حشية أبولونية

في الرياضيات ، يُعرف الشكل الهندسي الأبولوني ، أو الشبكة الأبولونية ، أو تعبئة الدوائر الأبولونية ، بأنه شكل هندسي كسري يتم إنشاؤه من خلال البدء بثلاث دوائر، كل منها مماسة للدائرتين الأخريين، ثم ملء المزيد من الدوائر تباعاً، كل منها مماسة لثلاث دوائر أخرى. وقد سُمي هذا الشكل نسبةً إلى عالم الرياضيات اليوناني أبولونيوس البرغاوي . ^{[ 1 ]}

بناء

يبدأ بناء حشية أبولو بثلاث دوائر $C_{1}$ ، $C_{2}$ ، و $C_{3}$ (باللون الأسود في الشكل)، وهي دوائر متماسة مع الدائرتين الأخريين، ولكن ليس لها نقطة تماس ثلاثية واحدة. قد تختلف أحجام هذه الدوائر، ويُسمح بوجود دائرتين داخل الثالثة، أو أن تكون الدوائر الثلاث خارج بعضها البعض. وكما اكتشف أبولونيوس، توجد دائرتان أخريان. $C_{4}$ و $C_{5}$ (باللون الأحمر) التي تمس الدوائر الأصلية الثلاث جميعها - وتُسمى هذه الدوائر دوائر أبولو . تفصل بين هذه الدوائر الخمس ستة مناطق مثلثة منحنية، يحد كل منها أقواس من ثلاث دوائر متماسة. يستمر البناء بإضافة ست دوائر أخرى، واحدة في كل مثلث من هذه المثلثات المنحنية الستة، مماسةً لأضلاعه الثلاثة. تُشكل هذه بدورها 18 مثلثًا منحنيًا آخر، ويستمر البناء بملء هذه المثلثات بدوائر مماسة، إلى ما لا نهاية.

ويستمر البناء على هذا النحو مرحلة تلو الأخرى، مما يضيف $2\cdot 3^{n}$ دوائر جديدة على المسرح $n$ ، مما يعطي إجمالي $3^{n+1}+2$ دوائر بعد $n$ في المراحل. في النهاية، تُشكّل هذه المجموعة من الدوائر حشوة أبولونية. فيها، يحتوي كل زوج من الدوائر المتماسة على سلسلة بابوس لانهائية من الدوائر المتماسة مع كلتا الدائرتين في الزوج.

يتم تحديد حجم كل دائرة جديدة بواسطة نظرية ديكارت ، التي تنص على أنه بالنسبة لأي أربع دوائر متماسّة، فإن أنصاف أقطارها $r_{i}$ تخضع إحدى الدوائر للمعادلة $\displaystyle \left({\frac {1}{r_{1}}}+{\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}}+{\frac {1}{r_{4}}}\right)^{2}=2\left({\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\right).}$ قد يكون لهذه المعادلة حل بنصف قطر سالب؛ وهذا يعني أن إحدى الدوائر (ذات نصف القطر السالب) تُحيط بالدوائر الثلاث الأخرى. يمكن أن تتحول إحدى الدوائر الأولية لهذا التصميم، أو اثنتان منها، أو الدوائر الناتجة عنه، إلى خط مستقيم، والذي يُمكن اعتباره دائرة بنصف قطر لانهائي. عندما يكون هناك خطان، يجب أن يكونا متوازيين، ويُعتبران متماسين عند نقطة في اللانهاية . عندما يتضمن الشكل خطين على $x$ المحور - ووحدة واحدة فوقه، ودائرة قطرها وحدة واحدة مماسة لكلا الخطين متمركزة على $y$ ثم الدوائر المماسية للمحور السيني. $x$ المحور - هو دوائر فورد ، وهي مهمة في نظرية الأعداد .

يبلغ بُعد هاوسدورف لشكل أبولو حوالي 1.3056867، وقد تم توسيعه إلى 128 منزلة عشرية على الأقل. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} ولأنه يتمتع ببعد كسري محدد جيدًا، على الرغم من أنه ليس متشابهًا ذاتيًا تمامًا ، يمكن اعتباره شكلًا كسريًا .

التناظرات

تحافظ تحويلات موبيوس للمستوى على أشكال الدوائر ونقاط التماس بينها، وبالتالي تحافظ على بنية حشوة أبولو. يمكن تحويل أي مجموعتين ثلاثيتين من الدوائر المتماسة في حشوة أبولو إلى بعضها البعض باستخدام تحويل موبيوس، كما يمكن تحويل أي حشوتين أبولو إلى بعضهما البعض باستخدام تحويل موبيوس. على وجه الخصوص، بالنسبة لأي دائرتين متماستين في أي حشوة أبولو، فإن انعكاس دائرة مركزها نقطة التماس (وهي حالة خاصة من تحويل موبيوس) سيحول هاتين الدائرتين إلى خطين متوازيين، ويحول باقي الحشوة إلى الشكل الخاص لحشوة بين خطين متوازيين. يمكن استخدام تركيبات هذه الانعكاسات لتحويل أي نقطتي تماس إلى بعضهما البعض. تُعد تحويلات موبيوس أيضًا تحويلات متساوية القياس للمستوى الزائدي ، لذا في الهندسة الزائدية، تكون جميع حشوات أبولو متطابقة. بمعنى ما، لا يوجد سوى حشوة أبولونية واحدة، حتى التساوي (الزائدي).

مجموعة أبولو هي مجموعة النهاية لمجموعة من تحويلات موبيوس المعروفة باسم مجموعة كلاين . ^{[ 5 ]}

في تحويلات التناظر الإقليدية، وليس تحويلات موبيوس، يرث الشكل الأبولوني، بشكل عام، تناظرات مجموعته المولدة المكونة من ثلاث دوائر. مع ذلك، يمكن لبعض ثلاثيات الدوائر أن تولد أشكالًا أبولونية ذات تناظر أعلى من الثلاثية الأصلية؛ ويحدث هذا عندما يكون للشكل نفسه مجموعة دوائر مولدة مختلفة وأكثر تناظرًا. تشمل الحالات المتناظرة بشكل خاص الشكل الأبولوني بين خطين متوازيين (بتناظر ثنائي السطوح لانهائي )، والشكل الأبولوني الناتج عن ثلاث دوائر متطابقة في مثلث متساوي الأضلاع (بتناظر المثلث)، والشكل الأبولوني الناتج عن دائرتين نصف قطرهما 1 محاطتين بدائرة نصف قطرها 2 (بخطين من التناظر الانعكاسي).

تعبئة الدوائر الأبولونية المتكاملة

تعبئة الدوائر الأبولونية التكاملية المحددة بانحناءات الدوائر (−1، 2، 2، 3)
تعبئة الدوائر الأبولونية المتكاملة المحددة بانحناءات الدوائر (−3، 5، 8، 8)
تعبئة الدوائر الأبولونية المتكاملة المحددة بانحناءات الدوائر (−12، 25، 25، 28)
تعبئة الدوائر الأبولونية المتكاملة المحددة بانحناءات الدوائر (−6، 10، 15، 19)
تعبئة الدوائر الأبولونية المتكاملة المحددة بانحناءات الدوائر (−10، 18، 23، 27)

إذا كانت أي أربع دوائر متماسّة في شكل أبولو لها انحناء صحيح (مقلوب نصف قطرها)، فإن جميع الدوائر في هذا الشكل ستكون لها انحناء صحيح. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} وبما أن المعادلة التي تربط الانحناءات في شكل أبولو، سواء كانت صحيحة أم لا، هي $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd,\,$ يستنتج من ذلك أنه يمكن الانتقال من مجموعة رباعية من الانحناءات إلى أخرى عبر قفزة فييتا ، تمامًا كما هو الحال عند إيجاد عدد ماركوف جديد . ترد في الجدول التالي أولى هذه المجموعات المتكاملة من تجاويف أبولو. يسرد الجدول انحناءات أكبر الدوائر في المجموعة. يكفي استخدام أول ثلاثة انحناءات فقط (من أصل الخمسة المعروضة في الجدول) لوصف كل مجموعة وصفًا كاملًا ، إذ يمكن اشتقاق جميع الانحناءات الأخرى من هذه الثلاثة.

**حشوات أبولونية متكاملة**
بداية الانحناءات	التناظر
-1، 2، 2، 3، 3	د ₂
-2، 3، 6، 7، 7	د ₁
-3، 4، 12، 13، 13	د ₁
-3، 5، 8، 8، 12	د ₁
-4، 5، 20، 21، 21	د ₁
-4، 8، 9، 9، 17	د ₁
-5، 6، 30، 31، 31	د ₁
-5، 7، 18، 18، 22	د ₁
-6، 7، 42، 43، 43	د ₁
-6، 10، 15، 19، 19	د ₁
-6، 11، 14، 15، 23	ج ₁
-7، 8، 56، 57، 57	د ₁
-7، 9، 32، 32، 36	د ₁
-7، 12، 17، 20، 24	ج ₁
-8، 9، 72، 73، 73	د ₁
-8، 12، 25، 25، 33	د ₁
-8، 13، 21، 24، 28	ج ₁
-9، 10، 90، 91، 91	د ₁
-9، 11، 50، 50، 54	د ₁
-9، 14، 26، 27، 35	ج ₁
-9، 18، 19، 22، 34	ج ₁
-10، 11، 110، 111، 111	د ₁
-10، 14، 35، 39، 39	د ₁
-10، 18، 23، 27، 35	ج ₁
-11، 12، 132، 133، 133	د ₁
-11، 13، 72، 72، 76	د ₁
-11، 16، 36، 37، 45	ج ₁
-11، 21، 24، 28، 40	ج ₁
-12، 13، 156، 157، 157	د ₁
-12، 16، 49، 49، 57	د ₁
-12، 17، 41، 44، 48	ج ₁
-12، 21، 28، 37، 37	د ₁
-12، 21، 29، 32، 44	ج ₁
-12، 25، 25، 28، 48	د ₁
-13، 14، 182، 183، 183	د ₁
-13، 15، 98، 98، 102	د ₁
-13، 18، 47، 50، 54	ج ₁
-13، 23، 30، 38، 42	ج ₁
-14، 15، 210، 211، 211	د ₁
-14، 18، 63، 67، 67	د ₁
-14، 19، 54، 55، 63	ج ₁
-14، 22، 39، 43، 51	ج ₁
-14، 27، 31، 34، 54	ج ₁
-15، 16، 240، 241، 241	د ₁
-15، 17، 128، 128، 132	د ₁
-15، 24، 40، 49، 49	د ₁
-15، 24، 41، 44، 56	ج ₁
-15، 28، 33، 40، 52	ج ₁
-15، 32، 32، 33، 65	د ₁

تعداد حزم دوائر أبولو المتكاملة

الانحناءات $(a,b,c,d)$ تُعتبر رباعية جذرية (أصغر رباعية في بعض مجموعات الدوائر المتكاملة) إذا $a<0\leq b\leq c\leq d$ إنها بدائية عندما $\gcd(a,b,c,d)=1$ تعريف مجموعة جديدة من المتغيرات $(x,d_{1},d_{2},m)$ بواسطة معادلة المصفوفة ${\begin{bmatrix}a\\b\\c\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&1&1&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\d_{1}\\d_{2}\\m\end{bmatrix}}$ يوفر نظامًا حيث $(a,b,c,d)$ يحقق معادلة ديكارت بالضبط عندما $x^{2}+m^{2}=d_{1}d_{2}$ . بالإضافة إلى، $(a,b,c,d)$ يكون بدائيًا تحديدًا عندما $\gcd(x,d_{1},d_{2})=1$ ، و $(a,b,c,d)$ يكون الجذر رباعيًا بالضبط عندما $x<0\leq 2m\leq d_{1}\leq d_{2}$ [ ⁷^]

يمكن استخدام هذه العلاقة لإيجاد جميع رباعيات الجذور الأولية ذات الانحناء السالب المحدد $x$ ويترتب على ذلك $2m\leq d_{1}$ و $2m\leq d_{2}$ الذي - التي $4m^{2}\leq d_{1}d_{2}$ وبالتالي فإن $3m^{2}\leq d_{1}d_{2}-m^{2}=x^{2}$ لذلك، فإن أي رباعية جذر ستفي بالغرض. $0\leq m\leq |x|/{\sqrt {3}}$ من خلال التكرار على جميع القيم الممكنة لـ $m$ ، $d_{1}$ ، و $d_{2}$ يمكن إيجاد جميع رباعيات الجذور الأولية. ^{[ 8 ]} يوضح كود بايثون التالي هذه الخوارزمية، وينتج رباعيات الجذور الأولية المذكورة أعلاه.

استيراد الرياضياتدالة get_primitive_bends ( n : int ) -> tuple [ int , int , int , int ]: إذا كان n == 0 : yield 0 , 0 , 1 , 1 return for m in range ( math . ceil ( n / math . sqrt ( 3 ))): s = m ** 2 + n ** 2 for d1 in range ( max ( 2 * m , 1 ), math . floor ( math . sqrt ( s )) + 1 ): d2 , remainder = divmod ( s , d1 ) if remainder == 0 and math . gcd ( n , d1 , d2 ) == 1 : yield - n , d1 + n , d2 + n , d1 + d2 + n - 2 * mfor n in range ( 15 ): for bends in get_primitive_bends ( n ): print ( bends )

فرضية المحلي والعالمي

يجب أن تنتمي الانحناءات الظاهرة في تعبئة دوائر أبولو التكاملية الأولية إلى مجموعة من ست أو ثماني فئات متبقية محتملة بتردد 24، وقد دعمت النتائج النظرية والأدلة العددية أن أي عدد صحيح كبير بما فيه الكفاية من هذه الفئات المتبقية سيكون موجودًا أيضًا كانحناء داخل التعبئة. ^{[ 7 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} وقد ثبت خطأ هذه الفرضية، المعروفة باسم فرضية المحلي-العالمي، في عام 2023. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

تناظر حزم دوائر أبولو المتكاملة

توجد أنواع متعددة من التناظر ثنائي السطوح التي يمكن أن تحدث مع الحشية اعتمادًا على انحناء الدوائر.

لا يوجد تناظر

إذا لم يتكرر أي من الانحناءات ضمن الخمسة الأولى، فإن الحشية لا تحتوي على أي تناظر، وهو ما يمثله مجموعة التناظر C ₁ ؛ الحشية الموصوفة بالانحناءات (-10، 18، 23، 27) هي مثال على ذلك.

التناظر D ₁

عندما يكون لاثنين من أكبر خمس دوائر في الحشية نفس الانحناء، فإن تلك الحشية ستكون لها تناظر D ₁ ، وهو ما يتوافق مع انعكاس على طول قطر الدائرة المحيطة، بدون تناظر دوراني.

التناظر D ₂

إذا تكررت انحنات مختلفة ضمن أول خمس انحناءات، فإن الحشية ستتمتع بتناظر D2 _؛ ويتكون هذا التناظر من انعكاسين (متعامدين) على طول أقطار الدائرة المحيطة، مع تناظر دوراني ثنائي مقداره 180 درجة. والحشية الموصوفة بالانحناءات (-1، 2، 2، 3) هي الحشية الأبولونية الوحيدة (حتى عامل قياس) التي تمتلك تناظر _D2 .

التناظر D ₃

لا توجد حشوات عددية صحيحة ذات تناظر D ₃ .

_{إذا كانت الدوائر الثلاث ذات أصغر انحناء موجب متساوية في الانحناء، فإن} الحشوة ستتمتع بتناظر D3 ، والذي يتوافق مع ثلاثة انعكاسات على طول أقطار الدائرة المحيطة (بمسافة 120 درجة بينها)، بالإضافة إلى تناظر دوراني ثلاثي بزاوية 120 درجة. في هذه الحالة ، تكون نسبة انحناء الدائرة المحيطة إلى انحناء الدوائر الداخلية الثلاث هي 2√3 - 3. ولأن هذه النسبة ليست عددًا نسبيًا، فلا توجد أي حشوات دائرية أبولونية متكاملة تمتلك هذا التناظر D3 _، على الرغم من أن العديد من الحشوات تقترب منه.

شبه تناظر D3

الشكل الموجود على اليسار عبارة عن حلقة أبولونية متكاملة تبدو وكأنها تتمتع _بتناظرD3 . ويُعرض الشكل نفسه على اليمين، مع تسميات توضح انحناءات الدوائر الداخلية، مما يُبين أن الحلقة في الواقع لا تمتلك سوى تناظر D1 _الشائع في العديد من الحلقات الأبولونية المتكاملة الأخرى.

يُدرج الجدول التالي المزيد من هذه الحشوات الأبولونية شبه المتكاملة _من الرتبة D3 . تتميز المتتالية ببعض الخصائص المثيرة للاهتمام، ويُبين الجدول تحليلًا لانحناءاتها، بالإضافة إلى المُضاعِف اللازم للانتقال من المجموعة السابقة إلى المجموعة الحالية. تخضع القيم المطلقة لانحناءات الأقراص "a" للعلاقة التكرارية a $($ $n$ $)$ $= 4a$ $($ $n$ $-$ $1) -$ $a$ $($ $n$ $-2)$ (المتتالية A001353 في OEIS ) ، ومنها يتبين أن المُضاعِف يتقارب إلى √3 + 2 ≈ 3.732050807.

**حشوات أبولونية متكاملة ذات تناظر _شبهD3**
انحناء				عوامل			المضاعف
أ	ب	ج	د	أ	ب	د	أ	ب	ج	د
-1	2	2	3	1×1	1×2	1×3	غير متوفر	غير متوفر	غير متوفر	غير متوفر
-4	8	9	9	2×2	2×4	3×3	4.000000000	4.000000000	4.500000000	3.000000000
-15	32	32	33	3×5	4×8	3×11	3.750000000	4.000000000	3.555555556	3.666666667
-56	120	121	121	8×7	8×15	11×11	3.733333333	3.750000000	3.781250000	3.666666667
-209	450	450	451	11×19	15×30	11×41	3.732142857	3.750000000	3.719008264	3.727272727
-780	1680	1681	1681	30×26	30×56	41×41	3.732057416	3.733333333	3.735555556	3.727272727
-2911	6272	6272	6273	41×71	56×112	41×153	3.732051282	3.733333333	3.731112433	3.731707317
-10864	23408	23409	23409	112×97	112×209	153×153	3.732050842	3.732142857	3.732302296	3.731707317
-40545	87362	87362	87363	153×265	209×418	153×571	3.732050810	3.732142857	3.731983425	3.732026144

انحناءات متسلسلة

لأي عدد صحيح $n > 0$ ، توجد حشوة أبولونية محددة بالانحناءات التالية: ${\bigl (}-n,\ n+1,\ n(n+1),\ n(n+1)+1{\bigr )}.$ على سبيل المثال، تتبع الحشوات المحددة بالإحداثيات (−2، 3، 6، 7)، و(−3، 4، 12، 13)، و(−8، 9، 72، 73)، و(−9، 10، 90، 91) هذا النمط. ولأن كل دائرة داخلية محددة بالقيمة $n + 1$ يمكن أن تصبح دائرة محيطة (محددة بالقيمة $- n$ ) في حشوة أخرى، يمكن تداخل هذه الحشوات . ويتضح ذلك في الشكل على اليمين، الذي يحتوي على هذه الحشوات المتسلسلة حيث تتراوح قيمة $n$ من 2 إلى 20.

تاريخ

على الرغم من أن حلقة أبولونيان سُميت نسبةً إلى أبولونيوس البرغاوي، نظرًا لاعتماد بنائها على حل مسألة أبولونيوس ، فإن أقدم وصفٍ لها يعود إلى عام 1706 من قِبل لايبنتز في رسالةٍ إلى دي بوس . ^{[ 14 ]} أما أول تعريفٍ حديثٍ لحلقة أبولونيان فقد قدمه كاسنر وسوبنيك. ^{[ 15 ]}

انظر أيضاً

شبكة أبولو ، وهي رسم بياني مشتق من مجموعات فرعية محدودة من حشوة أبولو
تعبئة الكرات الأبولونية ، تعميم ثلاثي الأبعاد لحشوة أبولو
مثلث سيربينسكي ، وهو شكل كسري ذاتي التشابه ذو بنية تركيبية مماثلة

ملحوظات

↑ ساتيجا، الثاني، الفراشة في عالم إغليسياس واسيس: قصة أكثر الفراكتلات الكمومية إثارة للاهتمام ( بريستول : دار نشر IOP ، 2016)، ص 5 .
↑ بويد، ديفيد و. (1973)، "بعد المجموعة المتبقية للتعبئة الأبولونية"، ماتيماتيكا ، 20 (2): 170-174 ، doi : 10.1112/S0025579300004745 ، MR 0493763
↑ ماكمولين، كورتيس ت. (1998)، "بعد هاوسدورف وديناميكيات المطابقة، الجزء الثالث: حساب البعد" (ملف PDF) ، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 120 (4): 691-721 ، doi : 10.1353/ajm.1998.0031 ، MR 1637951 ، S2CID 15928775
^ Caroline L. Wormell، Polina L. Vytnova (2025)، “بعد Hausdorff للحشية الأبولونية” ، Inventiones Mathematicae ، 239 (3): 909–946 ، أرخايف : 2406.04922 ، بيب كود : 2025InMat.239..909V ، دوى : 10.1007/s00222-024-01311-ذ
↑ دوائر العد ونظرية إرجوديك للمجموعات الكلاينية، بقلم هي أوه براون. جامعة، ديسمبر 2009
↑ سودي 1937 .
1 2 3 غراهام وآخرون 2003 .
↑ برادفورد، ألدن، إعادة النظر في حشوات أبولو ، تم الاطلاع عليه في 7 أغسطس 2022
↑ فوكس وساندن 2011 .
↑ بورغين وكونتوروفيتش 2014 .
↑ هاج وآخرون 2024 .
↑ ليفي، ماكس ج. (10 أغسطس 2023)، طالبان يكشفان زيف تخمين رياضي شائع ، مجلة كوانتا ، تم الاطلاع عليه في 14 أغسطس 2023
↑ فوكس، إيلينا (2026)، "التعبئة الأبولونية: صعود وسقوط التخمين من المحلي إلى العالمي"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 63 (1): 59-77 ، doi : 10.1090/bull/1874 ، MR 5009057
↑ لايبنتز إلى ديس بوس، هانوفر 11-17 مارس 1706، ترجمة الدكتور أوزفالدو أوتافياني https://humanities.technion.ac.il/en/leibniz-to-des-bosses-hannover-11-17-march-1706/
↑ كاسنر وسوبنيك 1943 .

مراجع

بورجين, جان ; Kontorovich، Alex (2014)، “On the Local-Global Conjecture for متكاملة أبولونيان جوانات”، اختراعات الرياضيات ، 196 (196): 589–650 ، أرخايف : 1205.4416 ، بيب كود : 2014InMat.196..589B ، دوى : 10.1007/s00222-013-0475-ي
فوكس، إيلينا؛ ساندن، كاثرين (28-11-2011)، "بعض التجارب على تعبئة الدوائر الأبولونية التكاملية"، الرياضيات التجريبية ، 20 (4): 380-399 ، arXiv : 1001.1406 ، doi : 10.1080/10586458.2011.565255 ، ISSN 1058-6458
جراهام، رونالد ل . لاجارياس، جيفري سي . مالوز، كولن إل . ويلكس، آلان ر. يان، كاثرين هـ. (2003)، “حزم الدائرة الأبولونية: نظرية الأعداد” ، J. نظرية الأعداد , 100 (1): 1–45 ، أرخايف : math/0009113 ، دوى : 10.1016/S0022-314X(03)00015-5
سمر هاغ؛ كلايد كيرتزر؛ جيمس ريكاردز؛ كاثرين إي. ستانج (2024)، "فرضية المحلية-العالمية لتعبئة الدوائر الأبولونية خاطئة"، حوليات الرياضيات ، 200 (2)، arXiv : 2307.02749 ، doi : 10.4007/annals.2024.200.2.6
كاسنر، إدوارد ؛ سوبنيك، فريد (1943)، "الترتيب الأبولوني للدوائر"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم ، 29 (11): 378-384 ، Bibcode : 1943PNAS...29..378K ، doi : 10.1073/pnas.29.11.378 ، PMC 1078636 ، PMID 16588629
ديفيد مومفورد ، سلسلة كارولين ، ديفيد رايت: لآلئ إندرا: رؤية فيليكس كلاين ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2002، رقم ISBN 0-521-35253-3
سودي، فريدريك (1937)، "وعاء الأعداد الصحيحة والسداسي الصغير"، مجلة نيتشر ، 139 (3506)، لندن: 77-79 ، رمز Bibcode : 1937Natur.139...77S ، doi : 10.1038/139077a0.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو ، "حلقة أبولونية" ، عالم الرياضيات
ألكسندر بوغومولني ، أبولونيان غاسكيت ، قطع العقدة
نموذج تفاعلي لهيكل أبولو يعمل بتقنية HTML5 النقية على موقع Wayback Machine (تمت أرشفته في 2011-05-02)
برنامج Matlab لرسم شكل أبولو ثنائي الأبعاد باستخدام n دائرة متطابقة. مؤرشف بتاريخ 7 أكتوبر 2008 في Wayback Machine باستخدام عكس الدائرة.
تجارب عبر الإنترنت باستخدام JSXGraph
حشوة أبولونية من تأليف مايكل سكرايبر، مشروع عروض وولفرام .
عرض توضيحي تفاعلي لحلقة أبولو يعمل على جافا
دانا ماكنزي. علوم الحاسوب: سلة، وسلة، وسلة أبولونية . مجلة ساينتست الأمريكية، يناير/فبراير 2010.
"رسم رملي: أكبر عمل فني فردي في العالم" ، صحيفة التلغراف ، 16 ديسمبر 2009. قصة صحفية عن عمل فني على شكل حشية أبولو جزئية، يبلغ محيطها الخارجي تسعة أميال.
حشوات أبولونية ديناميكية ، تارتابلاجو من تأليف جورجيو بيتروكولا، 2014. (باللغة الإيطالية)

[1] ساتيجا، الثاني، الفراشة في عالم إغليسياس واسيس: قصة أكثر الفراكتلات الكمومية إثارة للاهتمام ( بريستول : دار نشر IOP ، 2016)، ص 5 .

[2] بويد، ديفيد و. (1973)، "بعد المجموعة المتبقية للتعبئة الأبولونية"، ماتيماتيكا ، 20 (2): 170-174 ، doi : 10.1112/S0025579300004745 ، MR 0493763

[3] ماكمولين، كورتيس ت. (1998)، "بعد هاوسدورف وديناميكيات المطابقة، الجزء الثالث: حساب البعد" (ملف PDF) ، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 120 (4): 691-721 ، doi : 10.1353/ajm.1998.0031 ، MR 1637951 ، S2CID 15928775

[4] Caroline L. Wormell، Polina L. Vytnova (2025)، “بعد Hausdorff للحشية الأبولونية” ، Inventiones Mathematicae ، 239 (3): 909–946 ، أرخايف : 2406.04922 ، بيب كود : 2025InMat.239..909V ، دوى : 10.1007/s00222-024-01311-ذ

[5] دوائر العد ونظرية إرجوديك للمجموعات الكلاينية، بقلم هي أوه براون. جامعة، ديسمبر 2009

[FOOTNOTESoddy1937-6] سودي 1937 .

[FOOTNOTEGraham_et_al._2003-7] 1 2 3 غراهام وآخرون 2003 .

[8] برادفورد، ألدن، إعادة النظر في حشوات أبولو ، تم الاطلاع عليه في 7 أغسطس 2022

[FOOTNOTEFuchsSanden2011-9] فوكس وساندن 2011 .

[FOOTNOTEBourgainKontorovich2014-10] بورغين وكونتوروفيتش 2014 .

[FOOTNOTEHaag_et_al._2024-11] هاج وآخرون 2024 .

[12] ليفي، ماكس ج. (10 أغسطس 2023)، طالبان يكشفان زيف تخمين رياضي شائع ، مجلة كوانتا ، تم الاطلاع عليه في 14 أغسطس 2023

[13] فوكس، إيلينا (2026)، "التعبئة الأبولونية: صعود وسقوط التخمين من المحلي إلى العالمي"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 63 (1): 59-77 ، doi : 10.1090/bull/1874 ، MR 5009057

[14] لايبنتز إلى ديس بوس، هانوفر 11-17 مارس 1706، ترجمة الدكتور أوزفالدو أوتافياني https://humanities.technion.ac.il/en/leibniz-to-des-bosses-hannover-11-17-march-1706/

[FOOTNOTEKasnerSupnick1943-15] كاسنر وسوبنيك 1943 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗