تخمين تشيرن بشأن الأسطح الفائقة في الكرات

تُعدّ فرضية تشيرن للأسطح الفائقة في الكرات ، والتي لم تُحلّ حتى عام 2018، فرضيةً اقترحها تشيرن في مجال الهندسة التفاضلية . وهي تنبع من سؤال تشيرن الذي لم يُجب عليه بعد:

لنفترض وجود مشعبات فرعية دنيا مغلقة${\displaystyle M^{n}}$مغمور في كرة الوحدة${\displaystyle S^{n+m}}$مع شكل أساسي ثانٍ ذي طول ثابت يُرمز إلى مربعه بـ${\displaystyle \sigma }$هل مجموعة القيم لـ${\displaystyle \sigma }$منفصلة؟ ما هي القيمة الدنيا لهذه القيم؟${\displaystyle \sigma >{\frac {n}{2-{\frac {1}{m}}}}}$؟

يمكن إعادة صياغة السؤال الأول، أي ما إذا كانت مجموعة قيم σ منفصلة، ​​على النحو التالي:

يترك${\displaystyle M^{n}}$ليكن مشعبًا فرعيًا مغلقًا أدنى في${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+m}}$مع الشكل الأساسي الثاني ذي الطول الثابت، يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$مجموعة جميع القيم الممكنة لمربع طول الشكل الأساسي الثاني لـ${\displaystyle M^{n}}$، يكون${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$منفصل؟

يدها الإيجابية، وهي أكثر عمومية من تخمين تشيرن للأسطح الفائقة، والتي يشار إليها أحيانًا أيضًا باسم تخمين تشيرن، ولا تزال، حتى عام 2018، دون إجابة حتى مع اعتبار M سطحًا فائقًا (اقترح تشيرن هذه الحالة الخاصة لقائمة المشكلات المفتوحة لشينغ تونغ ياو في الهندسة التفاضلية في عام 1982):

لنفترض مجموعة جميع الأسطح الفائقة الدنيا المدمجة في${\displaystyle S^{N}}$بانحناء قياسي ثابت. تخيّل الانحناء القياسي كدالة على هذه المجموعة. هل صورة هذه الدالة مجموعة منفصلة من الأعداد الموجبة؟

بصيغة بديلة:

ضع في اعتبارك الأسطح الفائقة الدنيا المغلقة${\displaystyle M\subset \mathbb {S} ^{n+1}}$مع انحناء قياسي ثابت${\displaystyle k}$ثم لكل${\displaystyle n}$مجموعة جميع القيم الممكنة لـ${\displaystyle k}$(أو ما يعادل ذلك)${\displaystyle S}$) منفصل

أصبح هذا يُعرف باسم حدسية تشيرن للأسطح الفائقة الدنيا في الكرات (أو حدسية تشيرن للأسطح الفائقة الدنيا في الكرة ).

وقد تم لاحقاً، بفضل التقدم المحرز في دراسات الأسطح الفائقة متساوية المعاملات، إعطاء هذه الحالة من الأسطح الفائقة صياغة جديدة، تُعرف الآن باسم تخمين تشيرن للأسطح الفائقة متساوية المعاملات في الكرات (أو تخمين تشيرن للأسطح الفائقة متساوية المعاملات في كرة ):

يترك${\displaystyle M^{n}}$ليكن سطحًا فائقًا مغلقًا ومغمورًا بشكل طفيف للكرة الوحدة${\displaystyle S^{n+1}}$بانحناء قياسي ثابت. ثم${\displaystyle M}$متساوي المعاملات

هنا،${\displaystyle S^{n+1}}$يشير إلى الكرة ذات الأبعاد ( n + 1)، و n ≥ 2.

في عام 2008، اقترح تشيكين لو تخمينًا مشابهًا لتخمين تشيرن، ولكن مع${\displaystyle \sigma +\lambda _{2}}$تم اختيارها بدلاً من${\displaystyle \sigma }$:

يترك${\displaystyle M^{n}}$ليكن فضاءً فرعياً مغلقاً ومغموراً بشكل طفيف في كرة الوحدة${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+m}}$مع ثابت${\displaystyle \sigma +\lambda _{2}}$. لو${\displaystyle \sigma +\lambda _{2}>n}$ثم هناك ثابت${\displaystyle \epsilon (n,m)>0}$بحيث${\displaystyle \sigma +\lambda _{2}>n+\epsilon (n,m)}$

هنا،${\displaystyle M^{n}}$يشير إلى مشعب فرعي أدنى ذي أبعاد n ؛${\displaystyle \lambda _{2}}$يشير إلى ثاني أكبر قيمة ذاتية للمصفوفة المتناظرة شبه الموجبة${\displaystyle S:=(\left\langle A^{\alpha },B^{\beta }\right\rangle )}$أين${\displaystyle A^{\alpha }}$س (${\displaystyle \alpha =1,\cdots ,m}$) هي عوامل الشكل لـ${\displaystyle M}$بالنسبة إلى إطار مرجعي متعامد طبيعي (محلي) معين .${\displaystyle \sigma }$يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي${\displaystyle {\left\Vert \sigma \right\Vert }^{2}}$.

وقد اقترح روبرت براينت فرضية أخرى ذات صلة :

جزء من كرة فائقة دنيا من${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$تكون المعادلة ذات الانحناء القياسي الثابت متساوية المعاملات من النوع${\displaystyle g\leq 3}$

بصيغة بديلة:

يترك${\displaystyle M\subset \mathbb {S} ^{4}}$ليكن سطحًا فائقًا أدنى ذو انحناء قياسي ثابت. عندئذٍ${\displaystyle M}$متساوي المعاملات

إذا تم ترتيبها هرمياً وصياغتها بأسلوب واحد، فإن تخمينات تشيرن (بدون تخمينات لو وبريانت) يمكن أن تبدو على النحو التالي:

• النسخة الأولى (تخمين الأسطح الفائقة الدنيا):

يترك${\displaystyle M}$ليكن سطحًا فائقًا صغيرًا مضغوطًا في كرة الوحدة${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$. لو${\displaystyle M}$إذا كان للدالة انحناء قياسي ثابت، فإن القيم الممكنة للانحناء القياسي لـ${\displaystyle M}$تشكل مجموعة منفصلة

• النسخة المحسّنة/الأقوى (تخمين الأسطح الفائقة متساوية المعاملات) من التخمين هي نفسها، ولكن مع استبدال جزء "إذا" بما يلي:

لو${\displaystyle M}$إذا كان له انحناء قياسي ثابت،${\displaystyle M}$متساوي المعاملات

• النسخة الأقوى تستبدل جزء "if" بما يلي:

يرمز بـ${\displaystyle S}$مربع طول الشكل الأساسي الثاني لـ${\displaystyle M}$. تعيين${\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}$، ل${\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 5\}}$ثم لدينا:

• لأي ثابت${\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 4\}}$، لو${\displaystyle a_{k}\leq S\leq a_{k+1}}$، ثم${\displaystyle M}$متساوي المعاملات، و${\displaystyle S\equiv a_{k}}$أو${\displaystyle S\equiv a_{k+1}}$
• لو${\displaystyle S\geq a_{5}}$، ثم${\displaystyle M}$متساوي المعاملات، و${\displaystyle S\equiv a_{5}}$

أو بدلاً من ذلك:

يرمز بـ${\displaystyle A}$مربع طول الشكل الأساسي الثاني لـ${\displaystyle M}$. تعيين${\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}$، ل${\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 5\}}$ثم لدينا:

• لأي ثابت${\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 4\}}$، لو${\displaystyle a_{k}\leq {\left\vert A\right\vert }^{2}\leq a_{k+1}}$، ثم${\displaystyle M}$متساوي المعاملات، و${\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{k}}$أو${\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{k+1}}$
• لو${\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\geq a_{5}}$، ثم${\displaystyle M}$متساوي المعاملات، و${\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{5}}$

ينبغي الانتباه إلى ما يسمى بمشكلتي الضغط الأولى والثانية باعتبارهما أجزاء خاصة لشركة Chern.

إلى جانب تخمينات لو وبريانت، هناك تخمينات أخرى أيضاً:

في عام 1983، طرح تشيا-كوي بنغ وتشو-ليان تيرنغ المشكلة المتعلقة بـ Chern:

يترك${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$سطح فائق مصغر مغلق ذو أبعاد n في${\displaystyle S^{n+1},n\geq 6}$هل يوجد ثابت موجب؟${\displaystyle \delta (n)}$بالاعتماد فقط على${\displaystyle n}$بحيث إذا${\displaystyle n\leq n+\delta (n)}$، ثم${\displaystyle S\equiv n}$، أي،${\displaystyle M}$هو أحد حلقات كليفورد${\displaystyle S^{k}\left({\sqrt {\frac {k}{n}}}\right)\times S^{n-k}\left({\sqrt {\frac {n-k}{n}}}\right),k=1,2,\ldots ,n-1}$؟

في عام 2017، اقترح لي لي، وهونغوي شو، وزييوان شو مشكلتين متعلقتين بتشيرن.

استُلهم الأول من تخمين ياو حول القيمة الذاتية الأولى :

يترك${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$سطح فائق مضغوط ذو أبعاد n في${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$. يُرمز إليه بـ${\displaystyle \lambda _{1}(M)}$القيمة الذاتية الأولى لمؤثر لابلاس الذي يعمل على الدوال فوق${\displaystyle M}$:

• هل من الممكن إثبات ذلك إذا${\displaystyle M}$إذا كان له انحناء قياسي ثابت،${\displaystyle \lambda _{1}(M)=n}$؟

• تعيين${\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}$هل من الممكن إثبات ذلك إذا${\displaystyle a_{k}\leq S\leq a_{k+1}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};2\leq m\leq 4\}}$، أو${\displaystyle S\geq a_{5}}$، ثم${\displaystyle \lambda _{1}(M)=n}$؟

أما الثاني فهو تخمين تشيرن المعمم الخاص بهم للأسطح الفائقة ذات الانحناء المتوسط ​​الثابت :

يترك${\displaystyle M}$ليكن سطحًا فائقًا مغلقًا ذو انحناء متوسط ​​ثابت${\displaystyle H}$في كرة الوحدة${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$:

• افترض أن${\displaystyle a\leq S\leq b}$، أين${\displaystyle a<b}$و${\displaystyle \left[a,b\right]\cap I=\left\lbrace a,b\right\rbrace }$هل من الممكن إثبات ذلك؟${\displaystyle S\equiv a}$أو${\displaystyle S\equiv b}$، و${\displaystyle M}$هو سطح فائق متساوي المعاملات في${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$؟

• لنفترض أن${\displaystyle S\leq c}$، أين${\displaystyle c=\sup _{t\in I}{t}}$هل يمكن لأحد أن يثبت ذلك؟${\displaystyle S\equiv c}$، و${\displaystyle M}$هو سطح فائق متساوي المعاملات في${\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}$؟

• إس إس تشيرن، المشعبات الفرعية الدنيا في مشعب ريماني، ( مطبوعة في عام 1968)، التقرير الفني رقم 19 لقسم الرياضيات (سلسلة جديدة)، جامعة كانساس ، 1968
• إس إس تشيرن، مسح موجز للحد الأدنى من عديدات الطيات الفرعية، الهندسة التفاضلية في Großen، المجلد 4 (1971)، Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach ، الصفحات من 43 إلى 60.
• إس إس تشيرن، إم دو كارمو، وإس كوباياشي ، "المشعبات الفرعية الدنيا للكرة ذات الشكل الأساسي الثاني ذي الطول الثابت"، التحليل الوظيفي والمجالات ذات الصلة: وقائع مؤتمر تكريمًا للأستاذ مارشال ستون ، الذي عُقد في جامعة شيكاغو ، مايو 1968 (1970)، سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات 59-75
• إس تي ياو، ندوة في الهندسة التفاضلية (حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 102)، مطبعة جامعة برينستون (1982)، الصفحات 669-706، المسألة 105
• ل. فيرسترايلين، الانحناء القطاعي للمشعبات الفرعية الدنيا، وقائع ورشة العمل حول الهندسة التفاضلية (1986)، جامعة ساوثهامبتون ، ص 48-62
• M. Scherfner and S. Weiß، نحو إثبات حدسية تشيرن للأسطح المفرطة متساوية الحدود في المجالات، Süddeutsches Kolloquium über Differentialgeometrie، المجلد 33 (2008)، Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie، Technische Universität Wien ، الصفحات من 1 إلى 13.
• Z. Lu، تخمين الانحناء القياسي الطبيعي وتطبيقاته، مجلة التحليل الوظيفي، المجلد 261 (2011)، الصفحات 1284-1308
• لو، تشيكين (2011). "فرضية الانحناء القياسي الطبيعي وتطبيقاتها". مجلة التحليل الوظيفي . 261 (5): 1284-1308 . arXiv : 0803.0502v3 . doi : 10.1016/j.jfa.2011.05.002 . S2CID 17541544 . 
• سي كي بينغ، سي إل تيرنغ، الأسطح الفائقة الدنيا للكرة ذات الانحناء القياسي الثابت، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد 103 (1983)، الصفحات 177-198
• لي، لي؛ شو، هونغوي؛ شو، تشيوان (2017). "حول حدسية تشيرن للأسطح الفائقة الدنيا في الكرات". arXiv : 1712.01175 [ math.DG ].