مجموعة Copen

في علم الطوبولوجيا ، تُعرف المجموعة المفتوحة المغلقة (وهي مصطلح مُركّب من " مجموعة مفتوحة ومغلقة ") في الفضاء الطوبولوجي بأنها مجموعة مفتوحة ومغلقة في آنٍ واحد . قد يبدو هذا الأمر مُخالفًا للمنطق، إذ أن المعنى الشائع لكلمتي " مفتوح" و "مغلق" مُتضادان، إلا أن تعريفاتهما الرياضية ليست مُتناقضة . تُعتبر المجموعة مُغلقة إذا كانت مُتمّمتها مفتوحة، مما يُتيح إمكانية وجود مجموعة مفتوحة تكون مُتمّمتها مفتوحة أيضًا، فتصبح كلتا المجموعتين مفتوحة ومغلقة في الوقت نفسه ، وبالتالي تُصنّفان ضمن فئة المجموعات المفتوحة المغلقة. وكما وصفها عالم الطوبولوجيا جيمس مونكرز ، على عكس الباب ، "يمكن أن تكون المجموعة مفتوحة، أو مُغلقة، أو كليهما، أو لا هذا ولا ذاك!" ^{[ 1 ]} مُؤكدًا أن معنى "مفتوح"/"مغلق" بالنسبة للأبواب لا يرتبط بمعناها بالنسبة للمجموعات (وبالتالي فإن ثنائية الباب المفتوح/المغلق لا تنطبق على المجموعات المفتوحة/المغلقة). هذا التباين مع الأبواب هو ما أعطى فئة الفضاءات الطوبولوجية المعروفة باسم " فضاءات الأبواب " اسمها.

في الفضاء الأنيبيولوجي${\displaystyle X,}$المجموعة الفارغة والفضاء بأكمله${\displaystyle X}$كلاهما مفتوح. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

والآن فكر في المساحة${\displaystyle X}$والتي تتكون من اتحاد الفترتين المفتوحتين${\displaystyle (0,1)}$و${\displaystyle (2,3)}$ل${\displaystyle \mathbb {R} .}$الطوبولوجيا على​${\displaystyle X}$تُورَث هذه الطوبولوجيا كفضاء فرعي من الطوبولوجيا العادية على خط الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} .}$في${\displaystyle X,}$المجموعة${\displaystyle (0,1)}$هي مفتوحة، وكذلك المجموعة${\displaystyle (2,3).}$هذا مثال نموذجي تمامًا: عندما تتكون مساحة ما من عدد محدود من المكونات المتصلة المنفصلة بهذه الطريقة، فإن المكونات ستكون مفتوحة ومغلقة.

والآن لنبدأ${\displaystyle X}$لتكن مجموعة غير منتهية تحت المقياس المنفصل - أي نقطتين ${\displaystyle p,q\in X}$تكون المسافة بين نقطتين تساوي 1 إذا لم تكونا نفس النقطة، و0 فيما عدا ذلك. في الفضاء المتري الناتج ، تكون أي مجموعة أحادية مفتوحة؛ وبالتالي، فإن أي مجموعة، كونها اتحاد نقاط مفردة، تكون مفتوحة. وبما أن أي مجموعة مفتوحة، فإن متممة أي مجموعة مفتوحة أيضًا، ولذلك فإن أي مجموعة مغلقة. إذن، جميع المجموعات في هذا الفضاء المتري هي مجموعات مغلقة مفتوحة.

كمثال أقل بساطة، انظر إلى الفضاء${\displaystyle \mathbb {Q} }$جميع الأعداد النسبية مع بنيتها الطوبولوجية العادية، والمجموعة${\displaystyle A}$من بين جميع الأعداد النسبية الموجبة التي مربعها أكبر من 2. باستخدام حقيقة أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ليس في${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$يمكن للمرء أن يثبت بسهولة تامة أن${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية مفتوحة ومغلقة من${\displaystyle \mathbb {Q} .}$(${\displaystyle A}$ليست مجموعة فرعية مفتوحة ومغلقة من خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$فهي ليست مفتوحة ولا مغلقة في${\displaystyle \mathbb {R} .}$)

• فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون المجموعة متصلة إذا وفقط إذا كانت المجموعات المفتوحة المغلقة الوحيدة هي المجموعة الفارغة و${\displaystyle X}$نفسها.
• تكون المجموعة مفتوحة ومغلقة إذا وفقط إذا كانت حدودها فارغة. ^{[ 4 ]}
• أي مجموعة فرعية مفتوحة ومغلقة من فضاء${\displaystyle X}$هو اتحاد لمكونات متصلة (ربما عدد لا نهائي منها) من${\displaystyle X}$.
• إذا كانت جميع المكونات المتصلة بـ${\displaystyle X}$مفتوحة (على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$يحتوي على عدد محدود من المكونات فقط، أو إذا${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة متصلة محليًا ، فإن المجموعة تكون مفتوحة في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا كان اتحادًا لمكونات متصلة.
• فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$تكون منفصلة إذا وفقط إذا كانت جميع مجموعاتها الفرعية مفتوحة ومغلقة.
• باستخدام الاتحاد والتقاطع كعمليات ، فإن المجموعات الفرعية المفتوحة والمغلقة لفضاء طوبولوجي معين${\displaystyle X}$تشكيل جبر بولياني . يمكن الحصول على كل جبر بولياني بهذه الطريقة من فضاء طوبولوجي مناسب: انظر نظرية تمثيل ستون للجبر البولياني .

• قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها – معادلات لتراكيب المجموعات 

• مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا (  الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي : برنتيس هول، إنك . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 . ( متاح للزبائن ذوي الإعاقات البصرية )
• موريس، سيدني أ. "الطوبولوجيا بدون دموع" . مؤرشف من الأصل في 19 أبريل 2013.