. ^{[6] [7]}

يظهر مثلث سيربينسكي أيضًا في بعض الأتمتة الخلوية (مثل القاعدة 90 )، بما في ذلك تلك المتعلقة بلعبة كونواي للحياة . على سبيل المثال، ستولد الأتمتة الخلوية الشبيهة بالحياة B1/S12 عند تطبيقها على خلية واحدة أربعة تقريبات لمثلث سيربينسكي. ^[8] سيخلق خط طويل جدًا بسُمك خلية واحدة في الحياة القياسية مثلثي سيربينسكي معكوسين. غالبًا ما يشبه مخطط الزمان والمكان لنمط التكرار في الأتمتة الخلوية مثلث سيربينسكي، مثل مخطط التكرار المشترك في هاي لايف. ^[9] يمكن أيضًا العثور على مثلث سيربينسكي في أتمتة أولام-واربرتون وأتمتة هيكس-أولام-واربرتون. ^[10]

إذا أخذنا مثلث باسكال ذي الصفوف وقمنا بتلوين الأرقام الزوجية باللون الأبيض والأعداد الفردية باللون الأسود، فإن النتيجة تكون تقريبًا لمثلث سيربينسكي. وبشكل أكثر دقة، فإن الحد عندما يقترب n من ما لا نهاية لمثلث باسكال ذي الصفوف الملونة بالتكافؤ هو مثلث سيربينسكي. ^[11]${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{n}}$

نظرًا لأن نسبة الأرقام السوداء تتجه نحو الصفر مع زيادة n ، فإن النتيجة المترتبة على ذلك هي أن نسبة معاملات ثنائية الحدين الفردية تتجه نحو الصفر مع ميل n إلى ما لا نهاية. ^[12]

تتضمن أحجية أبراج هانوي تحريك أقراص بأحجام مختلفة بين ثلاثة أوتاد، مع الحفاظ على الخاصية التي تنص على عدم وضع أي قرص فوق قرص أصغر. تشكل حالات أحجية ذات n قرص، والتحركات المسموح بها من حالة إلى أخرى، رسمًا بيانيًا غير موجه ، وهو رسم هانوي ، والذي يمكن تمثيله هندسيًا كرسم بياني لتقاطع مجموعة المثلثات المتبقية بعد الخطوة n في بناء مثلث سيربينسكي. وبالتالي، في الحد الذي يتجه فيه n إلى ما لا نهاية، يمكن تفسير تسلسل الرسوم البيانية هذا على أنه نظير منفصل لمثلث سيربينسكي. ^[13]

بالنسبة لعدد صحيح من الأبعاد ، عند مضاعفة أحد أضلاع الجسم، يتم إنشاء نسخ منه، أي نسختان للجسم أحادي البعد، و4 نسخ للجسم ثنائي الأبعاد و8 نسخ للجسم ثلاثي الأبعاد. بالنسبة لمثلث سيربينسكي، فإن مضاعفة ضلعه تخلق 3 نسخ منه. وبالتالي فإن مثلث سيربينسكي له بعد هاوسدورف ، والذي يتبع من حل لـ . ^[14]${\displaystyle د}$${\displaystyle 2^{d}}$ ${\displaystyle {\tfrac {\log 3}{\log 2}}\تقريبًا 1.585}$${\displaystyle 2^{d}=3}$${\displaystyle د}$

مساحة مثلث سيربينسكي تساوي صفرًا ( بمقياس ليبيج ). المساحة المتبقية بعد كل تكرار هي مساحة التكرار السابق، وعدد لا نهائي من التكرارات يؤدي إلى مساحة تقترب من الصفر. ^[15]${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$

تتمتع نقاط مثلث سيربينسكي بتوصيف بسيط في إحداثيات مركز الثقل . ^[16] إذا كانت النقطة لها إحداثيات مركز الثقل ، معبرًا عنها بأرقام ثنائية ، فإن النقطة تكون في مثلث سيربينسكي إذا وفقط إذا لكل .${\displaystyle (0.u_{1}u_{2}u_{3}\dots ,0.v_{1}v_{2}v_{3}\dots ,0.w_{1}w_{2}w_{3}\dots )}$${\displaystyle u_{i}+v_{i}+w_{i}=1}$${\displaystyle i}$

يمكن أيضًا إنشاء تعميم لمثلث سيربينسكي باستخدام مثلث باسكال إذا تم استخدام معامل مختلف . يمكن إنشاء التكرار عن طريق أخذ مثلث باسكال مع صفوف وتلوين الأرقام حسب قيمتها modulo . مع اقتراب اللانهاية، يتم إنشاء كسوري. ${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$

يمكن تحقيق نفس الكسيرية عن طريق تقسيم مثلث إلى فسيفساء من المثلثات المتشابهة وإزالة المثلثات المقلوبة من الأصل، ثم تكرار هذه الخطوة مع كل مثلث أصغر. ${\displaystyle P^{2}}$

وعلى العكس من ذلك، يمكن أيضًا إنشاء الكسير عن طريق البدء بمثلث ومضاعفته وترتيب الأشكال الجديدة في نفس الاتجاه في مثلث مماثل أكبر مع تلامس رؤوس الأشكال السابقة، ثم تكرار هذه الخطوة. ^[17]${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}}$

رباعي السطوح أو رباعي سيربينسكي هو النظير ثلاثي الأبعاد لمثلث سيربينسكي، ويتكون من تقليص رباعي السطوح المنتظم بشكل متكرر إلى نصف ارتفاعه الأصلي، ووضع أربع نسخ من هذا الرباعي السطوح مع تلامس الزوايا، ثم تكرار العملية.

إن رباعي السطوح المبني من رباعي السطوح الأولي بطول ضلع له الخاصية التي تجعل المساحة السطحية الكلية ثابتة مع كل تكرار. المساحة السطحية الأولية لرباعي السطوح (التكرار-0) بطول ضلع هي . يتكون التكرار التالي من أربع نسخ بطول ضلع ، لذا فإن المساحة الكلية هي مرة أخرى. تضاعف التكرارات اللاحقة عدد النسخ أربع مرات مرة أخرى وتقلل طول الضلع إلى النصف، مع الحفاظ على المساحة الكلية. وفي الوقت نفسه، يتم تقسيم حجم البناء إلى النصف في كل خطوة وبالتالي يقترب من الصفر. لا يحتوي حد هذه العملية على حجم ولا سطح ولكنه، مثل حشية سيربينسكي، عبارة عن منحنى متصل بشكل معقد. بُعد هاوسدورف الخاص به هو ؛ هنا يشير "log" إلى اللوغاريتم الطبيعي ، والبسط هو لوغاريتم عدد نسخ الشكل المتكون من كل نسخة من التكرار السابق، والمقام هو لوغاريتم العامل الذي يتم به تقليص هذه النسخ من التكرار السابق. إذا تم إسقاط جميع النقاط على مستوى موازٍ لاثنين من الحواف الخارجية، فإنها تملأ مربعًا بطول ضلع تمامًا دون تداخل. ^[18]${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{2}{\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\tfrac {L}{2}}}$${\textstyle 4{\bigl (}{\tfrac {L}{2}}{\bigr )}^{2}{\sqrt {3}}=L^{2}{\sqrt {3}}}$${\textstyle {\tfrac {\log 4}{\log 2}}=2}$${\displaystyle {\tfrac {L}{\sqrt {2}}}}$

وصف فاتسواف سيربينسكي مثلث سيربينسكي في عام 1915. ومع ذلك، تظهر أنماط مماثلة بالفعل كزخرفة شائعة لأعمال الترصيع الحجرية الكوزماتية في القرن الثالث عشر . ^[19]

تم وصف الحشية الأبولونية لأول مرة بواسطة أبولونيوس من بيرجا (القرن الثالث قبل الميلاد) وتم تحليلها بشكل أكبر بواسطة جوتفريد لايبنتز (القرن السابع عشر)، وهي مقدمة منحنية لمثلث سيربينسكي في القرن العشرين. ^[20]

يشير استخدام كلمة "حشية" للإشارة إلى مثلث سيربينسكي إلى الحشيات مثل تلك الموجودة في المحركات ، والتي تتميز أحيانًا بسلسلة من الثقوب ذات الحجم المتناقص، على غرار الكسورية؛ وقد صاغ هذا الاستخدام بينوا ماندلبروت ، الذي اعتقد أن الكسورية تبدو مشابهة لـ "الجزء الذي يمنع التسرب في المحركات". ^[21]

• حشية أبولونية ، مجموعة من الدوائر المماسّة المتبادلة ذات البنية التركيبية نفسها مثل مثلث سيربينسكي
• قائمة الكسيريات حسب بعد هاوسدورف
• سجادة سيربينسكي ، وهي كسوري آخر سمي على اسم سيربينسكي وتشكلت من خلال إزالة المربعات بشكل متكرر من مربع أكبر
• تريفورس ، قطعة أثرية من سلسلة أسطورة زيلدا

• "حشوة سيربينسكي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "منخل سيربينسكي". MathWorld .
• روثيموند، بول دبليو كيه؛ باباداكيس، نيك؛ وينفري، إريك (2004). "التجميع الذاتي الخوارزمي لمثلثات سيربينسكي للحمض النووي". PLOS Biology . 2 (12): e424. doi : 10.1371/journal.pbio.0020424 . PMC  534809. PMID  15583715 .
• حشية Sierpinski من Trema Removal في موقع cut-the-knot
• حشية سيربينسكي وبرج هانوي في موقع قطع العقدة
• مثلث Sierpinski ثلاثي الأبعاد تم إنشاؤه بواسطة وحدة معالجة الرسوميات في الوقت الفعلي
• مثلثات فيثاغورس، فاكلاف سيربينسكي، كورير كوربوريشن، 2003
• A067771 عدد الرؤوس في مثلث سيربينسكي من الدرجة n في OEIS
• نسخة تفاعلية من لعبة الفوضى