نقاط دائرية عند اللانهاية

في الهندسة الإسقاطية ، تعتبر النقاط الدائرية عند اللانهاية (وتسمى أيضًا النقاط الدورية أو النقاط المتساوية الخواص ) نقطتين خاصتين عند اللانهاية في المستوى الإسقاطي المركب واللتان تقعان ضمن تعقيد كل دائرة حقيقية .

يمكن وصف نقطة في المستوى الإسقاطي المركب بدلالة الإحداثيات المتجانسة ، وهي ثلاثية من الأعداد المركبة ( س  : ص  : ع ) ، حيث تصف ثلاثيتان نفس النقطة في المستوى عندما تتساوى إحداثيات إحداهما مع إحداثيات الأخرى بعد ضربها بمعامل ثابت غير صفري. في هذا النظام، يمكن اختيار النقاط عند اللانهاية على أنها تلك التي يكون إحداثيها ع يساوي صفرًا. النقطتان الدائريتان عند اللانهاية هما اثنتان من هذه النقاط، وعادةً ما تُعتبران النقطتين ذواتي الإحداثيات المتجانسة.

(1  : i  : 0) و (1  : − i  : 0) .

_يمكن وصف الدائرة الحقيقية، المعرفة بنقطة مركزها ( x0 _, y0 ) ونصف قطرها r (وجميعها أعداد حقيقية ) ، بأنها مجموعة الحلول الحقيقية للمعادلة

${\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.}$

بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة متجانسة ، وأخذ مجموعة جميع الحلول ذات الأعداد المركبة، نحصل على تمثيل الدائرة بالعقد. سُميت النقطتان الدائريتان بهذا الاسم لأنهما تقعان على تمثيل كل دائرة حقيقية بالعقد. وبشكل أعم، تحقق كلتا النقطتين المعادلات المتجانسة من النوع

${\displaystyle Ax^{2}+Ay^{2}+2B_{1}xz+2B_{2}yz-Cz^{2}=0.}$

في حالة كون جميع المعاملات أعدادًا حقيقية، نحصل على معادلة دائرة عامة (في المستوى الإسقاطي الحقيقي ). وبشكل عام، يُطلق على المنحنى الجبري الذي يمر بهاتين النقطتين اسم المنحنى الدائري .

النقاط الدائرية عند اللانهاية هي النقاط عند اللانهاية للخطوط المتناحية . ^{[ 2 ]} وهي ثابتة تحت عمليات الإزاحة والدوران للمستوى.

يمكن تعريف مفهوم الزاوية باستخدام النقاط الدائرية واللوغاريتم الطبيعي والنسبة التبادلية : ^{[ 3 ]}

الزاوية بين خطين هي لوغاريتم النسبة التبادلية للحزمة المكونة من الخطين والخطوط الواصلة بين تقاطعهما والنقاط الدائرية، مقسومة على 2i.

يقوم سومرفيل بتكوين خطين على نقطة الأصل كما يلي:${\displaystyle u:y=x\tan \theta ,\quad u':y=x\tan \theta '.}$وباعتبار النقاط الدائرية ω و ω ′، فإنه يحصل على النسبة التبادلية

${\displaystyle (uu',\omega \omega ')={\frac {\tan \theta -i}{\tan \theta +i}}\div {\frac {\tan \theta '-i}{\tan \theta '+i}},}$لهذا السبب.

${\displaystyle \phi =\theta '-\theta ={\tfrac {i}{2}}\log(uu',\omega \omega ').}$

التحول${\displaystyle x'=x,\quad y'=iy,\quad z'=z}$يُطلق عليه فيليكس كلاين اسم التحويل التخيلي . ويشير إلى أن المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=0}$يصبح${\displaystyle x'^{2}-y'^{2}=0}$في ظل التحول الذي

يُحوّل هذا التحويل النقاط الدائرية الوهمية x  : y = ± i, z = 0 إلى نقاط حقيقية لا نهائية البعد x '  : y ' = ± 1, z = 0، وهي النقاط الواقعة في اللانهاية في الاتجاهين اللذين يصنعان زاوية 45° مع ​​المحاور. وبذلك، تتحول جميع الدوائر إلى قطوع مخروطية تمر بهاتين النقطتين الحقيقيتين اللانهائيتين البعد، أي إلى قطوع زائدة متساوية الأضلاع تصنع خطوطها المقاربة زاوية 45° مع ​​المحاور. ^{[ 4 ]}

• بيير صموئيل (1988) الهندسة الإسقاطية ، سبرينغر، القسم 1.6؛
• Semple and Kneebone (1952) Algebrabive projective geometry , Oxford, section II-8.