مثلث سيربينسكي

يمكن إنشاء مثلث سيربينسكي من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق الإزالة المتكررة للمجموعات المثلثية الفرعية:

1. ابدأ بمثلث متساوي الأضلاع.
2. قسّمها إلى أربعة مثلثات أصغر متطابقة ومتساوية الأضلاع، ثم أزل المثلث المركزي.
3. كرر الخطوة 2 مع كل مثلث من المثلثات الأصغر المتبقية إلى ما لا نهاية.

كل مثلث مُزال ( تريما ) هو مجموعة مفتوحة من الناحية الطوبولوجية . ^{[ 1 ]} تُعد عملية إزالة المثلثات بشكل متكرر مثالاً على قاعدة التقسيم الجزئي المحدود .

يمكن توليد نفس تسلسل الأشكال، الذي يتقارب إلى مثلث سيربينسكي، بالخطوات التالية:

1. ابدأ بأي مثلث في مستوى (أي منطقة مغلقة ومحدودة في المستوى ستفي بالغرض). يستخدم مثلث سيربينسكي المتعارف عليه مثلثًا متساوي الأضلاع قاعدته موازية للمحور الأفقي (الصورة الأولى).
2. صغّر المثلث إلى نصف ارتفاعه وعرضه ، ثم أنشئ ثلاث نسخ منه ، وضع المثلثات المصغّرة بحيث يلامس كل مثلث المثلثين الآخرين عند إحدى زواياه (الصورة 2). لاحظ ظهور الفتحة المركزية، لأن المثلثات المصغّرة الثلاثة لا تغطي مجتمعةً سوى ثلاثة أرباع مساحة المثلث الأصلي . (تُعدّ الفتحات سمةً بارزةً في مثلث سيربينسكي) .
3. كرر الخطوة 2 مع كل مثلث من المثلثات الأصغر (الصورة 3 وهكذا).

لا تعتمد هذه العملية اللانهائية على كون الشكل الابتدائي مثلثًا، وإنما يكون ذلك أوضح. فالخطوات القليلة الأولى، بدءًا من مربع مثلاً، تميل أيضًا نحو مثلث سيربينسكي (كما هو موضح أدناه)، وقد استخدم مايكل بارنسلي صورة سمكة لتوضيح ذلك في بحثه "الكسور والكسور الفائقة ذات المتغيرات V". ^{[ 2 ] [ 3 ]}

إنّ الشكل الكسري الحقيقي هو ما يمكن الحصول عليه بعد عدد لا نهائي من التكرارات. وبشكل أكثر دقة، يمكن وصفه بدلالة الدوال على مجموعات مغلقة من النقاط. إذا رمزنا _لتمدد dA بمعامل 1/2 حول النقطة A ، فإنّ مثلث سيربينسكي ذو الرؤوس A وB وC هو المجموعة الثابتة للتحويل .${\displaystyle d_{\mathrm {A}}\cup d_{\mathrm {B} }\cup d_{\mathrm {C} }}$⁠ .

هذه مجموعة ثابتة جذابة ، بحيث عند تطبيق العملية على أي مجموعة مضغوطة أخرى بشكل متكرر، تتقارب الصور (في مقياس هاوسدورف ) إلى مثلث سيربينسكي. هذا ما يحدث مع المثلث أعلاه، ولكن أي مجموعة مضغوطة أخرى ستفي بالغرض.

إذا أخذنا نقطة وقمنا بتطبيق كل من التحويلات d _A و d _B و d _C عليها بشكل عشوائي، فإن النقاط الناتجة ستكون كثيفة في مثلث سيربينسكي، لذا فإن الخوارزمية التالية ستنتج مرة أخرى تقريبات قريبة بشكل تعسفي لها: ^{[ 4 ]}

ابدأ بتسمية النقاط p1 و p2 _و p3 كزوايا _لمثلث سيربينسكي، ونقطة عشوائية v1 . ضع المعادلة vn + 1 = ½ (vn + prn) ، _حيث rn عدد _{عشوائي 1} أو 2 أو 3. ارسم النقاط _{من v1} إلى v∞ . إذا كانت النقطة الأولى v1 تقع _{على مثلث} سيربينسكي _، فإن جميع النقاط _vn تقع على _{هذا المثلث} . أما إذا كانت النقطة الأولى v1 _التي تقع داخل محيط المثلث لا تقع على مثلث سيربينسكي، فلن تقع أي من النقاط _vn على المثلث _، ولكنها ستتقارب داخله. إذا _{كانت v1} خارج المثلث، فإن الطريقة الوحيدة التي تقع بها vn _على المثلث هي أن تقع على _ما يُفترض أن يكون جزءًا من المثلث لو كان المثلث لانهائيًا.

أو ببساطة أكثر:

1. اختر ثلاث نقاط في مستوى واحد لتشكيل مثلث.
2. اختر عشوائياً أي نقطة داخل المثلث واعتبر تلك النقطة موقعك الحالي.
3. اختر عشوائياً أي نقطة من نقاط الرؤوس الثلاث.
4. انتقل إلى نصف المسافة من موقعك الحالي إلى الرأس المحدد.
5. ارسم الموقع الحالي.
6. كرر من الخطوة 3.

تُعرف هذه الطريقة أيضًا باسم لعبة الفوضى ، وهي مثال على نظام الدوال المتكررة . يمكنك البدء من أي نقطة خارج المثلث أو داخله، وستتشكل في النهاية مصفوفة سيربينسكي مع بعض النقاط المتبقية (إذا كانت نقطة البداية تقع على محيط المثلث، فلن تكون هناك نقاط متبقية). باستخدام قلم رصاص وورقة، يتم رسم مخطط أولي بعد وضع حوالي مئة نقطة، وتبدأ التفاصيل بالظهور بعد بضع مئات من النقاط.

يُظهر تصميم آخر لحشية سيربينسكي أنه يمكن بناؤها كمنحنى في المستوى. ويتشكل هذا التصميم من خلال عملية تعديل متكررة لمنحنيات أبسط، على غرار بناء ندفة ثلج كوخ .

1. ابدأ بقطعة مستقيمة واحدة في المستوى
2. قم باستبدال كل قطعة مستقيمة من المنحنى بشكل متكرر بثلاث قطع أقصر، بحيث تشكل زوايا 120 درجة عند كل تقاطع بين قطعتين متتاليتين، مع كون القطعتين الأولى والأخيرة من المنحنى إما موازيتين للقطعة المستقيمة الأصلية أو تشكلان زاوية 60 درجة معها.

في كل تكرار، يُنتج هذا البناء منحنىً متصلاً. وفي النهاية، تقترب هذه المنحنيات من منحنى يرسم مثلث سيربينسكي عبر مسار واحد متصل وموجه (متعرج بلا حدود)، يُسمى رأس سهم سيربينسكي . ^{[ 5 ]} في الواقع، كان هدف مقالة سيربينسكي الأصلية عام 1915 هو عرض مثال على منحنى (منحنى كانتوري)، كما يُشير عنوان المقالة نفسها. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

يظهر مثلث سيربينسكي أيضًا في بعض الأوتوماتا الخلوية (مثل القاعدة 90 )، بما في ذلك تلك المتعلقة بلعبة الحياة لكونواي . على سبيل المثال، عند تطبيق الأوتوماتا الخلوية الشبيهة بلعبة الحياة B1/S12 على خلية واحدة، فإنها تُنتج أربعة تقريبات لمثلث سيربينسكي. ^{[ 8 ]} كما أن خطًا طويلًا جدًا، بسماكة خلية واحدة، في لعبة الحياة القياسية يُنشئ مثلثين متطابقين من نوع سيربينسكي. غالبًا ما يُشبه مخطط الزمان والمكان لنمط النسخ في الأوتوماتا الخلوية مثلث سيربينسكي، كما هو الحال في نمط النسخ الشائع في لعبة HighLife. ^{[ 9 ]} ويمكن أيضًا إيجاد مثلث سيربينسكي في أوتوماتا أولام-واربورتون وأوتوماتا هيكس-أولام-واربورتون. ^{[ 10 ]}

إذا أخذنا مثلث باسكال مع${\displaystyle 2^{n}}$إذا لونت الصفوف والألوان بالأعداد الزوجية باللون الأبيض، والأعداد الفردية باللون الأسود، فإن النتيجة هي تقريب لمثلث سيربينسكي. وبشكل أدق، فإن نهاية هذا المثلث الملون حسب التكافؤ عندما يقترب n من اللانهاية تكون على النحو التالي:${\displaystyle 2^{n}}$المثلث باسكال ذو الصفوف - هو مثلث سيربينسكي. ^{[ 11 ]}

بما أن نسبة الأعداد السوداء تقترب من الصفر مع ازدياد قيمة n ، فإن النتيجة المترتبة على ذلك هي أن نسبة معاملات ذات الحدين الفردية تقترب من الصفر عندما تقترب n من اللانهاية. ^{[ 12 ]}

تتضمن لعبة أبراج هانوي تحريك أقراص بأحجام مختلفة بين ثلاثة أوتاد، مع الحفاظ على خاصية عدم وضع أي قرص فوق قرص أصغر منه. تشكل حالات لعبة الأقراص (n ) والحركات المسموح بها من حالة إلى أخرى رسمًا بيانيًا غير موجه ، يُعرف برسم هانوي البياني ، والذي يمكن تمثيله هندسيًا كرسم بياني لتقاطع مجموعة المثلثات المتبقية بعد الخطوة n في بناء مثلث سيربينسكي. وبالتالي، عندما يؤول n إلى اللانهاية، يمكن تفسير هذا التسلسل من الرسوم البيانية على أنه نظير منفصل لمثلث سيربينسكي. ^{[ 13 ]}