قائمة هويات المجموعات وعلاقاتها

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1055 صور
الموسوعة الحرة

تُفصّل هذه المقالة الخصائص والقوانين الرياضية للمجموعات ، بما في ذلك عمليات نظرية المجموعات كالاتحاد والتقاطع والتتميم ، وعلاقات تساوي المجموعات واحتواء المجموعات . كما تُقدّم إجراءات منهجية لتقييم التعبيرات وإجراء العمليات الحسابية التي تتضمن هذه العمليات والعلاقات.

العمليات الثنائية لاتحاد المجموعات (∪{\displaystyle \cup }) والتقاطع (∩{\displaystyle \cap }) تُلبي العديد من الهويات. العديد من هذه الهويات أو "القوانين" لها أسماء راسخة.

الترميز

في جميع أنحاء هذه المقالة، تُستخدم الأحرف الكبيرة (مثلأ،ب،ج،ل،م،R،S،{\displaystyle A,B,C,L,M,R,S,}وX{\displaystyle X}) ستشير إلى المجموعات. على الجانب الأيسر من عنصر الهوية،

  • ل{\displaystyle L}سيكونل{\displaystyle L}تم ضبط معظم الإعدادات على اليسار،
  • م{\displaystyle M}سيكونم{\displaystyle M}مجموعة الوسط، و
  • R{\displaystyle R}سيكونR{\displaystyle R}معظم المجموعات الخفيفة.

يهدف هذا إلى تسهيل تطبيق المتطابقات على التعبيرات المعقدة أو التي تستخدم نفس الرموز المستخدمة في المتطابقة. [ ملاحظة 1 ] على سبيل المثال، المتطابقة (ل∖م)∖R = (ل∖R)∖(م∖R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~=~(L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)} يمكن قراءتها على النحو التالي: (مجموعة اليسار∖مجموعة متوسطة)∖مجموعة يمين = (مجموعة اليسار∖مجموعة يمين)∖(مجموعة متوسطة∖مجموعة يمين).{\displaystyle ({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Middle set}})\,\setminus \,{\text{Right set}}~=~({\text{Left set}}\,\setminus \,{\text{Right set}})\,\setminus \,({\text{Middle set}}\,\setminus \,{\text{Right set}}).}

عمليات المجموعة الأولية

للمجموعاتل{\displaystyle L}وR،{\displaystyle R,}يُعرِّف: ل∪R =تعريف { x : x∈ل أو x∈R }ل∩R =تعريف { x : x∈ل و x∈R }ل∖R =تعريف { x : x∈ل و x∉R }{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cup R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ or }}\;\,&&\;x\in R~\}\\L\cap R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\in R~\}\\L\setminus R&&~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x\in L\;&&{\text{ and }}&&\;x\notin R~\}\\\end{alignedat}}} و ل△R =تعريف { x : x ينتمي إلى واحد فقط من ل و R }{\displaystyle L\triangle R~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~x~:~x{\text{ belongs to exactly one of }}L{\text{ and }}R~\}} حيث الفرق المتناظرل△R{\displaystyle L\triangle R}يُشار إليه أحيانًا بـل⊖R{\displaystyle L\ominus R}ويساوي: [ 1 ] [ 2 ]ل△R = (ل ∖ R) ∪ (R ∖ ل) = (ل ∪ R) ∖ (ل ∩ R).{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\;\triangle \;R~&=~(L~\setminus ~&&R)~\cup ~&&(R~\setminus ~&&L)\\~&=~(L~\cup ~&&R)~\setminus ~&&(L~\cap ~&&R).\end{alignedat}}}

مجموعة واحدةل{\displaystyle L}يقال إنها تتقاطع مع مجموعة أخرىR{\displaystyle R}لول∩R≠∅.{\displaystyle L\cap R\neq \varnothing .}يقال إن المجموعات التي لا تتقاطع منفصلة .

مجموعة القوى لـX{\displaystyle X}هي مجموعة جميع المجموعات الجزئية منX{\displaystyle X}وسيُشار إليه بـ P(X) =تعريف { ل : ل⊆X }.{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{~L~:~L\subseteq X~\}.}

مجموعة الكون ورمز المكمل

الترميز ل∁ =تعريف X∖ل.{\displaystyle L^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus L.} يمكن استخدامها إذال{\displaystyle L}هي مجموعة جزئية من مجموعة ماX{\displaystyle X}هذا مفهوم (على سبيل المثال من السياق، أو لأنه مذكور بوضوح ما هي المجموعة الشاملة)X{\displaystyle X}(هو). ويتم التأكيد على أن تعريفل∁{\displaystyle L^{\complement }}يعتمد ذلك على السياق. على سبيل المثال، كان لديهل{\displaystyle L}تم الإعلان عنها كمجموعة فرعية منY،{\displaystyle Y,}مع المجموعاتY{\displaystyle Y}وX{\displaystyle X}ليس بالضرورة أن تكون مرتبطة ببعضها البعض بأي شكل من الأشكال، إذنل∁{\displaystyle L^{\complement }}من المرجح أن يعنيY∖ل{\displaystyle Y\setminus L}بدلاً منX∖ل.{\displaystyle X\setminus L.}

إذا لزم الأمر، فما لم يُذكر خلاف ذلك، ينبغي افتراض أنX{\displaystyle X}يشير الرمز إلى مجموعة الكون ، مما يعني أن جميع المجموعات المستخدمة في الصيغة هي مجموعات جزئية منX.{\displaystyle X.} وعلى وجه الخصوص، مكمل المجموعةل{\displaystyle L}سيتم الإشارة إليه بواسطةل∁{\displaystyle L^{\complement }}حيثما لا يُذكر خلاف ذلك، ينبغي افتراض أنل∁{\displaystyle L^{\complement }}يشير إلى مكمل لـل{\displaystyle L}في (الكون)X.{\displaystyle X.}

تضمنت إحدى المجموعات الفرعية

يفترضل⊆X.{\displaystyle L\subseteq X.}

الهوية : [ 3 ]

تعريف :هـ{\displaystyle e}يُطلق عليه اسم عنصر الوحدة الأيسر للمُعامل الثنائي*{\displaystyle \,\ast \,}لوهـ*R=R{\displaystyle e\,\ast \,R=R}للجميعR{\displaystyle R}ويُطلق عليه عنصر الهوية الصحيح لـ*{\displaystyle \,\ast \,}لول*هـ=ل{\displaystyle L\,\ast \,e=L}للجميعل.{\displaystyle L.}عنصر محايد أيسر يكون أيضًا عنصر محايد أيمن إذا أطلق عليه اسم عنصر محايد .

المجموعة الفارغة∅{\displaystyle \varnothing }هو عنصر الهوية في الاتحاد الثنائي∪{\displaystyle \cup }والفرق المتناظر△،{\displaystyle \triangle ,}وهو أيضاً عنصر محايد أيمن في عملية طرح المجموعات.∖:{\displaystyle \,\setminus :}

ل∩X=ل=X∩ل     أين ل⊆Xل∪∅=ل=∅∪لل△∅=ل=∅△لل∖∅=ل{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cap X&\;=\;&&L&\;=\;&X\cap L~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\cup \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \cup L\\[1.4ex]L\,\triangle \varnothing &\;=\;&&L&\;=\;&\varnothing \,\triangle L\\[1.4ex]L\setminus \varnothing &\;=\;&&L\\[1.4ex]\end{alignedat}}} لكن∅{\displaystyle \varnothing }ليس عنصر هوية يساري لـ∖{\displaystyle \,\setminus \,}منذ ∅∖ل=∅{\displaystyle \varnothing \setminus L=\varnothing } لذا∅∖ل=ل{\textstyle \varnothing \setminus L=L}إذا وفقط إذال=∅.{\displaystyle L=\varnothing .}

التكرار [ 3 ]ل*ل=ل{\displaystyle L\ast L=L}والعدمية​ل*ل=∅{\displaystyle L\ast L=\varnothing }:

ل∪ل=ل (التكرار)ل∩ل=ل (التكرار)ل△ل=∅ (عدم القدرة على المؤشر 2)ل∖ل=∅ (عدم القدرة على المؤشر 2){\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\cap L&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Idempotence)}}\\[1.4ex]L\,\triangle \,L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]L\setminus L&\;=\;&&\varnothing &&\quad {\text{ (Nilpotence of index 2)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

الهيمنة [ 3 ] / عنصر الامتصاص :

تعريف :z{\displaystyle z}يُطلق عليه اسم عنصر امتصاص يساري لمؤثر ثنائي*{\displaystyle \,\ast \,}لوz*R=z{\displaystyle z\,\ast \,R=z}للجميعR{\displaystyle R}ويُطلق عليه اسم عنصر امتصاص أيمن*{\displaystyle \,\ast \,}لول*z=z{\displaystyle L\,\ast \,z=z}للجميعل.{\displaystyle L.}يُطلق على العنصر الذي يمتص من اليسار ويمتص من اليمين في الوقت نفسه اسم العنصر الممتص . وتُسمى العناصر الممتصة أحيانًا بالعناصر المُفنية أو العناصر الصفرية .

مجموعة الكون هي عنصر امتصاصي للاتحاد الثنائي∪.{\displaystyle \cup .}المجموعة الفارغة∅{\displaystyle \varnothing }هو عنصر امتصاص للتقاطع الثنائي∩{\displaystyle \cap }والضرب الديكارتي الثنائي×،{\displaystyle \times ,}وهو أيضاً عنصر امتصاص يساري في عملية طرح المجموعات.∖:{\displaystyle \,\setminus :}

X∪ل=X=ل∪X     أين ل⊆X∅∩ل=∅=ل∩∅∅×ل=∅=ل×∅∅∖ل=∅{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\cup L&\;=\;&&X&\;=\;&L\cup X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]\varnothing \cap L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\cap \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \times L&\;=\;&&\varnothing &\;=\;&L\times \varnothing \\[1.4ex]\varnothing \setminus L&\;=\;&&\varnothing &\;\;&\\[1.4ex]\end{alignedat}}} لكن∅{\displaystyle \varnothing }ليس عنصرًا ماصًا لليمين في طرح المجموعات لأن ل∖∅=ل{\displaystyle L\setminus \varnothing =L} أينل∖∅=∅{\textstyle L\setminus \varnothing =\varnothing }إذا وفقط إذال=∅.{\textstyle L=\varnothing .}

قانون المكمل المزدوج أو قانون الانقلاب :

X∖(X∖ل)=ل كتب أيضًا (ل∁)∁=ل أين ل⊆X (قانون المكمل المزدوج/قانون الانقلاب){\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (X\setminus L)&=L&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\left(L^{\complement }\right)^{\complement }=L&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\quad {\text{ (Double complement/Involution law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

ل∖∅=ل{\displaystyle L\setminus \varnothing =L}∅=ل∖ل=∅∖ل=ل∖X     أين ل⊆X{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\varnothing &=L&&\setminus L\\&=\varnothing &&\setminus L\\&=L&&\setminus X~~~~{\text{ where }}L\subseteq X\\\end{alignedat}}}[ 3 ]

ل∁=X∖ل (تعريف الترميز){\displaystyle L^{\complement }=X\setminus L\quad {\text{ (definition of notation)}}}

ل∪(X∖ل)=X كتب أيضًا ل∪ل∁=X أين ل⊆Xل△(X∖ل)=X كتب أيضًا ل△ل∁=X أين ل⊆Xل∩(X∖ل)=∅ كتب أيضًا ل∩ل∁=∅{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\,\cup (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cup L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\triangle (X\setminus L)&=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\,\triangle L^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ where }}L\subseteq X\\[1.4ex]L\,\cap (X\setminus L)&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\cap L^{\complement }=\varnothing &&\quad &&\\[1.4ex]\end{alignedat}}}[ 3 ]

X∖∅=X كتب أيضًا ∅∁=X (قوانين المكملات للمجموعة الفارغة))X∖X=∅ كتب أيضًا X∁=∅ (قوانين مكملة لمجموعة الكون){\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus \varnothing &=X&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&\varnothing ^{\complement }=X&&\quad &&{\text{ (Complement laws for the empty set))}}\\[1.4ex]X\setminus X&=\varnothing &&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&X^{\complement }=\varnothing &&\quad &&{\text{ (Complement laws for the universe set)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

مجموعتان مشاركتان

في الجانب الأيسر من المتطابقات التالية،ل{\displaystyle L}هي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار وR{\displaystyle R}هي المجموعة الموجودة في أقصى اليمين . افترض كليهمال و R{\displaystyle L{\text{ and }}R}هي مجموعات فرعية من مجموعة كونية ماX.{\displaystyle X.}

صيغ عمليات المجموعات الثنائية ⋂، ⋃، \ ، و∆

في الطرف الأيسر من المتطابقات التالية، L هي المجموعة الموجودة في أقصى اليسار و R هي المجموعة الموجودة في أقصى اليمين . عند الضرورة، يجب افتراض أن كلاً من L و R مجموعتان جزئيتان من مجموعة شاملة X ، بحيثل∁:=X∖ل و R∁:=X∖R.{\displaystyle L^{\complement }:=X\setminus L{\text{ and }}R^{\complement }:=X\setminus R.}

ل∩R=ل∖(ل∖R)=R∖(R∖ل)=ل∖(ل△R)=ل△(ل∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\cap R&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\&=R&&\,\,\setminus \,&&(R&&\,\,\setminus &&L)\\&=L&&\,\,\setminus \,&&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\setminus &&R)\\\end{alignedat}}}

ل∪R=(ل△R)∪ل=(ل△R)△(ل∩R)=(R∖ل)∪ل      (الاتحاد منفصل){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\cup R&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\,\cup &&&&L&&&&\\&=(&&L\,\triangle \,R)&&\,\triangle \,&&(&&L&&\cap \,&&R)\\&=(&&R\,\setminus \,L)&&\,\,\cup &&&&L&&&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\\end{alignedat}}}

ل△R=R△ل=(ل∪R)∖(ل∩R)=(ل∖R)∪(R∖ل)      (الاتحاد منفصل)=(ل△م)△(م△R)      أين م هي مجموعة عشوائية. =(ل∁)△(R∁){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\,\triangle \,R&=&&R\,\triangle \,L&&&&&&&&\\&=(&&L\,\cup \,R)&&\,\setminus \,&&(&&L\,\,\cap \,R)&&\\&=(&&L\,\setminus \,R)&&\cup \,&&(&&R\,\,\setminus \,L)&&~~~~~{\text{ (union is disjoint)}}\\&=(&&L\,\triangle \,M)&&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&~~~~~{\text{ where }}M{\text{ is an arbitrary set. }}\\&=(&&L^{\complement })&&\,\triangle \,&&(&&R^{\complement })&&\\\end{alignedat}}}

ل∖R=ل∖(ل∩R)=ل∩(ل△R)=ل△(ل∩R)=R△(ل∪R){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}L\setminus R&=&&L&&\,\,\setminus &&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&L&&\,\,\cap &&(L&&\,\triangle \,&&R)\\&=&&L&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cap &&R)\\&=&&R&&\,\triangle \,&&(L&&\,\,\cup &&R)\\\end{alignedat}}}

قوانين دي مورغان

قوانين دي مورغان هي الهويات:

X∖(ل∩R)=(X∖ل)∪(X∖R) (قانون دي مورغان)X∖(ل∪R)=(X∖ل)∩(X∖R) (قانون دي مورغان){\displaystyle {\begin{alignedat}{10}X\setminus (L\cap R)&=(X\setminus L)\cup (X\setminus R)&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]X\setminus (L\cup R)&=(X\setminus L)\cap (X\setminus R)&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

حيث عادةل،R⊆X{\displaystyle L,R\subseteq X}(على الرغم من هذا الافتراض)ل،R⊆X{\displaystyle L,R\subseteq X}غير ضروري، لأن المتطابقات تنطبق على المجموعات العشوائيةل،R،X{\displaystyle L,R,X}وفي هذه الحالة يمكن إعادة كتابتها.

(ل∩R)∁=ل∁∪R∁ (قانون دي مورغان)(ل∪R)∁=ل∁∩R∁ (قانون دي مورغان){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\cap R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex](L\cup R)^{\complement }=L^{\complement }\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ (De Morgan's law)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

من المهم ملاحظة أنه عند التقاطع∩{\displaystyle \cap }إذا كان هناك جانب واحد، فهناك اتحاد∪{\displaystyle \cup }من جهة أخرى. هل كان هناك تقاطع؟∩{\displaystyle \cap }على كلا الجانبين، ستكون الصيغة بدلاً من ذلك هي صيغة التوزيع الأيسر لطرح المجموعة على التقاطعات، وهو أمر لا ينطبق بشكل عام .

التبادلية

الاتحادات والتقاطع والفرق المتناظر هي عمليات تبديلية : [ 3 ]

ل∪R=R∪ل (خاصية التبديل)ل∩R=R∩ل (خاصية التبديل)ل△R=R△ل (خاصية التبديل){\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\cup R&\;=\;&&R\cup L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\cap R&\;=\;&&R\cap L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]L\,\triangle R&\;=\;&&R\,\triangle L&&\quad {\text{ (Commutativity)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

عملية طرح المجموعات ليست تبديلية. ومع ذلك، يمكن تحديد خاصية التبديلية لعملية طرح المجموعات من خلال:(ل∖R)∩(R∖ل)=∅{\displaystyle (L\,\setminus \,R)\cap (R\,\setminus \,L)=\varnothing }ويترتب على ذلك ما يلي: ل∖R=R∖ل إذا وفقط إذا ل=R.{\displaystyle L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L\quad {\text{ if and only if }}\quad L=R.} بمعنى آخر، إذا كانت الرموز المتميزة تمثل دائمًا مجموعات متميزة، فإن الصيغ الصحيحة الوحيدة هي تلك التي على شكل⋅∖⋅=⋅∖⋅{\displaystyle \,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,=\,\cdot \,\,\setminus \,\,\cdot \,}أما تلك التي يمكن كتابتها فهي تلك التي تتضمن رمزًا واحدًا؛ أي تلك التي تأخذ الشكل التالي:S∖S=S∖S.{\displaystyle S\,\setminus \,S=S\,\setminus \,S.} لكن هذه الصيغ صحيحة بالضرورة لكل عملية ثنائية*{\displaystyle \,\ast \,}(لأنx*x=x*x{\displaystyle x\,\ast \,x=x\,\ast \,x}يجب أن يتحقق ذلك بحكم تعريف المساواة )، وبالتالي، بهذا المعنى، فإن طرح المجموعات هو عكس التبادلية تمامًا كما هو ممكن بالنسبة لعملية ثنائية. كما أن طرح المجموعات ليس بديلاً من اليسار ولا بديلاً من اليمين ؛ بدلاً من ذلك،(ل∖ل)∖R=ل∖(ل∖R){\displaystyle (L\setminus L)\setminus R=L\setminus (L\setminus R)}إذا وفقط إذال∩R=∅{\displaystyle L\cap R=\varnothing }إذا وفقط إذا(R∖ل)∖ل=R∖(ل∖ل).{\displaystyle (R\setminus L)\setminus L=R\setminus (L\setminus L).} عملية طرح المجموعات شبه تبادلية وتفي بهوية جوردان .

هويات أخرى تتضمن مجموعتين

قوانين الامتصاص :

ل∪(ل∩R)=ل (امتصاص)ل∩(ل∪R)=ل (امتصاص){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cup (L\cap R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]L\cap (L\cup R)&\;=\;&&L&&\quad {\text{ (Absorption)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

خصائص أخرى

ل∖R=ل∩(X∖R) كتب أيضًا ل∖R=ل∩R∁ أين ل،R⊆XX∖(ل∖R)=(X∖ل)∪R كتب أيضًا (ل∖R)∁=ل∁∪R أين R⊆Xل∖R=(X∖R)∖(X∖ل) كتب أيضًا ل∖R=R∁∖ل∁ أين ل،R⊆X{\displaystyle {\begin{alignedat}{10}L\setminus R&=L\cap (X\setminus R)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=L\cap R^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]X\setminus (L\setminus R)&=(X\setminus L)\cup R&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&(L\setminus R)^{\complement }=L^{\complement }\cup R&&\quad &&{\text{ where }}R\subseteq X\\[1.4ex]L\setminus R&=(X\setminus R)\setminus (X\setminus L)&&\qquad {\text{ Also written }}\quad &&L\setminus R=R^{\complement }\setminus L^{\complement }&&\quad &&{\text{ where }}L,R\subseteq X\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

الفترات الزمنية :

(أ،ب)∩(ج،د)=(الأعلى{أ،ج}،مين{ب،د}){\displaystyle (a,b)\cap (c,d)=(\max\{a,c\},\min\{b,d\})}[أ،ب)∩[ج،د)=[الأعلى{أ،ج}،مين{ب،د}){\displaystyle [a,b)\cap [c,d)=[\max\{a,c\},\min\{b,d\})}

المجموعات الجزئية ⊆ والمجموعات الشاملة ⊇

العبارات التالية متكافئة لأيل،R⊆X:{\displaystyle L,R\subseteq X:}[ 3 ]

  1. ل⊆R{\displaystyle L\subseteq R}
  3. ل∩R=ل{\displaystyle L\cap R=L}
  4. ل∪R=R{\displaystyle L\cup R=R}
  5. ل△R=R∖ل{\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L}
  6. ل△R⊆R∖ل{\displaystyle L\,\triangle \,R\subseteq R\setminus L}
  7. ل∖R=∅{\displaystyle L\setminus R=\varnothing }
  8. ل{\displaystyle L}وX∖R{\displaystyle X\setminus R}منفصلة (أي،ل∩(X∖R)=∅{\displaystyle L\cap (X\setminus R)=\varnothing })
  9. X∖R⊆X∖ل{\displaystyle X\setminus R\subseteq X\setminus L\qquad }(إنه،R∁⊆ل∁{\displaystyle R^{\complement }\subseteq L^{\complement }})

العبارات التالية متكافئة لأيل،R⊆X:{\displaystyle L,R\subseteq X:}

  1. ل⊈R{\displaystyle L\not \subseteq R}
  2. يوجد بعضل∈ل∖R.{\displaystyle l\in L\setminus R.}

تحديد المساواة

العبارات التالية متكافئة:

  1. ل=R{\displaystyle L=R}
  2. ل△R=∅{\displaystyle L\,\triangle \,R=\varnothing }
  3. ل∖R=R∖ل{\displaystyle L\,\setminus \,R=R\,\setminus \,L}
  • لول∩R=∅{\displaystyle L\cap R=\varnothing }ثمل=R{\displaystyle L=R}إذا وفقط إذال=∅=R.{\displaystyle L=\varnothing =R.}
  • تفرد المكملات : إذال∪R=X و ل∩R=∅{\textstyle L\cup R=X{\text{ and }}L\cap R=\varnothing }ثمR=X∖ل{\displaystyle R=X\setminus L}
مجموعة فارغة

مجموعةل{\displaystyle L}تكون الجملة فارغة∀x(x∉ل){\displaystyle \forall x(x\not \in L)}صحيح، حيث أن الترميزx∉ل{\displaystyle x\not \in L}هو اختصار لـ¬(x∈ل).{\displaystyle \lnot (x\in L).}

لول{\displaystyle L}إذا كانت أي مجموعة هي مجموعة، فإن ما يلي متكافئ:

  1. ل{\displaystyle L}ليست فارغة، مما يعني أن الجملة¬[∀x(x∉ل)]{\displaystyle \lnot [\forall x(x\not \in L)]}صحيح (حرفيًا، النفي المنطقي لـ "ل{\displaystyle L}"الفارغ" صحيح).
  2. (في الرياضيات الكلاسيكية )ل{\displaystyle L}مأهولة ، بمعنى:∃x(x∈ل){\displaystyle \exists x(x\in L)}
    • في الرياضيات البنائية ، لا يُعتبر مصطلحا "غير فارغ" و"مأهول" متكافئين: فكل مجموعة مأهولة ليست فارغة، ولكن العكس ليس مضمونًا دائمًا؛ أي، في الرياضيات البنائية، مجموعةل{\displaystyle L}التي ليست فارغة (حيث بحسب التعريف، "ل{\displaystyle L}"فارغ" يعني أن العبارة∀x(x∉ل){\displaystyle \forall x(x\not \in L)}(صحيح) قد لا يكون بها ساكن (وهو أمرx{\displaystyle x}بحيثx∈ل{\displaystyle x\in L}).
  3. ل⊈R{\displaystyle L\not \subseteq R}لبعض المجموعاتR{\displaystyle R}

لول{\displaystyle L}إذا كانت أي مجموعة هي مجموعة، فإن ما يلي متكافئ:

  1. ل{\displaystyle L}فارغ (ل=∅{\displaystyle L=\varnothing })، معنى:∀x(x∉ل){\displaystyle \forall x(x\not \in L)}
  2. ل∪R⊆R{\displaystyle L\cup R\subseteq R}لكل مجموعةR{\displaystyle R}
  3. ل⊆R{\displaystyle L\subseteq R}لكل مجموعةR{\displaystyle R}
  4. ل⊆R∖ل{\displaystyle L\subseteq R\setminus L}لبعض/كل مجموعةR{\displaystyle R}
  5. ∅/ل=ل{\displaystyle \varnothing /L=L}

مع أيx،{\displaystyle x,}ما يلي متكافئ:

  1. x∉ل∖R{\textstyle x\not \in L\setminus R}
  2. x∈ل∩R أو x∉ل.{\textstyle x\in L\cap R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}
  3. x∈R أو x∉ل.{\textstyle x\in R\;{\text{ or }}\;x\not \in L.}

علاوة على ذلك، (ل∖R)∩R=∅ دائماً ما يحتضن.{\displaystyle (L\setminus R)\cap R=\varnothing \qquad {\text{ always holds}}.}

خصائص الالتقاء والوصل والشبكة

الإدماج ترتيب جزئي : وهذا يعني صراحةً أن الإدماج⊆،{\displaystyle \,\subseteq ,\,}وهي عملية ثنائية ، ولها الخصائص الثلاث التالية: [ 3 ]

  • الانعكاسية : ل⊆ل{\textstyle L\subseteq L}
  • التناظر العكسي : (ل⊆R و R⊆ل) إذا وفقط إذا ل=R{\textstyle (L\subseteq R{\text{ and }}R\subseteq L){\text{ if and only if }}L=R}
  • التعدي : لو ل⊆م و م⊆R ثم ل⊆R{\textstyle {\text{If }}L\subseteq M{\text{ and }}M\subseteq R{\text{ then }}L\subseteq R}

تنص القضية التالية على أنه لأي مجموعةS،{\displaystyle S,}مجموعة القوى لـS،{\displaystyle S,}مرتبة حسب الاحتواء، هي شبكة محدودة ، وبالتالي، إلى جانب قوانين التوزيع والمكمل المذكورة أعلاه، تُظهر أنها جبر بولياني .

وجود أصغر عنصر وأكبر عنصر : ∅⊆ل⊆X{\displaystyle \varnothing \subseteq L\subseteq X}

توجد روابط / سيادات : [ 3 ]ل⊆ل∪R{\displaystyle L\subseteq L\cup R}

الاتحادل∪R{\displaystyle L\cup R}هو الوصل/القمة لـل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}بالنسبة إلى⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}لأن:

  1. ل⊆ل∪R{\displaystyle L\subseteq L\cup R}وR⊆ل∪R،{\displaystyle R\subseteq L\cup R,}و
  2. لوZ{\displaystyle Z}هي مجموعة بحيثل⊆Z{\displaystyle L\subseteq Z}وR⊆Z{\displaystyle R\subseteq Z}ثمل∪R⊆Z.{\displaystyle L\cup R\subseteq Z.}

التقاطعل∩R{\displaystyle L\cap R}هو الوصل/القمة لـل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}بالنسبة إلى⊇.{\displaystyle \,\supseteq .\,}

توجد القيم الدنيا / القيم الدنيا : [ 3 ]ل∩R⊆ل{\displaystyle L\cap R\subseteq L}

التقاطعل∩R{\displaystyle L\cap R}هو نقطة التقاء/الحد الأدنى لـل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}بالنسبة إلى⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}لأن:

  1. لول∩R⊆ل{\displaystyle L\cap R\subseteq L}ول∩R⊆R،{\displaystyle L\cap R\subseteq R,}و
  2. لوZ{\displaystyle Z}هي مجموعة بحيثZ⊆ل{\displaystyle Z\subseteq L}وZ⊆R{\displaystyle Z\subseteq R}ثمZ⊆ل∩R.{\displaystyle Z\subseteq L\cap R.}

الاتحادل∪R{\displaystyle L\cup R}هو نقطة التقاء/الحد الأدنى لـل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}بالنسبة إلى⊇.{\displaystyle \,\supseteq .\,}

خصائص التضمين الأخرى :

ل∖R⊆ل{\displaystyle L\setminus R\subseteq L}(ل∖R)∩ل=ل∖R{\displaystyle (L\setminus R)\cap L=L\setminus R}

  • لول⊆R{\displaystyle L\subseteq R}ثمل△R=R∖ل.{\displaystyle L\,\triangle \,R=R\setminus L.}
  • لول⊆X{\displaystyle L\subseteq X}وR⊆Y{\displaystyle R\subseteq Y}ثمل×R⊆X×Y{\displaystyle L\times R\subseteq X\times Y}[ 3 ]

ثلاث مجموعات مشاركة

في الجانب الأيسر من المتطابقات التالية،ل{\displaystyle L}المجموعة الموجودة في أقصى اليسار ،م{\displaystyle M}هي المجموعة الوسطى ، وR{\displaystyle R}هي المجموعة الموجودة في أقصى اليمين .

قواعد الأسبقية

لا يوجد اتفاق عالمي على ترتيب أسبقية عوامل المجموعات الأساسية. ومع ذلك، يستخدم العديد من المؤلفين قواعد أسبقية لعوامل المجموعات، على الرغم من اختلاف هذه القواعد باختلاف المؤلف.

من الاصطلاحات الشائعة ربط التقاطعل∩R={x:(x∈ل)∧(x∈R)}{\displaystyle L\cap R=\{x:(x\in L)\land (x\in R)\}}باستخدام حرف العطف المنطقي (و)ل∧R{\displaystyle L\land R}والنقابة المنتسبةل∪R={x:(x∈ل)∨(x∈R)}{\displaystyle L\cup R=\{x:(x\in L)\lor (x\in R)\}}باستخدام الفصل المنطقي (أو)ل∨R،{\displaystyle L\lor R,}ثم انقل أسبقية هذه العوامل المنطقية (حيث∧{\displaystyle \,\land \,}له الأسبقية على∨{\displaystyle \,\lor \,}) إلى عوامل المجموعة هذه، مما يعطي∩{\displaystyle \,\cap \,}الأسبقية على∪.{\displaystyle \,\cup .\,} فعلى سبيل المثال،ل∪م∩R{\displaystyle L\cup M\cap R}يعنيل∪(م∩R){\displaystyle L\cup (M\cap R)}لأنه سيكون مرتبطًا بالعبارة المنطقيةل∨م∧R = ل∨(م∧R){\displaystyle L\lor M\land R~=~L\lor (M\land R)}وبالمثل،ل∪م∩R∪Z{\displaystyle L\cup M\cap R\cup Z}يعنيل∪(م∩R)∪Z{\displaystyle L\cup (M\cap R)\cup Z}لأنه سيكون مرتبطًا بـل∨م∧R∨Z = ل∨(م∧R)∨Z.{\displaystyle L\lor M\land R\lor Z~=~L\lor (M\land R)\lor Z.}

أحيانًا، يتم استخدام المتمم (الطرح).∖{\displaystyle \,\setminus \,}يرتبط أيضًا بالمكمل المنطقي (ليس)¬،{\displaystyle \,\lnot ,\,}وفي هذه الحالة ستكون لها الأولوية القصوى. وبشكل أكثر تحديداً،ل∖R={x:(x∈ل)∧¬(x∈R)}{\displaystyle L\setminus R=\{x:(x\in L)\land \lnot (x\in R)\}}تمت إعادة كتابتهال∧¬R{\displaystyle L\land \lnot R}على سبيل المثال،ل∪م∖R{\displaystyle L\cup M\setminus R}يعنيل∪(م∖R){\displaystyle L\cup (M\setminus R)}لأنه سيتم إعادة كتابته كعبارة منطقيةل∨م∧¬R{\displaystyle L\lor M\land \lnot R}وهو ما يساويل∨(م∧¬R).{\displaystyle L\lor (M\land \lnot R).} على سبيل المثال، لأنل∧¬م∧R{\displaystyle L\land \lnot M\land R}وسائلل∧(¬م)∧R،{\displaystyle L\land (\lnot M)\land R,}وهو ما يساوي كليهما(ل∧(¬م))∧R{\displaystyle (L\land (\lnot M))\land R}ول∧((¬م)∧R) = ل∧(R∧(¬م)){\displaystyle L\land ((\lnot M)\land R)~=~L\land (R\land (\lnot M))}(أين(¬م)∧R{\displaystyle (\lnot M)\land R}تمت إعادة كتابتها على النحو التاليR∧(¬م){\displaystyle R\land (\lnot M)}الصيغةل∖م∩R{\displaystyle L\setminus M\cap R}يشير إلى المجموعة(ل∖م)∩R=ل∩(R∖م)؛{\displaystyle (L\setminus M)\cap R=L\cap (R\setminus M);} علاوة على ذلك، بما أنل∧(¬م)∧R=(ل∧R)∧¬م،{\displaystyle L\land (\lnot M)\land R=(L\land R)\land \lnot M,}هذه المجموعة تساوي أيضًا(ل∩R)∖م{\displaystyle (L\cap R)\setminus M}(يمكن استنتاج متطابقات المجموعات الأخرى من متطابقات حساب القضايا بهذه الطريقة). ومع ذلك، لأن طرح المجموعات ليس تجميعيًا(ل∖م)∖R≠ل∖(م∖R)،{\displaystyle (L\setminus M)\setminus R\neq L\setminus (M\setminus R),}صيغة مثلل∖م∖R{\displaystyle L\setminus M\setminus R}سيكون الأمر غامضًا؛ لهذا السبب، من بين أسباب أخرى، غالبًا لا يتم إعطاء أي أولوية لعملية طرح المجموعات على الإطلاق.

الفرق المتناظرل△R={x:(x∈ل)⊕(x∈R)}{\displaystyle L\triangle R=\{x:(x\in L)\oplus (x\in R)\}}يرتبط أحيانًا بالاستثناء أو (xor).ل⊕R{\displaystyle L\oplus R}(يُشار إليه أحيانًا بـ⊻{\displaystyle \,\veebar }وفي هذه الحالة، إذا كان ترتيب الأسبقية من الأعلى إلى الأدنى هو¬،⊕،∧،∨{\displaystyle \,\lnot ,\,\oplus ,\,\land ,\,\lor \,} then the order of precedence (from highest to lowest) for the set operators would be ∖,△,∩,∪.{\displaystyle \,\setminus ,\,\triangle ,\,\cap ,\,\cup .} There is no universal agreement on the precedence of exclusive disjunction ⊕{\displaystyle \,\oplus \,} with respect to the other logical connectives, which is why symmetric difference △{\displaystyle \,\triangle \,} is not often assigned a precedence.

Associativity

Definition: A binary operator∗{\displaystyle \,\ast \,} is called associative if (L∗M)∗R=L∗(M∗R){\displaystyle (L\,\ast \,M)\,\ast \,R=L\,\ast \,(M\,\ast \,R)} always holds.

The following set operators are associative:[3]

(L∪M)∪R=L∪(M∪R)(L∩M)∩R=L∩(M∩R)(L△M)△R=L△(M△R){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\cup M)\cup R&\;=\;\;&&L\cup (M\cup R)\\[1.4ex](L\cap M)\cap R&\;=\;\;&&L\cap (M\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle M)\,\triangle R&\;=\;\;&&L\,\triangle (M\,\triangle R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

For set subtraction, instead of associativity, only the following is always guaranteed: (L∖M)∖R  ⊆  L∖(M∖R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)} where equality holds if and only if L∩R=∅{\displaystyle L\cap R=\varnothing } (this condition does not depend on M{\displaystyle M}). Thus (L∖M)∖R=L∖(M∖R){\textstyle \;(L\setminus M)\setminus R=L\setminus (M\setminus R)\;} if and only if (R∖M)∖L=R∖(M∖L),{\displaystyle \;(R\setminus M)\setminus L=R\setminus (M\setminus L),\;} where the only difference between the left and right hand side set equalities is that the locations of L and R{\displaystyle L{\text{ and }}R} have been swapped.

Distributivity

Definition: If ∗ and ∙{\displaystyle \ast {\text{ and }}\bullet } are binary operators then ∗{\displaystyle \,\ast \,}left distributes over∙{\displaystyle \,\bullet \,} if L∗(M∙R) = (L∗M)∙(L∗R) for all L,M,R{\displaystyle L\,\ast \,(M\,\bullet \,R)~=~(L\,\ast \,M)\,\bullet \,(L\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R} while ∗{\displaystyle \,\ast \,}right distributes over∙{\displaystyle \,\bullet \,} if (L∙M)∗R = (L∗R)∙(M∗R) for all L,M,R.{\displaystyle (L\,\bullet \,M)\,\ast \,R~=~(L\,\ast \,R)\,\bullet \,(M\,\ast \,R)\qquad \qquad {\text{ for all }}L,M,R.} The operator ∗{\displaystyle \,\ast \,}distributes over∙{\displaystyle \,\bullet \,} if it both left distributes and right distributes over ∙.{\displaystyle \,\bullet \,.\,} In the definitions above, to transform one side to the other, the innermost operator (the operator inside the parentheses) becomes the outermost operator and the outermost operator becomes the innermost operator.

Right distributivity:[3]

(L∩M)∪R   =  (L∪R)∩(M∪R) (Right-distributivity of ∪ over ∩)(L∪M)∪R   =  (L∪R)∪(M∪R) (Right-distributivity of ∪ over ∪)(L∪M)∩R   =  (L∩R)∪(M∩R) (Right-distributivity of ∩ over ∪)(L∩M)∩R   =  (L∩R)∩(M∩R) (Right-distributivity of ∩ over ∩)(L△M)∩R   =  (L∩R)△(M∩R) (Right-distributivity of ∩ over △)(L∩M)×R   =  (L×R)∩(M×R) (Right-distributivity of × over ∩)(L∪M)×R   =  (L×R)∪(M×R) (Right-distributivity of × over ∪)(L∖M)×R   =  (L×R)∖(M×R) (Right-distributivity of × over ∖)(L△M)×R   =  (L×R)△(M×R) (Right-distributivity of × over △)(L∪M)∖R   =  (L∖R)∪(M∖R) (Right-distributivity of ∖ over ∪)(L∩M)∖R   =  (L∖R)∩(M∖R) (Right-distributivity of ∖ over ∩)(L△M)∖R   =  (L∖R)△(M∖R) (Right-distributivity of ∖ over △)(L∖M)∖R   =  (L∖R)∖(M∖R) (Right-distributivity of ∖ over ∖)   =         L∖(M∪R){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cup \,R~&~~=~~&&(L\,\cup \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cup \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\cap \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cap \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\triangle \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~&~~=~~&&(L\,\setminus \,R)&&\,\setminus \,&&(M\,\setminus \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\setminus \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]~&~~=~~&&~~\;~~\;~~\;~L&&\,\setminus \,&&(M\cup R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

Left distributivity:[3]

L∪(M∩R)=(L∪M)∩(L∪R) (Left-distributivity of ∪ over ∩)L∪(M∪R)=(L∪M)∪(L∪R) (Left-distributivity of ∪ over ∪)L∩(M∪R)=(L∩M)∪(L∩R) (Left-distributivity of ∩ over ∪)L∩(M∩R)=(L∩M)∩(L∩R) (Left-distributivity of ∩ over ∩)L∩(M△R)=(L∩M)△(L∩R) (Left-distributivity of ∩ over △)L×(M∩R)=(L×M)∩(L×R) (Left-distributivity of × over ∩)L×(M∪R)=(L×M)∪(L×R) (Left-distributivity of × over ∪)L×(M∖R)=(L×M)∖(L×R) (Left-distributivity of × over ∖)L×(M△R)=(L×M)△(L×R) (Left-distributivity of × over △){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cap (L\cup R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cup (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cup M)\cup (L\cup R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cup \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\cap (L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\cap (M\,\triangle \,R)&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\cap \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\,\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\,\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

Distributivity and symmetric difference ∆

Intersection distributes over symmetric difference: L∩(M△R)   =  (L∩M)△(L∩R)  {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)~&~~=~~&&(L\,\cap \,M)\,\triangle \,(L\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}(L△M)∩R   =  (L∩R)△(M∩R)  {\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\triangle \,M)\,\cap \,R~&~~=~~&&(L\,\cap \,R)\,\triangle \,(M\,\cap \,R)~&&~\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

Union does not distribute over symmetric difference because only the following is guaranteed in general: L∪(M△R)  ⊇  (L∪M)△(L∪R)  = (M△R)∖L = (M∖L)△(R∖L){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\cup (M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\supseteq }}~~\color {black}{\,}(L\cup M)\,\triangle \,(L\cup R)~&~=~&&(M\,\triangle \,R)\,\setminus \,L&~=~&&(M\,\setminus \,L)\,\triangle \,(R\,\setminus \,L)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

Symmetric difference does not distribute over itself: L△(M△R)  ≠  (L△M)△(L△R) = M△R{\displaystyle L\,\triangle \,(M\,\triangle \,R)~~{\color {red}{\neq }}~~\color {black}{\,}(L\,\triangle \,M)\,\triangle \,(L\,\triangle \,R)~=~M\,\triangle \,R} and in general, for any sets L and A{\displaystyle L{\text{ and }}A} (where A{\displaystyle A} represents M△R{\displaystyle M\,\triangle \,R}), L△A{\displaystyle L\,\triangle \,A} might not be a subset, nor a superset, of L{\displaystyle L} (and the same is true for A{\displaystyle A}).

Distributivity and set subtraction \

Failure of set subtraction to left distribute:

Set subtraction is right distributive over itself. However, set subtraction is not left distributive over itself because only the following is guaranteed in general: L∖(M∖R)  ⊇  (L∖M)∖(L∖R)  =  L∩R∖M{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\setminus \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\cap R\,\setminus \,M\\[1.4ex]\end{alignedat}}} where equality holds if and only if L∖M=L∩R,{\displaystyle L\,\setminus \,M=L\,\cap \,R,} which happens if and only ifL∩M∩R=∅ and L∖M⊆R.{\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\setminus M\subseteq R.}

For symmetric difference, the sets L∖(M△R){\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)} and (L∖M)△(L∖R)=L∩(M△R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\triangle \,(L\,\setminus \,R)=L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)} are always disjoint. So these two sets are equal if and only if they are both equal to ∅.{\displaystyle \varnothing .} Moreover, L∖(M△R)=∅{\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\triangle \,R)=\varnothing } if and only if L∩M∩R=∅ and L⊆M∪R.{\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing {\text{ and }}L\subseteq M\cup R.}

To investigate the left distributivity of set subtraction over unions or intersections, consider how the sets involved in (both of) De Morgan's laws are all related: (L∖M)∩(L∖R)  =  L∖(M∪R)   ⊆  L∖(M∩R)  =  (L∖M)∪(L∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}} always holds (the equalities on the left and right are De Morgan's laws) but equality is not guaranteed in general (that is, the containment ⊆{\displaystyle {\color {red}{\subseteq }}} might be strict). Equality holds if and only if L∖(M∩R)⊆L∖(M∪R),{\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\;\subseteq \;L\,\setminus \,(M\,\cup \,R),} which happens if and only if L∩M=L∩R.{\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.}

تُظهر هذه الملاحظة حول قوانين دي مورغان أن∖{\displaystyle \,\setminus \,}لا يُترك للتوزيع∪{\displaystyle \,\cup \,}أو∩{\displaystyle \,\cap \,}لأن ما يلي فقط هو المضمون بشكل عام: ل∖(م∪R)   ⊆  (ل∖م)∪(ل∖R)  =  ل∖(م∩R){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}ل∖(م∩R)   ⊇  (ل∖م)∩(ل∖R)  =  ل∖(م∪R){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~&~~{\color {red}{\supseteq }}~~&&\color {black}{\,}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}} حيث تتحقق المساواة لإحدى صيغتي التضمين المذكورتين أعلاه (أو بشكل مكافئ، لكلتيهما) إذا وفقط إذال∩م=ل∩R.{\displaystyle L\,\cap \,M=L\,\cap \,R.}

العبارات التالية متكافئة:

  1. ل∩م=ل∩R{\displaystyle L\cap M\,=\,L\cap R}
  2. ل∖م=ل∖R{\displaystyle L\,\setminus \,M\,=\,L\,\setminus \,R}
  3. ل∖(م∩R)=(ل∖م)∩(ل∖R)؛{\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R);}إنه،∖{\displaystyle \,\setminus \,}يوزع اليسار على∩{\displaystyle \,\cap \,}بالنسبة لهذه المجموعات الثلاث المحددة
  4. ل∖(م∪R)=(ل∖م)∪(ل∖R)؛{\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)=(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R);}إنه،∖{\displaystyle \,\setminus \,}يوزع اليسار على∪{\displaystyle \,\cup \,}بالنسبة لهذه المجموعات الثلاث المحددة
  5. ل∖(م∩R)=ل∖(م∪R){\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\,=\,L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)}
  6. ل∩(م∪R)=ل∩م∩R{\displaystyle L\cap (M\cup R)\,=\,L\cap M\cap R}
  7. ل∩(م∪R) ⊆ م∩R{\displaystyle L\cap (M\cup R)~\subseteq ~M\cap R}
  8. ل∩R ⊆ م{\displaystyle L\cap R~\subseteq ~M\;}ول∩م ⊆ R{\displaystyle \;L\cap M~\subseteq ~R}
  9. ل∖(م∖R)=ل∖(R∖م){\displaystyle L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)}
  10. ل∖(م∖R)=ل∖(R∖م)=ل{\displaystyle L\setminus (M\setminus R)\,=\,L\setminus (R\setminus M)\,=\,L}

شبه التبادلية : (ل∖م)∖R = (ل∖R)∖م (شبه تبادلي){\displaystyle (L\setminus M)\setminus R~=~(L\setminus R)\setminus M\qquad {\text{ (Quasi-commutative)}}} ينطبق هذا دائماً، ولكن بشكل عام، ل∖(م∖R)  ≠  ل∖(R∖م).{\displaystyle L\setminus (M\setminus R)~~{\color {red}{\neq }}~~L\setminus (R\setminus M).} لكن،ل∖(م∖R) ⊆ ل∖(R∖م){\displaystyle L\setminus (M\setminus R)~\subseteq ~L\setminus (R\setminus M)}إذا وفقط إذال∩R ⊆ م{\displaystyle L\cap R~\subseteq ~M}إذا وفقط إذال∖(R∖م) = ل.{\displaystyle L\setminus (R\setminus M)~=~L.}

تعقيد طرح المجموعات : لإدارة المتطابقات العديدة التي تتضمن طرح المجموعات، يُقسّم هذا القسم بناءً على موقع عملية طرح المجموعات والأقواس على الجانب الأيسر من المتطابقة. ويعود التنوع الكبير والتعقيد (النسبي) للصيغ التي تتضمن طرح المجموعات (مقارنةً بتلك التي لا تتضمنه) جزئيًا إلى حقيقة أنه على عكس∪،∩،{\displaystyle \,\cup ,\,\cap ,}و△،{\displaystyle \triangle ,\,}عملية طرح المجموعات ليست تجميعية ولا تبديلية، كما أنها ليست توزيعية من اليسار.∪،∩،△،{\displaystyle \,\cup ,\,\cap ,\,\triangle ,}أو حتى فوق نفسه.

طرح مجموعتين

عملية طرح المجموعات ليست تجميعية بشكل عام: (ل∖م)∖R  ≠  ل∖(م∖R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\neq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)} لأن ما يلي فقط هو المضمون دائمًا: (ل∖م)∖R  ⊆  ل∖(م∖R).{\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R\;~~{\color {red}{\subseteq }}~~\;L\,\setminus \,(M\,\setminus \,R).}

(يسار\وسط)\يمين

(ل∖م)∖R=ل∖(م∪R)=(ل∖R)∖م=(ل∖م)∩(ل∖R)=(ل∖R)∖م=(ل∖R)∖(م∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\setminus R&=&&L\setminus (M\cup R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\setminus M)\cap (L\setminus R)\\[0.6ex]&=(&&L\setminus R)\setminus M\\[0.6ex]&=(&&L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

L\(M\R)

ل∖(م∖R)=(ل∖م)∪(ل∩R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\setminus R)&=(L\setminus M)\cup (L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

  • لول⊆م ثم ل∖(م∖R)=ل∩R{\displaystyle L\subseteq M{\text{ then }}L\setminus (M\setminus R)=L\cap R}
  • ل∖(م∖R)⊆(ل∖م)∪R{\textstyle L\setminus (M\setminus R)\subseteq (L\setminus M)\cup R}مع المساواة إذا وفقط إذاR⊆ل.{\displaystyle R\subseteq L.}

طرح مجموعة واحدة

(يسار/وسط) * يمين

ضع عملية الطرح على اليسار ، والأقواس على اليسار

(ل∖م)∪R=(ل∪R)∖(م∖R)=(ل∖(م∪R))∪R      (الاتحاد الخارجي منفصل) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\setminus M\right)\cup R&=(L\cup R)\setminus (M\setminus R)\\&=(L\setminus (M\cup R))\cup R~~~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}

(ل∖م)∩R=(ل∩R)∖(م∩R)    (قانون التوزيع لـ ∩ زيادة ∖ )=(ل∩R)∖م=ل∩(R∖م){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)\cap R&=(&&L\cap R)\setminus (M\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap R)\setminus M\\&=&&L\cap (R\setminus M)\\\end{alignedat}}}[ 4 ]

(ل∖م)∩(ل∖R)  =  ل∖(م∪R)   ⊆  ل∖(م∩R)  =  (ل∖م)∪(ل∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}(L\,\setminus \,M)\,\cap \,(L\,\setminus \,R)~~=~~L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~&~~{\color {red}{\subseteq }}~~&&\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)~~=~~(L\,\setminus \,M)\,\cup \,(L\,\setminus \,R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}(ل∖م) △ R=(ل∖(م∪R))∪(R∖ل)∪(ل∩م∩R)    (المجموعات الثلاث الخارجية منفصلة تمامًا) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\setminus M)~\triangle ~R&=(L\setminus (M\cup R))\cup (R\setminus L)\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}

(ل∖م)×R=(ل×R)∖(م×R)      (خاصية التوزيع){\displaystyle (L\,\setminus M)\times R=(L\times R)\,\setminus (M\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}}

L\(M ⁎ R)

ضع عملية الطرح على اليسار ، والأقواس على اليمين

ل∖(م∪R)=(ل∖م)∩(ل∖R)     (قانون دي مورغان) =(ل∖م)∖R=(ل∖R)∖م{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\setminus (M\cup R)&=(L\setminus M)&&\,\cap \,(&&L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\&=(L\setminus M)&&\,\,\setminus &&R\\&=(L\setminus R)&&\,\,\setminus &&M\\\end{alignedat}}}

ل∖(م∩R)=(ل∖م)∪(ل∖R)     (قانون دي مورغان) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M\cap R)&=(L\setminus M)\cup (L\setminus R)~~~~{\text{ (De Morgan's law) }}\\\end{alignedat}}} حيث أن المجموعتين المذكورتين أعلاه، واللتين تخضعان لقوانين دي مورغان، تحققان دائمًال∖(م∪R)  ⊆  ل∖(م∩R).{\displaystyle L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)~~{\color {red}{\subseteq }}~~\color {black}{\,}L\,\setminus \,(M\,\cap \,R).}

ل∖(م △ R)=(ل∖(م∪R))∪(ل∩م∩R)    (الاتحاد الخارجي منفصل) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\setminus (M~\triangle ~R)&=(L\setminus (M\cup R))\cup (L\cap M\cap R)~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\\end{alignedat}}}

(يسار ⁎ م)\يمين

ضع عملية الطرح على اليمين ، والأقواس على اليسار

(ل∪م)∖R=(ل∖R)∪(م∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\cup M)\setminus R&=(L\setminus R)\cup (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}

(ل∩م)∖R=(ل∖R)∩(م∖R)=ل∩(م∖R)=م∩(ل∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\cap M)\setminus R&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\&=&&L&&\cap (M\setminus R)\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\\end{alignedat}}}

(ل△م)∖R=(ل∖R) △ (م∖R)=(ل∪R) △ (م∪R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(L\,\triangle \,M)\setminus R&=(L\setminus R)~&&\triangle ~(M\setminus R)\\&=(L\cup R)~&&\triangle ~(M\cup R)\\\end{alignedat}}}

L ⁎ (M\R)

ضع عملية الطرح على اليمين ، والأقواس على اليمين

ل∪(م∖R)=ل∪(م∖(R∪ل))    (الاتحاد الخارجي منفصل) =[(ل∖م)∪(R∩ل)]∪(م∖R)    (الاتحاد الخارجي منفصل) =(ل∖(م∪R))∪(R∩ل)∪(م∖R)    (المجموعات الثلاث الخارجية منفصلة تمامًا) {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}L\cup (M\setminus R)&=&&&&L&&\cup \;&&(M\setminus (R\cup L))&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=[&&(&&L\setminus M)&&\cup \;&&(R\cap L)]\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the outermost union is disjoint) }}\\&=&&(&&L\setminus (M\cup R))\;&&\;\cup &&(R\cap L)\,\,\cup (M\setminus R)&&~~~{\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}

ل∩(م∖R)=(ل∩م)∖(ل∩R)    (قانون التوزيع لـ ∩ زيادة ∖ )=(ل∩م)∖R=م∩(ل∖R)=(ل∖R)∩(م∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\cap (M\setminus R)&=(&&L\cap M)&&\setminus (L\cap R)~~~{\text{ (Distributive law of }}\cap {\text{ over }}\setminus {\text{ )}}\\&=(&&L\cap M)&&\setminus R\\&=&&M&&\cap (L\setminus R)\\&=(&&L\setminus R)&&\cap (M\setminus R)\\\end{alignedat}}}[ 4 ]

ل×(م∖R)=(ل×م)∖(ل×R)      (خاصية التوزيع){\displaystyle L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)~~~~~{\text{ (Distributivity)}}}

ثلاث عمليات على ثلاث مجموعات

(يسار • وسط) * (وسط • يمين)

عمليات من الشكل(ل∙م)*(م∙R){\displaystyle (L\bullet M)\ast (M\bullet R)}:

(ل∪م)∪(م∪R)=ل∪م∪R(ل∪م)∩(م∪R)=م∪(ل∩R)(ل∪م)∖(م∪R)=ل∖(م∪R)(ل∪م)△(م∪R)=(ل∖(م∪R))∪(R∖(ل∪م))=(ل△R)∖م(ل∩م)∪(م∩R)=م∩(ل∪R)(ل∩م)∩(م∩R)=ل∩م∩R(ل∩م)∖(م∩R)=(ل∩م)∖R(ل∩م)△(م∩R)=[(ل∩م)∪(م∩R)]∖(ل∩م∩R)(ل∖م)∪(م∖R)=(ل∪م)∖(م∩R)(ل∖م)∩(م∖R)=∅(ل∖م)∖(م∖R)=ل∖م(ل∖م)△(م∖R)=(ل∖م)∪(م∖R)=(ل∪م)∖(م∩R)(ل△م)∪(م△R)=(ل∪م∪R)∖(ل∩م∩R)(ل△م)∩(م△R)=((ل∩R)∖م)∪(م∖(ل∪R))(ل△م)∖(م△R)=(ل∖(م∪R))∪((م∩R)∖ل)(ل△م)△(م△R)=ل△R{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\cap R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&M\cup R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\cup R))\,\cup \,(R\,\setminus \,(L\cup M))\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&M\cap (L\cup R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\cap R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\setminus \,R\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&M\cap R)&&&&\;=\;\;&&[(L\,\cap M)\cup (M\,\cap R)]\,\setminus \,(L\,\cap M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\,\setminus (M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\setminus R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus M)\cup (M\,\setminus R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup M)\setminus (M\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\cup \,M\,\cup \,R)\,\setminus \,(L\,\cap \,M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&((L\,\cap \,R)\,\setminus \,M)\,\cup \,(M\,\setminus \,(L\,\cup \,R))\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&(L\,\setminus \,(M\,\cup \,R))\,\cup \,((M\,\cap \,R)\,\setminus \,L)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&M\,\triangle \,R)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,R\\[1.7ex]\end{alignedat}}}

(يسار • وسط) * (يمين\وسط)

عمليات من الشكل(ل∙م)*(R∖م){\displaystyle (L\bullet M)\ast (R\,\setminus \,M)}:

(ل∪م)∪(R∖م)=ل∪م∪R(ل∪م)∩(R∖م)=(ل∩R)∖م(ل∪م)∖(R∖م)=م∪(ل∖R)(ل∪م)△(R∖م)=م∪(ل△R)(ل∩م)∪(R∖م)=[ل∩(م∪R)]∪[R∖(ل∪م)] (اتحاد منفصل)=(ل∩م)△(R∖م)(ل∩م)∩(R∖م)=∅(ل∩م)∖(R∖م)=ل∩م(ل∩م)△(R∖م)=(ل∩م)∪(R∖م) (اتحاد منفصل)(ل∖م)∪(R∖م)=ل∪R∖م(ل∖م)∩(R∖م)=(ل∩R)∖م(ل∖م)∖(R∖م)=ل∖(م∪R)(ل∖م)△(R∖م)=(ل△R)∖م(ل△م)∪(R∖م)=(ل∪م∪R)∖(ل∩م)(ل△م)∩(R∖م)=(ل∩R)∖م(ل△م)∖(R∖م)=[ل∖(م∪R)]∪(م∖ل) (اتحاد منفصل)=(ل△م)∖(ل∩R)(ل△م)△(R∖م)=ل△(م∪R){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\cup M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup M\cup R\\[1.4ex](L\cup M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\cup M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\setminus \,R)\\[1.4ex](L\cup M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&M\cup (L\,\triangle \,R)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\cap (M\cup R)]\cup [R\,\setminus \,(L\cup M)]\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(R\,\setminus \,M)\\[1.4ex](L\cap M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&\varnothing \\[1.4ex](L\cap M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cap M\\[1.4ex](L\cap M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap M)\cup (R\,\setminus \,M)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\cup R\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\setminus \,(M\cup R)\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cup \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cup M\cup R)\,\setminus \,(L\cap M)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\cap \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&(L\cap R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\setminus \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&[L\,\setminus \,(M\cup R)]\cup (M\,\setminus \,L)\qquad {\text{ (disjoint union)}}\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&&&\;=\;\;&&(L\,\triangle \,M)\setminus (L\,\cap R)\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)&\,\triangle \,&&(&&R\,\setminus \,M)&&&&\;=\;\;&&L\,\triangle \,(M\cup R)\\[1.7ex]\end{alignedat}}}

(يسار\وسط) * (يسار\يمين)

عمليات من الشكل(ل∖م)*(ل∖R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\ast (L\,\setminus \,R)}:

(ل∖م)∪(ل∖R)=ل∖(م∩R)(ل∖م)∩(ل∖R)=ل∖(م∪R)(ل∖م)∖(ل∖R)=(ل∩R)∖م(ل∖م)△(ل∖R)=ل∩(م△R)=(ل∩م)△(ل∩R){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\setminus M)&\,\cup \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cap \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\cap \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\setminus \,(M\,\cup \,R)\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\setminus \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&(L\,\cap \,R)\,\setminus \,M\\[1.4ex](L\,\setminus M)&\,\triangle \,&&(&&L\,\setminus R)&&\;=\;&&L\,\cap \,(M\,\triangle \,R)\\[1.4ex]&\,&&\,&&\,&&\;=\;&&(L\cap M)\,\triangle \,(L\cap R)\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

تبسيطات أخرى

خصائص أخرى :

ل∩م=R و ل∩R=م إذا وفقط إذا م=R⊆ل.{\displaystyle L\cap M=R\;{\text{ and }}\;L\cap R=M\qquad {\text{ if and only if }}\qquad M=R\subseteq L.}

  • لول⊆م{\displaystyle L\subseteq M}ثمل∖R=ل∩(م∖R).{\displaystyle L\setminus R=L\cap (M\setminus R).}[ 4 ]
  • ل×(م∖R)=(ل×م)∖(ل×R){\displaystyle L\times (M\,\setminus R)=(L\times M)\,\setminus (L\times R)}
  • لول⊆R{\displaystyle L\subseteq R}ثمم∖R⊆م∖ل.{\displaystyle M\setminus R\subseteq M\setminus L.}
  • ل∩م∩R=∅{\displaystyle L\cap M\cap R=\varnothing }إذا وفقط إذا كان لأيx∈ل∪م∪R،{\displaystyle x\in L\cup M\cup R,}x{\displaystyle x}ينتمي إلى مجموعتين على الأكثرل،م، و R.{\displaystyle L,M,{\text{ and }}R.}

الفرق المتناظر ∆ بين عدد محدود من المجموعات

بالنظر إلى عدد محدود من المجموعاتل1،...،لن،{\displaystyle L_{1},\ldots ,L_{n},}ينتمي عنصر ما إلى فرقه المتناظر إذا وفقط إذا كان ينتمي إلى عدد فردي من هذه المجموعات. وبالتحديد، لأيx،{\displaystyle x,}x∈ل1△⋯△لن{\displaystyle x\in L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}}إذا وفقط إذا كانت الكاردينالية|{أنا:x∈لأنا}|{\displaystyle \left|\left\{i:x\in L_{i}\right\}\right|}فردي. (تذكر أن الفرق المتناظر تجميعي، لذا لا حاجة للأقواس للمجموعةل1△⋯△لن{\displaystyle L_{1}\triangle \cdots \triangle L_{n}}).

وبالتالي، فإن الفرق المتناظر لثلاث مجموعات يحقق ما يلي: ل△م△R=(ل∩م∩R)∪{x:x ينتمي إلى مجموعة واحدة فقط ل،م،R}       (الاتحاد منفصل) =[ل∩م∩R]∪[ل∖(م∪R)]∪[م∖(ل∪R)]∪[R∖(ل∪م)]          (جميع المجموعات الأربع المحصورة بين [ ] منفصلة مثنى مثنى) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L\,\triangle \,M\,\triangle \,R&=(L\cap M\cap R)\cup \{x:x{\text{ belongs to exactly one of the sets }}L,M,R\}~~~~~~{\text{ (the union is disjoint) }}\\&=[L\cap M\cap R]\cup [L\setminus (M\cup R)]\cup [M\setminus (L\cup R)]\cup [R\setminus (L\cup M)]~~~~~~~~~{\text{ (all 4 sets enclosed by [ ] are pairwise disjoint) }}\\\end{alignedat}}}

المنتجات الديكارتية ⨯ من مجموعات محدودة

يتوزع النظام الثنائي ⨯ على ⋃ و ⋂ و \ و ∆

يتوزع حاصل الضرب الديكارتي الثنائي ⨯ على الاتحادات والتقاطعات وطرح المجموعات والفرق المتناظر:

(ل∩م)×R   =  (ل×R)∩(م×R) (خاصية التوزيع الأيمن لـ × زيادة ∩)(ل∪م)×R   =  (ل×R)∪(م×R) (خاصية التوزيع الأيمن لـ × زيادة ∪)(ل∖م)×R   =  (ل×R)∖(م×R) (خاصية التوزيع الأيمن لـ × زيادة ∖)(ل△م)×R   =  (ل×R)△(م×R) (خاصية التوزيع الأيمن لـ × زيادة △){\displaystyle {\begin{alignedat}{9}(L\,\cap \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cap \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\cup \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\cup \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\setminus \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\setminus \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex](L\,\triangle \,M)\,\times \,R~&~~=~~&&(L\,\times \,R)\,&&\triangle \,&&(M\,\times \,R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

ل×(م∩R)=(ل×م)∩(ل×R) (توزيع اليسار لـ × زيادة ∩)ل×(م∪R)=(ل×م)∪(ل×R) (توزيع اليسار لـ × زيادة ∪)ل×(م∖R)=(ل×م)∖(ل×R) (توزيع اليسار لـ × زيادة ∖)ل×(م△R)=(ل×م)△(ل×R) (توزيع اليسار لـ × زيادة △){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times (M\cap R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cap (L\times R)\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cap \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\cup R)&\;=\;\;&&(L\times M)\cup (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\setminus R)&\;=\;\;&&(L\times M)\setminus (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\setminus \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times (M\triangle R)&\;=\;\;&&(L\times M)\triangle (L\times R)&&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\triangle \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

لكن بشكل عام، لا يتوزع ⨯ على نفسه: ل×(م×R) ≠ (ل×م)×(ل×R){\displaystyle L\times (M\times R)~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times M)\times (L\times R)}(ل×م)×R ≠ (ل×R)×(م×R).{\displaystyle (L\times M)\times R~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~(L\times R)\times (M\times R).}

ثنائي ⋂ من محدود ⨯

(ل×R)∩(ل2×R2) = (ل∩ل2)×(R∩R2){\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}(ل×م×R)∩(ل2×م2×R2) = (ل∩ل2)×(م∩م2)×(R∩R2){\displaystyle (L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}

ثنائي ⋃ من محدود ⨯

(ل×R) ∪ (ل2×R2) = [(ل∖ل2)×R] ∪ [(ل2∖ل)×R2] ∪ [(ل∩ل2)×(R∪R2)] = [ل×(R∖R2)] ∪ [ل2×(R2∖R)] ∪ [(ل∪ل2)×(R∩R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}

الفرق \ من محدود ⨯

(ل×R) ∖ (ل2×R2) = [(ل∖ل2)×R] ∪ [ل×(R∖R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}} و (ل×م×R) ∖ (ل2×م2×R2) = [(ل∖ل2)×م×R] ∪ [ل×(م∖م2)×R] ∪ [ل×م×(R∖R2)]{\displaystyle (L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}

عدد محدود من الفروق

(ل∖ل2)×(R∖R2) = (ل×R)∖[(ل2×R)∪(ل×R2)]{\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times R\right)\cup \left(L\times R_{2}\right)\right]}

(ل∖ل2)×(م∖م2)×(R∖R2) = (ل×م×R)∖[(ل2×م×R)∪(ل×م2×R)∪(ل×م×R2)]{\displaystyle \left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)~=~\left(L\times M\times R\right)\,\setminus \,\left[\left(L_{2}\times M\times R\right)\cup \left(L\times M_{2}\times R\right)\cup \left(L\times M\times R_{2}\right)\right]}

الفرق المتناظر ∆ والقيمة المحدودة ⨯

ل×(R△R2) = [ل×(R∖R2)]∪[ل×(R2∖R)]{\displaystyle L\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~=~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[L\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]}(ل△ل2)×R = [(ل∖ل2)×R]∪[(ل2∖ل)×R]{\displaystyle \left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times R~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times R\right]}

(ل△ل2)×(R△R2) = [(ل∪ل2)×(R∪R2)]∖[((ل∩ل2)×R)∪(ل×(R∩R2))]= [(ل∖ل2)×(R2∖R)]∪[(ل2∖ل)×(R2∖R)]∪[(ل∖ل2)×(R∖R2)]∪[(ل2∖ل)∪(R∖R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~&&&&\,\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\[0.7ex]&=~&&&&\,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\times \left(R_{2}\,\setminus \,R\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\,\cup \,\left[\left(L_{2}\,\setminus \,L\right)\cup \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}

(ل△ل2)×(م△م2)×(R△R2) = [(ل∪ل2)×(م∪م2)×(R∪R2)]∖[((ل∩ل2)×م×R)∪(ل×(م∩م2)×R)∪(ل×م×(R∩R2))]{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(M\,\triangle \,M_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(M\cup M_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\;\setminus \;\left[\left(\left(L\cap L_{2}\right)\times M\times R\right)\;\cup \;\left(L\times \left(M\cap M_{2}\right)\times R\right)\;\cup \;\left(L\times M\times \left(R\cap R_{2}\right)\right)\right]\\\end{alignedat}}}

على العموم،(ل△ل2)×(R△R2){\displaystyle \left(L\,\triangle \,L_{2}\right)\times \left(R\,\triangle \,R_{2}\right)}لا يشترط أن تكون مجموعة جزئية أو مجموعة شاملة لـ(ل×R)△(ل2×R2).{\displaystyle \left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right).}

(ل×R)△(ل2×R2) = (ل×R)∪(ل2×R2)∖[(ل∩ل2)×(R∩R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times R\right)\cup \left(L_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

(ل×م×R)△(ل2×م2×R2) = (ل×م×R)∪(ل2×م2×R2)∖[(ل∩ل2)×(م∩م2)×(R∩R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(L\times M\times R\right)\,\triangle \,\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~&=~&&\left(L\times M\times R\right)\cup \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)\;\setminus \;\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

عائلات عشوائية من المجموعات

يترك(لأنا)أنا∈أنا،{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I},}(Rج)ج∈ج،{\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J},}و(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}تُعتبر عائلات مفهرسة من المجموعات . عندما يكون الافتراض مطلوبًا، فإن جميع مجموعات الفهرسة ، مثلأنا{\displaystyle I}وج،{\displaystyle J,}يُفترض أنها غير فارغة.

التعريفات

تشير عائلة المجموعات أو (باختصار أكثر) العائلة إلى مجموعة عناصرها عبارة عن مجموعات.

عائلة المجموعات المفهرسة هي دالة من مجموعة ما، تُسمى مجموعة فهرسة ، إلى عائلة من المجموعات. ويُرمز إلى عائلة المجموعات المفهرسة بالرمز .(لأنا)أنا∈أنا،{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I},}حيث تُخصص هذه الصيغة الرمزأنا{\displaystyle I}بالنسبة لمجموعة الفهرسة ولكل فهرسأنا∈أنا،{\displaystyle i\in I,}يُعيّن الرمزلأنا{\displaystyle L_{i}}إلى قيمة الدالة عندأنا.{\displaystyle i.} ويمكن بعد ذلك الإشارة إلى الدالة نفسها بالرمزل∙،{\displaystyle L_{\bullet },}والتي يتم الحصول عليها من الترميز(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}عن طريق استبدال الفهرسأنا{\displaystyle i}مع رمز الرصاصة∙؛{\displaystyle \bullet \,;}بشكل صريح،ل∙{\displaystyle L_{\bullet }}هي الوظيفة: ل∙:أنا→{لأنا:أنا∈أنا}أنا↦لأنا{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}L_{\bullet }:\;&&I&&\;\to \;&\left\{L_{i}:i\in I\right\}\\[0.3ex]&&i&&\;\mapsto \;&L_{i}\\\end{alignedat}}} ويمكن تلخيص ذلك بكتابةل∙=(لأنا)أنا∈أنا.{\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}.}

أي عائلة مفهرسة معينة من المجموعاتل∙=(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}(وهي دالة ) يمكن ربطها بشكل أساسي بصورتها/نطاقهاأنا⁡ل∙ =تعريف {لأنا:أنا∈أنا}{\displaystyle \operatorname {Im} L_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left\{L_{i}:i\in I\right\}}(وهي عائلة من المجموعات). وعلى العكس من ذلك، فإن أي عائلة معينة من المجموعاتب{\displaystyle {\mathcal {B}}}قد يكون مرتبطًا بـب{\displaystyle {\mathcal {B}}}مجموعة مفهرسة من المجموعات(ب)ب∈ب،{\displaystyle (B)_{B\in {\mathcal {B}}},}وهو ما يُعرف تقنياً بخريطة الهويةب→ب.{\displaystyle {\mathcal {B}}\to {\mathcal {B}}.} ومع ذلك، فإن هذا ليس تطابقًا ثنائيًا لأن عائلة مفهرسة من المجموعاتل∙=(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i\in I}}ليس من الضروري أن تكون دالة أحادية (أي قد توجد مؤشرات مميزة).أنا≠ج{\displaystyle i\neq j}مثللأنا=لج{\displaystyle L_{i}=L_{j}})، مما يعني على وجه الخصوص أنه من الممكن أن ترتبط عائلات المجموعات المفهرسة المتميزة (وهي عبارة عن دوال) بنفس عائلة المجموعات (من خلال امتلاك نفس الصورة/النطاق).

الاتحادات التعسفية المحددة [ 3 ]

لوأنا=∅{\displaystyle I=\varnothing }ثم⋃أنا∈∅لأنا={x :  يوجد أنا∈∅ بحيث x∈لأنا}=∅،{\displaystyle \bigcup _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ there exists }}i\in \varnothing {\text{ such that }}x\in L_{i}\}=\varnothing ,}وهو ما يسمى أحيانًا باتفاقية الاتحاد الصفري (على الرغم من تسميتها اتفاقية، إلا أن هذه المساواة تتبع من التعريف).

لوب{\displaystyle {\mathcal {B}}}إذن، هي عائلة من المجموعات∪ب{\displaystyle \cup {\mathcal {B}}}يشير إلى المجموعة: ⋃ب  =تعريف ⋃ب∈بب  =تعريف {x :  يوجد ب∈ب بحيث x∈ب}.{\displaystyle \bigcup {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~{\text{ there exists }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ such that }}x\in B\}.}

تقاطعات عشوائية محددة

لوأنا≠∅{\displaystyle I\neq \varnothing }ثم [ 3 ]

لوب≠∅{\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }إذا كانت عائلة غير فارغة من المجموعات∩ب{\displaystyle \cap {\mathcal {B}}}يشير إلى المجموعة: ⋂ب  =تعريف ⋂ب∈بب  =تعريف {x : x∈ب لكل ب∈ب} = {x :  للجميع ب، لو ب∈ب ثم x∈ب}.{\displaystyle \bigcap {\mathcal {B}}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{B\in B}B~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{x~:~x\in B{\text{ for every }}B\in {\mathcal {B}}\}~=~\{x~:~{\text{ for all }}B,{\text{ if }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}x\in B\}.}

التقاطعات الصفرية

لوأنا=∅{\displaystyle I=\varnothing }ثم ⋂أنا∈∅لأنا={x :  للجميع أنا، لو أنا∈∅ ثم x∈لأنا}{\displaystyle \bigcap _{i\in \varnothing }L_{i}=\{x~:~{\text{ for all }}i,{\text{ if }}i\in \varnothing {\text{ then }}x\in L_{i}\}} حيث كل شيء ممكنx{\displaystyle x}في الكون، تم استيفاء الشرط بشكل فارغ : "إذاأنا∈∅{\displaystyle i\in \varnothing }ثمx∈لأنا{\displaystyle x\in L_{i}}". بالتالي،⋂أنا∈∅لأنا={x: حقيقي }{\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x:{\text{ true }}\}}يتكون من كل شيء في الكون.

لذلك إذاأنا=∅{\displaystyle I=\varnothing }و:

  1. إذا كنت تعمل في نموذج يوجد فيه مجموعة كونية معينةX{\displaystyle X}ثم⋂أنا∈∅لأنا={x : x∈لأنا لكل أنا∈∅} = X.{\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}=\{x~:~x\in L_{i}{\text{ for every }}i\in \varnothing \}~=~X.}
  2. وإلا، إذا كنت تعمل في نموذج يكون فيه "صنف كل الأشياء"x{\displaystyle x}"ليست مجموعة (وهو الوضع الأكثر شيوعًا على الإطلاق)"⋂أنا∈∅لأنا{\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}غير مُعرَّف لأن⋂أنا∈∅لأنا{\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}يتكون من كل شيء ، مما يجعل⋂أنا∈∅لأنا{\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in \varnothing }}L_{i}}فئة مناسبة وليست مجموعة .
الافتراض : من الآن فصاعدًا، كلما تطلبت صيغة ما أن تكون مجموعة الفهرسة غير فارغة حتى يكون التقاطع التعسفي محددًا جيدًا، فسيتم افتراض ذلك تلقائيًا دون ذكره.

ومن نتائج ذلك الافتراض/التعريف التالي:

يشير التقاطع المحدود للمجموعات أو تقاطع عدد محدود من المجموعات إلى تقاطع مجموعة محدودة من مجموعة واحدة أو أكثر .

يتبنى بعض المؤلفين ما يُسمى باتفاقية التقاطع الصفري ، وهي الاتفاقية التي تنص على أن التقاطع الفارغ للمجموعات يساوي مجموعة أساسية ما. على وجه الخصوص، إذا كانت جميع المجموعات مجموعات جزئية من مجموعة ماX{\displaystyle X}ثم قد يُعلن أحد المؤلفين أن التقاطع الفارغ لهذه المجموعات يساويX.{\displaystyle X.}ومع ذلك، فإن اتفاقية التقاطع الصفري ليست شائعة القبول مثل اتفاقية الاتحاد الصفري، ولن تعتمدها هذه المقالة (وذلك لأن قيمة التقاطع الصفري، على عكس الاتحاد الصفري، تعتمد علىX{\displaystyle X}لذا، إذا كانت هناك مجموعات متعددة قيد الدراسة، وهو ما يحدث عادةً، فإن قيمة التقاطع الفارغ تصبح غامضة.

مجموعات فهارس متعددة⋃ج∈جأنا∈أنا،Sأنا،ج  =تعريف ⋃(أنا،ج)∈أنا×جSأنا،ج{\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}⋂ج∈جأنا∈أنا،Sأنا،ج  =تعريف ⋂(أنا،ج)∈أنا×جSأنا،ج{\displaystyle \bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}}

توزيع الاتحادات والتقاطعات

ثنائي ⋂ من ⋃ عشوائي

و [ 4 ]

  • إذا كان كل شيء(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}منفصلة عن بعضها البعض وجميعها(Rج)ج∈ج{\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J}}إذا كانت المجموعات منفصلة مثنى مثنى، فإن جميعها كذلك.(لأنا∩Rج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}(أي إذا(أنا،ج)≠(أنا2،ج2){\displaystyle (i,j)\neq \left(i_{2},j_{2}\right)}ثم(لأنا∩Rج)∩(لأنا2∩Rج2)=∅{\displaystyle \left(L_{i}\cap R_{j}\right)\cap \left(L_{i_{2}}\cap R_{j_{2}}\right)=\varnothing }).

  • والأهم من ذلك ، إذاأنا=ج{\displaystyle I=J}ثم بشكل عام، (⋃أنا∈أنالأنا)∩(⋃أنا∈أناRأنا)  ≠  ⋃أنا∈أنا(لأنا∩Rأنا) {\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)~}( يُعطى مثال على ذلك أدناه). يجب أن يشمل الاتحاد الوحيد على الجانب الأيمن جميع الأزواج.(أنا،ج)∈أنا×أنا:{\displaystyle (i,j)\in I\times I:} (⋃أنا∈أنالأنا)∩(⋃أنا∈أناRأنا)  =  ⋃ج∈أناأنا∈أنا،(لأنا∩Rج). {\displaystyle ~\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cap R_{j}\right).~}وينطبق الأمر نفسه عادةً على علاقات المساواة بين المجموعات غير التافهة الأخرى المماثلة التي تعتمد على مجموعتين من الفهرسة (قد لا تكونان مرتبطتين).أنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}(مثل المعادلة 4ب أو المعادلة 7ج [ 4 ] ). هناك استثناءان هما المعادلة 2ج (اتحادات الاتحادات) والمعادلة 2د (تقاطعات التقاطعات)، لكن كلتيهما من بين أبسط معادلات المجموعات (على الرغم من أنه حتى بالنسبة لهذه المعادلات لا يزال هناك شيء يجب إثباته [ ملاحظة 2 ] ).
  • مثال على فشل المساواة : ليكنX≠∅{\displaystyle X\neq \varnothing }ودعأنا={1،2}.{\displaystyle I=\{1,2\}.}يتركل1:=R2:=X{\displaystyle L_{1}\colon =R_{2}\colon =X}ودعل2:=R1:=∅.{\displaystyle L_{2}\colon =R_{1}\colon =\varnothing .}ثمX=X∩X=(ل1∪ل2)∩(R2∪R2)=(⋃أنا∈أنالأنا)∩(⋃أنا∈أناRأنا) ≠ ⋃أنا∈أنا(لأنا∩Rأنا)=(ل1∩R1)∪(ل2∩R2)=∅∪∅=∅.{\displaystyle X=X\cap X=\left(L_{1}\cup L_{2}\right)\cap \left(R_{2}\cup R_{2}\right)=\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cap \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)=\left(L_{1}\cap R_{1}\right)\cup \left(L_{2}\cap R_{2}\right)=\varnothing \cup \varnothing =\varnothing .}بالإضافة إلى،∅=∅∪∅=(ل1∩ل2)∪(R2∩R2)=(⋂أنا∈أنالأنا)∪(⋂أنا∈أناRأنا) ≠ ⋂أنا∈أنا(لأنا∪Rأنا)=(ل1∪R1)∩(ل2∪R2)=X∩X=X.{\displaystyle \varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(L_{1}\cap L_{2}\right)\cup \left(R_{2}\cap R_{2}\right)=\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~\neq ~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)=\left(L_{1}\cup R_{1}\right)\cap \left(L_{2}\cup R_{2}\right)=X\cap X=X.}

ثنائي ⋃ من ⋂ عشوائي

و [ 4 ]

  • والأهم من ذلك ، إذاأنا=ج{\displaystyle I=J}ثم بشكل عام، (⋂أنا∈أنالأنا)∪(⋂أنا∈أناRأنا)  ≠  ⋂أنا∈أنا(لأنا∪Rأنا) {\displaystyle ~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)~}( يُقدَّم مثال على ذلك أعلاه). يجب أن يكون التقاطع الوحيد على الجانب الأيمن شاملاً لجميع الأزواج.(أنا،ج)∈أنا×أنا:{\displaystyle (i,j)\in I\times I:} (⋂أنا∈أنالأنا)∪(⋂أنا∈أناRأنا)  =  ⋂ج∈أناأنا∈أنا،(لأنا∪Rج). {\displaystyle ~\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cup \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)~~=~~\bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right).~}

علامات ⋂ و ⋃ عشوائية

التوزيع غير الصحيح عن طريق تبديل ⋂ و ⋃

تبديل ساذج⋃أنا∈أنا{\displaystyle \;{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;}و⋂ج∈ج{\displaystyle \;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}\;}قد ينتج عنه مجموعة مختلفة

ينطبق الشرط التالي دائمًا:

بشكل عام، لا يشترط أن تتحقق المساواة، وعلاوة على ذلك، يعتمد الجانب الأيمن على كيفية تحقق كل قيمة ثابتة.أنا∈أنا،{\displaystyle i\in I,}المجموعات(Sأنا،ج)ج∈ج{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{j\in J}}يتم وضع العلامات عليها؛ وبالمثل، يعتمد الجانب الأيسر على كيفية ذلك لكل ثابتج∈ج،{\displaystyle j\in J,}المجموعات(Sأنا،ج)أنا∈أنا{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{i\in I}}يتم وضع علامات عليها. وسيتم الآن تقديم مثال يوضح ذلك.

  • مثال على الاعتماد على التصنيف وفشل المساواة : لنرى لماذا لا يجب أن تتحقق المساواة عندما∪{\displaystyle \cup }و∩{\displaystyle \cap }يتم تبديلها، دعأنا:=ج:={1،2}،{\displaystyle I\colon =J\colon =\{1,2\},}ودعS11={1،2}، S12={1،3}، S21={3،4}،{\displaystyle S_{11}=\{1,2\},~S_{12}=\{1,3\},~S_{21}=\{3,4\},}وS22={2،4}.{\displaystyle S_{22}=\{2,4\}.}ثم{1،4}={1}∪{4}=(S11∩S12)∪(S21∩S22)=⋃أنا∈أنا(⋂ج∈جSأنا،ج) ≠ ⋂ج∈ج(⋃أنا∈أناSأنا،ج)=(S11∪S21)∩(S12∪S22)={1،2،3،4}.{\displaystyle \{1,4\}=\{1\}\cup \{4\}=\left(S_{11}\cap S_{12}\right)\cup \left(S_{21}\cap S_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)=\left(S_{11}\cup S_{21}\right)\cap \left(S_{12}\cup S_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.} لوS11{\displaystyle S_{11}}وS21{\displaystyle S_{21}}يتم تبديلها أثناءS12{\displaystyle S_{12}}وS22{\displaystyle S_{22}}لم تتغير، مما أدى إلى ظهور المجموعاتS^11:={3،4}، S^12:={1،3}، S^21:={1،2}،{\displaystyle {\hat {S}}_{11}\colon =\{3,4\},~{\hat {S}}_{12}\colon =\{1,3\},~{\hat {S}}_{21}\colon =\{1,2\},}وS^22:={2،4}،{\displaystyle {\hat {S}}_{22}\colon =\{2,4\},}ثم {2،3}={3}∪{2}=(S^11∩S^12)∪(S^21∩S^22)=⋃أنا∈أنا(⋂ج∈جS^أنا،ج) ≠ ⋂ج∈ج(⋃أنا∈أناS^أنا،ج)=(S^11∪S^21)∩(S^12∪S^22)={1،2،3،4}.{\displaystyle \{2,3\}=\{3\}\cup \{2\}=\left({\hat {S}}_{11}\cap {\hat {S}}_{12}\right)\cup \left({\hat {S}}_{21}\cap {\hat {S}}_{22}\right)=\bigcup _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}{\hat {S}}_{i,j}\right)~\neq ~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}{\hat {S}}_{i,j}\right)=\left({\hat {S}}_{11}\cup {\hat {S}}_{21}\right)\cap \left({\hat {S}}_{12}\cup {\hat {S}}_{22}\right)=\{1,2,3,4\}.} وعلى وجه الخصوص، لم يعد الجانب الأيسر{1،4}،{\displaystyle \{1,4\},}مما يدل على أن الجانب الأيسر⋃أنا∈أنا⋂ج∈جSأنا،ج{\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\;{\textstyle \bigcap \limits _{j\in J}}S_{i,j}}يعتمد ذلك على كيفية تسمية المجموعات. إذا كان الأمر كذلكS11{\displaystyle S_{11}}وS12{\displaystyle S_{12}}يتم تبديلها أثناءS21{\displaystyle S_{21}}وS22{\displaystyle S_{22}}لم تتغير، مما أدى إلى ظهور المجموعاتS¯11:={1،3}، S¯12:={1،2}، S¯21:={3،4}،{\displaystyle {\overline {S}}_{11}\colon =\{1,3\},~{\overline {S}}_{12}\colon =\{1,2\},~{\overline {S}}_{21}\colon =\{3,4\},}وS¯22:={2،4}،{\displaystyle {\overline {S}}_{22}\colon =\{2,4\},}عندئذٍ يكون كل من الطرف الأيسر والطرف الأيمن متساويين.{1،4}،{\displaystyle \{1,4\},}مما يدل على أن الجانب الأيمن يعتمد أيضاً على كيفية تسمية المجموعات.

المساواة في الإدماج 1 ∪∩ هي مجموعة جزئية من ∩∪ ويمكن أن تتحقق في ظل ظروف معينة، كما هو الحال في 7e ، وهي الحالة الخاصة حيث(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}يكون(لأنا∖Rج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}(إنه،Sأنا،ج:=لأنا∖Rج{\displaystyle S_{i,j}\colon =L_{i}\setminus R_{j}}مع نفس مجموعات الفهرسةأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}أو كما في 7f ، وهي الحالة الخاصة حيث(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}يكون(لأنا∖Rج)(ج،أنا)∈ج×أنا{\displaystyle \left(L_{i}\setminus R_{j}\right)_{(j,i)\in J\times I}}(إنه،S^ج،أنا:=لأنا∖Rج{\displaystyle {\hat {S}}_{j,i}\colon =L_{i}\setminus R_{j}}مع مجموعات الفهرسةأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}(تم تبديلها). للحصول على صيغة صحيحة تُوسّع قوانين التوزيع، يلزم اتباع نهج آخر غير مجرد التبديل.∪{\displaystyle \cup }و∩{\displaystyle \cap }مطلوب.

قوانين التوزيع الصحيحة

لنفترض أنه لكلأنا∈أنا،{\displaystyle i\in I,}جأنا{\displaystyle J_{i}}هي مجموعة فهارس غير فارغة ولكلج∈جأنا،{\displaystyle j\in J_{i},}يتركتيأنا،ج{\displaystyle T_{i,j}}أي مجموعة (على سبيل المثال، لتطبيق هذا القانون على(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج،{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}يستخدمجأنا:=ج{\displaystyle J_{i}\colon =J}للجميعأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}واستخدامتيأنا،ج:=Sأنا،ج{\displaystyle T_{i,j}\colon =S_{i,j}}للجميعأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}وكل شيءج∈جأنا=ج{\displaystyle j\in J_{i}=J}). يترك ∏ج∙ =تعريف ∏أنا∈أناجأنا{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}} يرمز إلى الضرب الديكارتي ، والذي يمكن تفسيره على أنه مجموعة جميع الدوالو : أنا → ⋃أنا∈أناجأنا{\displaystyle f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}}بحيثو(أنا)∈جأنا{\displaystyle f(i)\in J_{i}}لكلأنا∈أنا.{\displaystyle i\in I.}يمكن أيضًا الإشارة إلى هذه الدالة باستخدام ترميز المجموعة.(وأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}أينوأنا =تعريف و(أنا){\displaystyle f_{i}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(i)}لكلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}وبالعكس، مجموعة مرتبة(وأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}هي مجرد رمز للدالة ذات المجالأنا{\displaystyle I}قيمتها عندأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}يكونوأنا؛{\displaystyle f_{i};}يمكن استخدام كلا الترميزين للدلالة على عناصر∏ج∙.{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }.} ثم

أين∏ج∙ =تعريف ∏أنا∈أناجأنا.{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.}

تطبيق قوانين التوزيع

مثال تطبيقي : في الحالة الخاصة التي يكون فيها كلجأنا{\displaystyle J_{i}}متساويان (أي،جأنا=جأنا2{\displaystyle J_{i}=J_{i_{2}}}للجميعأنا،أنا2∈أنا،{\displaystyle i,i_{2}\in I,}وهذا هو الحال مع العائلة(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج،{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},}على سبيل المثال، دعج{\displaystyle J}إذا رمزنا لهذه المجموعة المشتركة، فسيكون الضرب الديكارتي هو∏ج∙ =تعريف ∏أنا∈أناجأنا=∏أنا∈أناج=جأنا،{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J=J^{I},}وهي مجموعة جميع الدوال من الشكلو : أنا → ج.{\displaystyle f~:~I~\to ~J.}تصبح المعادلات المذكورة أعلاه من المعادلة 5 إلى المعادلة 6 على التوالي كما يلي: [ 3 ]⋂أنا∈أنا⋃ج∈جSأنا،ج=⋃و∈جأنا⋂أنا∈أناSأنا،و(أنا){\displaystyle \bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\bigcup _{f\in J^{I}}\;\bigcap _{i\in I}S_{i,f(i)}}⋃أنا∈أنا⋂ج∈جSأنا،ج=⋂و∈جأنا⋃أنا∈أناSأنا،و(أنا){\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}=\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}}

والذي عند دمجه مع التضمين 1 ∪∩ هو مجموعة جزئية من ∩∪ يعني ما يلي: ⋃أنا∈أنا⋂ج∈جSأنا،ج = ⋂و∈جأنا⋃أنا∈أناSأنا،و(أنا)  ⊆  ⋃ز∈أناج⋂ج∈جSز(ج)،ج = ⋂ج∈ج⋃أنا∈أناSأنا،ج{\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}S_{i,j}~=~\bigcap _{f\in J^{I}}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,f(i)}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\bigcup _{g\in I^{J}}\;\bigcap _{j\in J}S_{g(j),j}~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}} أين

  • على الجانب الأيسر، المؤشراتو و أنا{\displaystyle f{\text{ and }}i}نطاق واسعو∈جأنا و أنا∈أنا{\displaystyle f\in J^{I}{\text{ and }}i\in I}(لذا فإن الرموز السفلية لـSأنا،و(أنا){\displaystyle S_{i,f(i)}}نطاق واسعأنا∈أنا و و(أنا)∈و(أنا)⊆ج{\displaystyle i\in I{\text{ and }}f(i)\in f(I)\subseteq J})
  • على الجانب الأيمن، المؤشراتز و ج{\displaystyle g{\text{ and }}j}نطاق واسعز∈أناج و ج∈ج{\displaystyle g\in I^{J}{\text{ and }}j\in J}(لذا فإن الرموز السفلية لـSز(ج)،ج{\displaystyle S_{g(j),j}}نطاق واسعج∈ج و ز(ج)∈ز(ج)⊆أنا{\displaystyle j\in J{\text{ and }}g(j)\in g(J)\subseteq I}).

مثال تطبيقي : لتطبيق الصيغة العامة على حالة(جك)ك∈ك{\displaystyle \left(C_{k}\right)_{k\in K}}و(دل)ل∈ل،{\displaystyle \left(D_{l}\right)_{l\in L},}يستخدمأنا:={1،2}،{\displaystyle I\colon =\{1,2\},}ج1:=ك،{\displaystyle J_{1}\colon =K,}ج2:=ل،{\displaystyle J_{2}\colon =L,}ودعتي1،ك:=جك{\displaystyle T_{1,k}\colon =C_{k}}للجميعك∈ج1{\displaystyle k\in J_{1}}ودعتي2،ل:=دل{\displaystyle T_{2,l}\colon =D_{l}}للجميعل∈ج2.{\displaystyle l\in J_{2}.} كل خريطةو∈∏ج∙ =تعريف ∏أنا∈أناجأنا=ج1×ج2=ك×ل{\displaystyle f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}=J_{1}\times J_{2}=K\times L}يمكن تحديدها بشكل تقابلي مع الزوج(و(1)،و(2))∈ك×ل{\displaystyle \left(f(1),f(2)\right)\in K\times L}(يرسل العكس(ك،ل)∈ك×ل{\displaystyle (k,l)\in K\times L}إلى الخريطةو(ك،ل)∈∏ج∙{\displaystyle f_{(k,l)}\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }}محدد بواسطة1↦ك{\displaystyle 1\mapsto k}و2↦ل؛{\displaystyle 2\mapsto l;}هذا من الناحية الفنية مجرد تغيير في الترميز). تذكر أن المعادلة 5 ∩∪ إلى ∪∩ كانت  ⋂أنا∈أنا⋃ج∈جأناتيأنا،ج=⋃و∈∏ج∙⋂أنا∈أناتيأنا،و(أنا). {\displaystyle ~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\bigcup _{f\in {\textstyle \prod }J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}.~} يؤدي توسيع وتبسيط الجانب الأيسر إلى ⋂أنا∈أنا⋃ج∈جأناتيأنا،ج=(⋃ج∈ج1تي1،ج)∩(⋃ج∈ج2تي2،ج)=(⋃ك∈كتي1،ك)∩(⋃ل∈لتي2،ل)=(⋃ك∈كجك)∩(⋃ل∈لدل){\displaystyle \bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J_{i}}T_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J_{1}}T_{1,j}\right)\cap \left(\;\bigcup _{j\in J_{2}}T_{2,j}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}T_{1,k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}T_{2,l}\right)=\left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \left(\;\bigcup _{l\in L}D_{l}\right)} وبفعل الشيء نفسه على الجانب الأيمن نحصل على: ⋃و∈∏ج∙⋂أنا∈أناتيأنا،و(أنا)=⋃و∈∏ج∙(تي1،و(1)∩تي2،و(2))=⋃و∈∏ج∙(جو(1)∩دو(2))=⋃(ك،ل)∈ك×ل(جك∩دل)=⋃ل∈لك∈ك،(جك∩دل).{\displaystyle \bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\;\bigcap _{i\in I}T_{i,f(i)}=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(T_{1,f(1)}\cap T_{2,f(2)}\right)=\bigcup _{f\in \prod J_{\bullet }}\left(C_{f(1)}\cap D_{f(2)}\right)=\bigcup _{(k,l)\in K\times L}\left(C_{k}\cap D_{l}\right)=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}

وبالتالي فإن المتطابقة العامة Eq. 5 ∩∪ إلى ∪∩ تختزل إلى معادلة المجموعة المعطاة سابقًا Eq. 3b : (⋃ك∈كجك)∩⋃ل∈لدل=⋃ل∈لك∈ك،(جك∩دل).{\displaystyle \left(\bigcup _{k\in K}C_{k}\right)\cap \;\bigcup _{l\in L}D_{l}=\bigcup _{\stackrel {k\in K,}{l\in L}}\left(C_{k}\cap D_{l}\right).}

توزيع عملية الطرح على ⋃ و ⋂

تُعرف الهويات التالية بقوانين دي مورغان . [ 4 ]

يمكن استنتاج معادلات المجموعات الأربع التالية من المعادلات 7أ - 7د أعلاه.

بشكل عام، التبديل الساذج∪{\displaystyle \;\cup \;}و∩{\displaystyle \;\cap \;}قد ينتج عن ذلك مجموعة مختلفة (انظر هذه الملاحظة لمزيد من التفاصيل). المتساويات ⋃أنا∈أنا⋂ج∈ج(لأنا∖Rج) = ⋂ج∈ج⋃أنا∈أنا(لأنا∖Rج) و ⋃ج∈ج⋂أنا∈أنا(لأنا∖Rج) = ⋂أنا∈أنا⋃ج∈ج(لأنا∖Rج){\displaystyle \bigcup _{i\in I}\;\bigcap _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)\quad {\text{ and }}\quad \bigcup _{j\in J}\;\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)~=~\bigcap _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}\left(L_{i}\setminus R_{j}\right)} وبالتالي، فإن المعادلتين 7هـ و 7 و غير عاديتين لأنهما تنصان تحديدًا على أن التبديل∪{\displaystyle \;\cup \;}و∩{\displaystyle \;\cap \;}لن يغير ذلك المجموعة الناتجة.

التبادلية والتجميعية لـ ⋃ و ⋂

خاصية التبديل : [ 3 ]

⋃ج∈جأنا∈أنا،Sأنا،ج  =تعريف ⋃(أنا،ج)∈أنا×جSأنا،ج = ⋃أنا∈أنا(⋃ج∈جSأنا،ج) = ⋃ج∈ج(⋃أنا∈أناSأنا،ج){\displaystyle \bigcup _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcup _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcup _{i\in I}\left(\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcup _{j\in J}\left(\bigcup _{i\in I}S_{i,j}\right)}

⋂ج∈جأنا∈أنا،Sأنا،ج  =تعريف ⋂(أنا،ج)∈أنا×جSأنا،ج = ⋂أنا∈أنا(⋂ج∈جSأنا،ج) = ⋂ج∈ج(⋂أنا∈أناSأنا،ج){\displaystyle \bigcap _{\stackrel {i\in I,}{j\in J}}S_{i,j}~~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\bigcap _{(i,j)\in I\times J}S_{i,j}~=~\bigcap _{i\in I}\left(\bigcap _{j\in J}S_{i,j}\right)~=~\bigcap _{j\in J}\left(\bigcap _{i\in I}S_{i,j}\right)}

اتحادات الاتحادات وتقاطعات التقاطعات : [ 3 ]

(⋃أنا∈أنالأنا)∪R = ⋃أنا∈أنا(لأنا∪R){\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\cup R~=~\bigcup _{i\in I}\left(L_{i}\cup R\right)}(⋂أنا∈أنالأنا)∩R = ⋂أنا∈أنا(لأنا∩R){\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\cap R~=~\bigcap _{i\in I}\left(L_{i}\cap R\right)} و [ 3 ]

وإذاأنا=ج{\displaystyle I=J}ثم أيضًا: [ ملاحظة 2 ] [ 3 ]

حاصل الضرب الديكارتي Π للعديد من المجموعات

تقاطعات ⋂ من Π

لو(Sأنا،ج)(أنا،ج)∈أنا×ج{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}إذن، هي عائلة من المجموعات

  • علاوة على ذلك، فإن المجموعة المرتبة(xأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}ينتمي إلى المجموعة في المعادلة 8 أعلاه إذا وفقط إذاxأنا∈Sأنا،ج{\displaystyle x_{i}\in S_{i,j}}للجميعأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}وكل شيءج∈ج.{\displaystyle j\in J.}

على وجه الخصوص، إذا(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}و(Rأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(R_{i}\right)_{i\in I}}إذا كانت عائلتان مفهرستان بنفس المجموعة، (∏أنا∈أنالأنا)∩∏أنا∈أناRأنا = ∏أنا∈أنا(لأنا∩Rأنا){\displaystyle \left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)\cap \prod _{i\in I}R_{i}~=~\prod _{i\in I}\left(L_{i}\cap R_{i}\right)} فعلى سبيل المثال، (ل×R)∩(ل2×R2) = (ل∩ل2)×(R∩R2){\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}(ل×R)∩(ل2×R2)∩(ل3×R3) = (ل∩ل2∩ل3)×(R∩R2∩R3){\displaystyle (L\times R)\cap \left(L_{2}\times R_{2}\right)\cap \left(L_{3}\times R_{3}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\cap L_{3}\right)\times \left(R\cap R_{2}\cap R_{3}\right)}و (ل×م×R)∩(ل2×م2×R2) = (ل∩ل2)×(م∩م2)×(R∩R2){\displaystyle (L\times M\times R)\cap \left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(M\cap M_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)}

تقاطعات المنتجات المفهرسة بواسطة مجموعات مختلفة

يترك(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}و(Rج)ج∈ج{\displaystyle \left(R_{j}\right)_{j\in J}}أن تكونا عائلتين مفهرستين بمجموعات مختلفة.

من الناحية الفنية،أنا≠ج{\displaystyle I\neq J}يشير إلى(∏أنا∈أنالأنا)∩∏ج∈جRج=∅.{\displaystyle \left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\varnothing .} However, sometimes these products are somehow identified as the same set through some bijection or one of these products is identified as a subset of the other via some injective map, in which case (by abuse of notation) this intersection may be equal to some other (possibly non-empty) set.

  • For example, if I:={1,2}{\displaystyle I:=\{1,2\}} and J:={1,2,3}{\displaystyle J:=\{1,2,3\}} with all sets equal to R{\displaystyle \mathbb {R} } then ∏i∈ILi=∏i∈{1,2}R=R2{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}={\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}} and ∏j∈JRj=∏j∈{1,2,3}R=R3{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}={\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}} where R2∩R3=∅{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cap \mathbb {R} ^{3}=\varnothing }unless, for example, ∏i∈{1,2}R=R2{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in \{1,2\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}} is identified as a subset of ∏j∈{1,2,3}R=R3{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in \{1,2,3\}}}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}} through some injection, such as maybe (x,y)↦(x,y,0){\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,0)} for instance; however, in this particular case the product ∏i∈I={1,2}Li{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I=\{1,2\}}}L_{i}} actually represents the J{\displaystyle J}-indexed product ∏j∈J={1,2,3}Li{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J=\{1,2,3\}}}L_{i}} where L3:={0}.{\displaystyle L_{3}:=\{0\}.}
  • For another example, take I:={1,2}{\displaystyle I:=\{1,2\}} and J:={1,2,3}{\displaystyle J:=\{1,2,3\}} with L1:=R2{\displaystyle L_{1}:=\mathbb {R} ^{2}} and L2,R1,R2, and R3{\displaystyle L_{2},R_{1},R_{2},{\text{ and }}R_{3}} all equal to R.{\displaystyle \mathbb {R} .} Then ∏i∈ILi=R2×R{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} } and ∏j∈JRj=R×R×R,{\displaystyle {\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ,} which can both be identified as the same set via the bijection that sends ((x,y),z)∈R2×R{\displaystyle ((x,y),z)\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} } to (x,y,z)∈R×R×R.{\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .} Under this identification, (∏i∈ILi)∩∏j∈JRj = R3.{\displaystyle \left({\textstyle \prod \limits _{i\in I}}L_{i}\right)\cap \,{\textstyle \prod \limits _{j\in J}}R_{j}~=~\mathbb {R} ^{3}.}

Binary ⨯ distributes over arbitrary ⋃ and ⋂

The binary Cartesian product ⨯ distributes over arbitrary intersections (when the indexing set is not empty) and over arbitrary unions:

L×(⋃i∈IRi)=⋃i∈I(L×Ri) (Left-distributivity of × over ∪)L×(⋂i∈IRi)=⋂i∈I(L×Ri) (Left-distributivity of × over ⋂i∈I when I≠∅)(⋃i∈ILi)×R=⋃i∈I(Li×R) (Right-distributivity of × over ∪)(⋂i∈ILi)×R=⋂i∈I(Li×R) (Right-distributivity of × over ⋂i∈I when I≠∅){\displaystyle {\begin{alignedat}{5}L\times \left(\bigcup _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]L\times \left(\bigcap _{i\in I}R_{i}\right)&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L\times R_{i})\qquad &&{\text{ (Left-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcup _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\cup \,{\text{)}}\\[1.4ex]\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\times R&\;=\;\;&&\bigcap _{i\in I}(L_{i}\times R)\qquad &&{\text{ (Right-distributivity of }}\,\times \,{\text{ over }}\,\bigcap _{i\in I}\,{\text{ when }}I\neq \varnothing \,{\text{)}}\\[1.4ex]\end{alignedat}}}

Distributing arbitrary Π over arbitrary ⋃

Suppose that for each i∈I,{\displaystyle i\in I,}Ji{\displaystyle J_{i}} is a non-empty index set and for each j∈Ji,{\displaystyle j\in J_{i},} let Ti,j{\displaystyle T_{i,j}} be any set (for example, to apply this law to (Si,j)(i,j)∈I×J,{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J},} use Ji:=J{\displaystyle J_{i}\colon =J} for all i∈I{\displaystyle i\in I} and use Ti,j:=Si,j{\displaystyle T_{i,j}\colon =S_{i,j}} for all i∈I{\displaystyle i\in I} and all j∈Ji=J{\displaystyle j\in J_{i}=J}). Let ∏J∙ =def ∏i∈IJi{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{i\in I}J_{i}} denote the Cartesian product, which (as mentioned above) can be interpreted as the set of all functions f : I → ⋃i∈IJi{\displaystyle f~:~I~\to ~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}J_{i}} such that f(i)∈Ji{\displaystyle f(i)\in J_{i}} for every i∈I{\displaystyle i\in I}. Then

where ∏J∙ =def ∏i∈IJi.{\displaystyle {\textstyle \prod }J_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~{\textstyle \prod \limits _{i\in I}}J_{i}.}

Unions ⋃ of Π

For unions, only the following is guaranteed in general: ⋃j∈J∏i∈ISi,j  ⊆  ∏i∈I⋃j∈JSi,j and ⋃i∈I∏j∈JSi,j  ⊆  ∏j∈J⋃i∈ISi,j{\displaystyle \bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\qquad {\text{ and }}\qquad \bigcup _{i\in I}\;\prod _{j\in J}S_{i,j}~~\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~~\prod _{j\in J}\;\bigcup _{i\in I}S_{i,j}} where (Si,j)(i,j)∈I×J{\displaystyle \left(S_{i,j}\right)_{(i,j)\in I\times J}} is a family of sets.

  • Example where equality fails: Let I=J={1,2},{\displaystyle I=J=\{1,2\},} let S1,1=S2,2=∅,{\displaystyle S_{1,1}=S_{2,2}=\varnothing ,} let X≠∅,{\displaystyle X\neq \varnothing ,} and let S1,2=S2,1=X.{\displaystyle S_{1,2}=S_{2,1}=X.} Then ∅=∅∪∅=(∏i∈ISi,1)∪(∏i∈ISi,2)=⋃j∈J∏i∈ISi,j  ≠  ∏i∈I⋃j∈JSi,j=(⋃j∈JS1,j)×(⋃j∈JS2,j)=X×X.{\displaystyle \varnothing =\varnothing \cup \varnothing =\left(\prod _{i\in I}S_{i,1}\right)\cup \left(\prod _{i\in I}S_{i,2}\right)=\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}~~\color {Red}{\neq }\color {Black}{}~~\prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}=\left(\bigcup _{j\in J}S_{1,j}\right)\times \left(\bigcup _{j\in J}S_{2,j}\right)=X\times X.} More generally, ∅=⋃j∈J∏i∈ISi,j{\textstyle \varnothing =\bigcup _{j\in J}\;\prod _{i\in I}S_{i,j}} if and only if for each j∈J,{\displaystyle j\in J,} at least one of the sets in the I{\displaystyle I}-indexed collections of sets S∙,j=(Si,j)i∈I{\displaystyle S_{\bullet ,j}=\left(S_{i,j}\right)_{i\in I}} is empty, while ∏i∈I⋃j∈JSi,j≠∅{\textstyle \prod _{i\in I}\;\bigcup _{j\in J}S_{i,j}\neq \varnothing } if and only if for each i∈I,{\displaystyle i\in I,} at least one of the sets in the J{\displaystyle J}-indexed collections of sets Si,∙=(Si,j)j∈J{\displaystyle S_{i,\bullet }=\left(S_{i,j}\right)_{j\in J}} is not empty.

However, (L×R) ∪ (L2×R2) = [(L∖L2)×R] ∪ [(L2∖L)×R2] ∪ [(L∩L2)×(R∪R2)] = [L×(R∖R2)] ∪ [L2×(R2∖R)] ∪ [(L∪L2)×(R∩R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\cup ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\setminus L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[\left(L_{2}\setminus L\right)\times R_{2}\right]~\cup ~\left[\left(L\cap L_{2}\right)\times \left(R\cup R_{2}\right)\right]\\[0.5ex]~&=~\left[L\times \left(R\setminus R_{2}\right)\right]~\cup ~\left[L_{2}\times \left(R_{2}\setminus R\right)\right]~\cup ~\left[\left(L\cup L_{2}\right)\times \left(R\cap R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}}

Difference \ of Π

If (Li)i∈I{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}} and (Ri)i∈I{\displaystyle \left(R_{i}\right)_{i\in I}} are two families of sets then: (∏i∈ILi) ∖ ∏i∈IRi =  ⋃j∈I ∏i∈I{Lj∖Rj if i=jLi if i≠j =  ⋃j∈I [(Lj∖Rj) × ∏j≠ii∈I,Li] = ⋃Lj⊈Rjj∈I,[(Lj∖Rj) × ∏j≠ii∈I,Li]{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\setminus ~\prod _{i\in I}R_{i}~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~\prod _{i\in I}{\begin{cases}L_{j}\,\setminus \,R_{j}&{\text{ if }}i=j\\L_{i}&{\text{ if }}i\neq j\\\end{cases}}\\[0.5ex]~&=~\;~\bigcup _{j\in I}\;~{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.5ex]~&=~\bigcup _{\stackrel {j\in I,}{L_{j}\not \subseteq R_{j}}}{\Big [}\left(L_{j}\,\setminus \,R_{j}\right)~\times ~\prod _{\stackrel {i\in I,}{j\neq i}}L_{i}{\Big ]}\\[0.3ex]\end{alignedat}}} so for instance, (L×R) ∖ (L2×R2) = [(L∖L2)×R] ∪ [L×(R∖R2)]{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(L\times R\right)~\setminus ~\left(L_{2}\times R_{2}\right)~&=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]\\\end{alignedat}}} and (L×M×R) ∖ (L2×M2×R2) = [(L∖L2)×M×R] ∪ [L×(M∖M2)×R] ∪ [L×M×(R∖R2)]{\displaystyle (L\times M\times R)~\setminus ~\left(L_{2}\times M_{2}\times R_{2}\right)~=~\left[\left(L\,\setminus \,L_{2}\right)\times M\times R\right]~\cup ~\left[L\times \left(M\,\setminus \,M_{2}\right)\times R\right]~\cup ~\left[L\times M\times \left(R\,\setminus \,R_{2}\right)\right]}

Symmetric difference ∆ of Π

(∏i∈ILi) △ (∏i∈IRi) =  (∏i∈ILi) ∪ (∏i∈IRi)∖∏i∈ILi∩Ri{\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\triangle ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)~&=~\;~\left(\prod _{i\in I}L_{i}\right)~\cup ~\left(\prod _{i\in I}R_{i}\right)\;\setminus \;\prod _{i\in I}L_{i}\cap R_{i}\\[0.5ex]\end{alignedat}}}

Functions and sets

Let f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} be any function.

Let L and R{\displaystyle L{\text{ and }}R} be completely arbitrary sets. Assume A⊆X and C⊆Y.{\displaystyle A\subseteq X{\text{ and }}C\subseteq Y.}

Definitions

Let f:X→Y{\displaystyle f:X\to Y} be any function, where we denote its domainX{\displaystyle X} by domain⁡f{\displaystyle \operatorname {domain} f} and denote its codomainY{\displaystyle Y} by codomain⁡f.{\displaystyle \operatorname {codomain} f.}

Many of the identities below do not actually require that the sets be somehow related to f{\displaystyle f}'s domain or codomain (that is, to X{\displaystyle X} or Y{\displaystyle Y}) so when some kind of relationship is necessary then it will be clearly indicated. Because of this, in this article, if L{\displaystyle L} is declared to be "any set," and it is not indicated that L{\displaystyle L} must be somehow related to X{\displaystyle X} or Y{\displaystyle Y} (say for instance, that it be a subset X{\displaystyle X} or Y{\displaystyle Y}) then it is meant that L{\displaystyle L}هو أمرٌ اعتباطيٌّ حقًّا. [ ملاحظة 3 ] هذه العمومية مفيدة في الحالات التيو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هي دالة بين مجموعتين جزئيتينX⊆يو{\displaystyle X\subseteq U}وY⊆V{\displaystyle Y\subseteq V}من بعض المجموعات الأكبريو{\displaystyle U}وV،{\displaystyle V,}ومكان المجموعةل{\displaystyle L}قد لا يكون محصوراً بالكامل فيX=اِختِصاص⁡و{\displaystyle X=\operatorname {domain} f}و/أوY=نطاق مشترك⁡و{\displaystyle Y=\operatorname {codomain} f}(على سبيل المثال، إذا كان كل ما هو معروف عنل{\displaystyle L}هل هذال⊆يو{\displaystyle L\subseteq U}في مثل هذه الحالة، قد يكون من المفيد معرفة ما يمكن وما لا يمكن قوله عنو(ل){\displaystyle f(L)}و/أوو-1(ل){\displaystyle f^{-1}(L)}دون الحاجة إلى إدخال تقاطع (قد يكون غير ضروري) مثل:و(ل∩X){\displaystyle f(L\cap X)}و/أوو-1(ل∩Y).{\displaystyle f^{-1}(L\cap Y).}

صور ومجموعات الصور

لول{\displaystyle L}أي مجموعة ، فإن صورتهال{\displaystyle L}تحتو{\displaystyle f}تُعرَّف بأنها المجموعة: و(ل) =تعريف {و(ل) : ل∈ل∩اِختِصاص⁡و}{\displaystyle f(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,f(l)~:~l\in L\cap \operatorname {domain} f\,\}} بينما الصورة الأصلية لـل{\displaystyle L}تحتو{\displaystyle f}يكون: و-1(ل) =تعريف {x∈اِختِصاص⁡و : و(x)∈ل}{\displaystyle f^{-1}(L)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in L\,\}} أين إذال={s}{\displaystyle L=\{s\}}إذا كانت مجموعة أحادية، فإن الألياف أو الصورة العكسية لـs{\displaystyle s}تحتو{\displaystyle f}يكون و-1(s) =تعريف و-1({s}) = {x∈اِختِصاص⁡و : و(x)=s}.{\displaystyle f^{-1}(s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f^{-1}(\{s\})~=~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)=s\,\}.}

يرمز بـأنا⁡و{\displaystyle \operatorname {Im} f}أوصورة⁡و{\displaystyle \operatorname {image} f}صورة أو نطاق​​و:X→Y،{\displaystyle f:X\to Y,}وهي المجموعة: أنا⁡و =تعريف و(X) =تعريف و(اِختِصاص⁡و) = {و(x) : x∈اِختِصاص⁡و}.{\displaystyle \operatorname {Im} f~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(X)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(\operatorname {domain} f)~=~\{f(x)~:~x\in \operatorname {domain} f\}.}

مجموعات مشبعة

مجموعةأ{\displaystyle A}يقال إنهو{\displaystyle f}- مشبع أو أمجموعة مشبعة إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية: [ 3 ]

  1. توجد مجموعةR{\displaystyle R}بحيثأ=و-1(R).{\displaystyle A=f^{-1}(R).}
    • أي مجموعة من هذا القبيلR{\displaystyle R}يحتوي بالضرورة علىو(أ){\displaystyle f(A)}كمجموعة فرعية.
    • أي مجموعة لا تقع بالكامل ضمن نطاقو{\displaystyle f}لا يمكن أن يكونو{\displaystyle f}مشبع.
  2. أ=و-1(و(أ)).{\displaystyle A=f^{-1}(f(A)).}
  3. أ⊇و-1(و(أ)){\displaystyle A\supseteq f^{-1}(f(A))}وأ⊆اِختِصاص⁡و.{\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f.}
    • الإدماجل∩اِختِصاص⁡و⊆و-1(و(ل)){\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\subseteq f^{-1}(f(L))}دائماً ما يكون صحيحاً، حيث إذاأ⊆اِختِصاص⁡و{\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f}ثم يصبح هذاأ⊆و-1(و(أ)).{\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A)).}
  4. أ⊆اِختِصاص⁡و{\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f}وإذاأ∈أ{\displaystyle a\in A}وx∈اِختِصاص⁡و{\displaystyle x\in \operatorname {domain} f}مُرضٍو(x)=و(أ)،{\displaystyle f(x)=f(a),}ثمx∈أ.{\displaystyle x\in A.}
  5. كلما كانت أليافو{\displaystyle f}يتقاطعأ،{\displaystyle A,}ثمأ{\displaystyle A}يحتوي على الألياف كاملة. بعبارة أخرى،أ{\displaystyle A}يحتوي على كلو{\displaystyle f}الألياف التي تتقاطع معها.
    • بشكل صريح: كلماy∈أنا⁡و{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f}بحيثأ∩و-1(y)≠∅،{\displaystyle A\cap f^{-1}(y)\neq \varnothing ,}ثمو-1(y)⊆أ.{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq A.}
    • في كل من هذا البيان والبيان التالي، المجموعةأنا⁡و{\displaystyle \operatorname {Im} f}يمكن استبدالها بأي مجموعة فرعية منأنا⁡و{\displaystyle \operatorname {Im} f}(مثلنطاق مشترك⁡و{\displaystyle \operatorname {codomain} f}) وستظل العبارة الناتجة مكافئة للباقي.
  6. تقاطعأ{\displaystyle A}بألياف منو{\displaystyle f}يساوي المجموعة الفارغة أو الألياف نفسها.
    • بشكل صريح: لكلy∈أنا⁡و،{\displaystyle y\in \operatorname {Im} f,}التقاطعأ∩و-1(y){\displaystyle A\cap f^{-1}(y)}يساوي المجموعة الفارغة∅{\displaystyle \varnothing }أو إلىو-1(y){\displaystyle f^{-1}(y)}(إنه،أ∩و-1(y)=∅{\displaystyle A\cap f^{-1}(y)=\varnothing }أوأ∩و-1(y)=و-1(y){\displaystyle A\cap f^{-1}(y)=f^{-1}(y)}).

لمجموعةأ{\displaystyle A}يكونو{\displaystyle f}-مشبعة، من الضروري أنأ⊆اِختِصاص⁡و.{\displaystyle A\subseteq \operatorname {domain} f.}

تركيبات وقيود الوظائف

لوو{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}هل الخرائط إذنز∘و{\displaystyle g\circ f}يشير إلى خريطة التركيبز∘و : {x∈اِختِصاص⁡و : و(x)∈اِختِصاص⁡ز} → نطاق مشترك⁡ز{\displaystyle g\circ f~:~\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}~\to ~\operatorname {codomain} g} مع المجال والمجال المقابل اِختِصاص⁡(ز∘و)={x∈اِختِصاص⁡و : و(x)∈اِختِصاص⁡ز}نطاق مشترك⁡(ز∘و)=نطاق مشترك⁡ز{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {domain} (g\circ f)&=\{\,x\in \operatorname {domain} f~:~f(x)\in \operatorname {domain} g\,\}\\[0.4ex]\operatorname {codomain} (g\circ f)&=\operatorname {codomain} g\\[0.7ex]\end{alignedat}}} محدد بواسطة (ز∘و)(x) =تعريف ز(و(x)).{\displaystyle (g\circ f)(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~g(f(x)).}

تقييد​​و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لل،{\displaystyle L,}يرمز إليه بـو|ل،{\displaystyle f{\big \vert }_{L},}هذه هي الخريطة و|ل : ل∩اِختِصاص⁡و → Y{\displaystyle f{\big \vert }_{L}~:~L\cap \operatorname {domain} f~\to ~Y} معاِختِصاص⁡و|ل = ل∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle \operatorname {domain} f{\big \vert }_{L}~=~L\cap \operatorname {domain} f}يتم تحديده عن طريق الإرسالx∈ل∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle x\in L\cap \operatorname {domain} f}لو(x)؛{\displaystyle f(x);}إنه، و|ل(x) =تعريف و(x).{\displaystyle f{\big \vert }_{L}(x)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~f(x).} بدلاً عن ذلك، و|ل = و∘في⁡ {\displaystyle ~f{\big \vert }_{L}~=~f\circ \operatorname {In} ~}أين في⁡ : ل∩X→X {\displaystyle ~\operatorname {In} ~:~L\cap X\to X~}يشير إلى خريطة التضمين ، والتي يتم تعريفها بواسطةفي⁡(s) =تعريف s.{\displaystyle \operatorname {In} (s)~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~s.}

صور (مسبقة) لاتحادات وتقاطعات اعتباطية ⋃'s

لو(لأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(L_{i}\right)_{i\in I}}هي عائلة من المجموعات العشوائية المفهرسة بواسطةأنا≠∅{\displaystyle I\neq \varnothing }ثم: [ 5 ]و(⋂أنا∈أنالأنا) ⊆ ⋂أنا∈أناو(لأنا)و(⋃أنا∈أنالأنا) = ⋃أنا∈أناو(لأنا)و-1(⋃أنا∈أنالأنا) = ⋃أنا∈أناو-1(لأنا)و-1(⋂أنا∈أنالأنا) = ⋂أنا∈أناو-1(لأنا){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}~\;\;\;\bigcap _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcup _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}L_{i}\right)\;&~=~\;\bigcap _{i\in I}f^{-1}\left(L_{i}\right)\\\end{alignedat}}}

من بين هذه الهويات الأربع، صور التقاطعات هي فقط التي لا تُحفظ دائمًا. أما الصور الأصلية فتحفظ جميع عمليات المجموعات الأساسية. بينما تُحفظ عمليات الاتحاد بواسطة كل من الصور والصور الأصلية.

إذا كان كل شيءلأنا{\displaystyle L_{i}}نكونو{\displaystyle f}-مشبعة ثم⋂أنا∈أنالأنا{\displaystyle \bigcap _{i\in I}L_{i}}سيكونو{\displaystyle f}-تشبع والمساواة ستتحقق في العلاقة الأولى أعلاه؛ وهذا يعني تحديدًا:

لو(أأنا)أنا∈أنا{\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}هي عائلة من المجموعات الفرعية العشوائية منX=اِختِصاص⁡و،{\displaystyle X=\operatorname {domain} f,}وهذا يعني أنأأنا⊆X{\displaystyle A_{i}\subseteq X}للجميعأنا،{\displaystyle i,}عندئذٍ تصبح المعادلة الشرطية 10أ كما يلي:

الصور (السابقة) لعمليات المجموعة الثنائية

طوال الوقت، دعل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}لتكن أي مجموعات ولتكنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}أي دالة.

ملخص

كما يوضح الجدول أدناه، فإن تساوي المجموعات ليس مضمونًا فقط لصور : التقاطعات ، وطرح المجموعات، والاختلافات المتناظرة.

صورةالصورة الأصليةافتراضات إضافية حول المجموعات
    و(ل∪R) = و(ل)∪و(R){\displaystyle \,~~~~f(L\cup R)~=~f(L)\cup f(R)}[ 6 ]و-1(ل∪R) = و-1(ل)∪و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L\cup R)~=~f^{-1}(L)\cup f^{-1}(R)}[ 3 ]لا أحد
و(ل∩R) ⊆ و(ل)∩و(R){\displaystyle f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)}و-1(ل∩R) = و-1(ل)∩و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L\cap R)~=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)}[ 3 ]لا أحد
و(ل∖R) ⊇ و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)}و-1(ل)∖و-1(R)=و-1(ل∖R)=و-1(ل∖[R∩أنا⁡و])=و-1([ل∩أنا⁡و]∖R)=و-1([ل∩أنا⁡و]∖[R∩أنا⁡و]){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)\setminus f^{-1}(R)&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}[ 5 ] [ 3 ]لا أحد
و(X∖R) ⊇ و(X)∖و(R){\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)}X∖و-1(R)=و-1(Y∖R)=و-1(Y∖[R∩أنا⁡و])=و-1(أنا⁡و∖R)=و-1(أنا⁡و∖[R∩أنا⁡و]){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}X\setminus f^{-1}(R)&=f^{-1}(&&Y&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(&&Y&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(&&\operatorname {Im} f&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}[ ملاحظة 4 ]لا أحد
و(ل △ R) ⊇ و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)~\supseteq ~f(L)~\triangle ~f(R)}و-1(ل △ R) = و-1(ل) △ و-1(R){\displaystyle f^{-1}\left(L~\triangle ~R\right)~=~f^{-1}(L)~\triangle ~f^{-1}(R)}لا أحد

تحافظ الصور الأصلية على عمليات المجموعة

الصور العكسية للمجموعات تتصرف بشكل جيد فيما يتعلق بجميع عمليات المجموعات الأساسية:

و-1(ل∪R) = و-1(ل)∪و-1(R)و-1(ل∩R) = و-1(ل)∩و-1(R)و-1(ل∖R) = و-1(ل)∖و-1(R)و-1(ل△R) = و-1(ل)△و-1(R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L\cup R)~&=~f^{-1}(L)\cup f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\cap R)~&=~f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\setminus \,R)~&=~f^{-1}(L)\setminus \,f^{-1}(R)\\f^{-1}(L\,\triangle \,R)~&=~f^{-1}(L)\,\triangle \,f^{-1}(R)\\\end{alignedat}}}

بعبارة أخرى، تتوزع الصور الأصلية على الاتحادات والتقاطعات وطرح المجموعات والفرق المتناظر.

الصور وحدها تحافظ على الاتحادات

صور النقابات تُظهر سلوكاً حسناً:

و(ل∪R) = و(ل)∪و(R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cup R)~&=~f(L)\cup f(R)\\\end{alignedat}}}

لكن صور عمليات المجموعات الأساسية الأخرى ليست كذلك ، حيث أن ما يلي فقط هو المضمون بشكل عام:

و(ل∩R) ⊆ و(ل)∩و(R)و(ل∖R) ⊇ و(ل)∖و(R)و(ل△R) ⊇ و(ل)△و(R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subseteq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)\\\end{alignedat}}}

بعبارة أخرى، تتوزع الصور على الاتحادات، ولكن ليس بالضرورة على التقاطعات، أو طرح المجموعات، أو الفرق المتناظر. والقاسم المشترك بين هذه العمليات الثلاث الأخيرة هو طرح المجموعات: فهي إما طرح مجموعات أول∖R{\displaystyle L\setminus R}أو يمكن تعريفها بشكل طبيعي على أنها طرح مجموعتين: ل∩R=ل∖(ل∖R) و ل△R=(ل∪R)∖(ل∩R).{\displaystyle L\cap R=L\setminus (L\setminus R)\quad {\text{ and }}\quad L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R).}

لول=X{\displaystyle L=X}ثمو(X∖R)⊇و(X)∖و(R){\displaystyle f(X\setminus R)\supseteq f(X)\setminus f(R)}أما في الحالة الأكثر عمومية، فالمساواة غير مضمونة. إذاو{\displaystyle f}إذا كانت شاملةو(X∖R) ⊇ Y∖و(R)،{\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~Y\setminus f(R),}والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:و(R∁) ⊇ و(R)∁{\displaystyle f\left(R^{\complement }\right)~\supseteq ~f(R)^{\complement }}لوR∁ =تعريف X∖R{\displaystyle R^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~X\setminus R}وو(R)∁ =تعريف Y∖و(R).{\displaystyle f(R)^{\complement }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~Y\setminus f(R).}

أمثلة مضادة: صور لعمليات لا تقوم بالتوزيع

صورة توضحو{\displaystyle f}فشل التوزيع على تقاطع المجموعة :
و(أ1∩أ2)⊊و(أ1)∩و(أ2).{\displaystyle f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subsetneq f\left(A_{1}\right)\cap f\left(A_{2}\right).}
الخريطةو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }يتم تعريفها بواسطةx↦x2،{\displaystyle x\mapsto x^{2},}أينR{\displaystyle \mathbb {R} }يرمز إلى الأعداد الحقيقية . المجموعاتأ1=[-4،2]{\displaystyle A_{1}=[-4,2]}وأ2=[-2،4]{\displaystyle A_{2}=[-2,4]}تظهر باللون الأزرق أسفلها مباشرةx{\displaystyle x}المحور - بينما تقاطعهاأ3=[-2،2]{\displaystyle A_{3}=[-2,2]}يظهر باللون الأخضر .

لوو:{1،2}→Y{\displaystyle f:\{1,2\}\to Y}ثابت،ل={1}،{\displaystyle L=\{1\},}وR={2}{\displaystyle R=\{2\}}ثم جميع حاويات المجموعة الأربعة و(ل∩R) ⊊ و(ل)∩و(R)و(ل∖R) ⊋ و(ل)∖و(R)و(X∖R) ⊋ و(X)∖و(R)و(ل△R) ⊋ و(ل)△و(R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)~&\subsetneq ~f(L)\cap f(R)\\f(L\setminus R)~&\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)\\f(X\setminus R)~&\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)\\f(L\triangle R)~&\supsetneq ~f(L)\triangle f(R)\\\end{alignedat}}} تُعتبر هذه المعادلات صارمة/صحيحة (أي أن المجموعات غير متساوية) لأن أحد طرفيها مجموعة فارغة بينما الآخر غير فارغ. وبالتالي، لا يُضمن التساوي حتى لأبسط الدوال. يُعمم المثال السابق الآن لإظهار أن هذه المعادلات الأربع للمجموعات قد لا تتحقق لأي دالة ثابتة يحتوي مجالها على نقطتين (مختلفتين) على الأقل.

مثال :يتركو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لتكن أي دالة ثابتة صورتهاو(X)={y}{\displaystyle f(X)=\{y\}}ولنفترض أنل،R⊆X{\displaystyle L,R\subseteq X}هي مجموعات جزئية منفصلة غير فارغة؛ أيل≠∅،R≠∅،{\displaystyle L\neq \varnothing ,R\neq \varnothing ,}ول∩R=∅،{\displaystyle L\cap R=\varnothing ,}مما يعني أن جميع المجموعاتل △ R=ل∪R،{\displaystyle L~\triangle ~R=L\cup R,}ل∖R=ل،{\displaystyle \,L\setminus R=L,}وX∖R⊇ل∖R{\displaystyle X\setminus R\supseteq L\setminus R}ليست فارغة، وبالتالي فإن صورها تحتو{\displaystyle f}جميعها متساوية{y}.{\displaystyle \{y\}.}

  1. الاحتواء و(ل∖R) ⊋ و(ل)∖و(R) {\displaystyle ~f(L\setminus R)~\supsetneq ~f(L)\setminus f(R)~}صارم:{y} = و(ل∖R) ≠ و(ل)∖و(R) = {y}∖{y} = ∅{\displaystyle \{y\}~=~f(L\setminus R)~\neq ~f(L)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing } بعبارة أخرى: قد لا تتوزع الدوال على طرح المجموعات.∖{\displaystyle \,\setminus \,}
  2. الاحتواء و(X∖R) ⊋ و(X)∖و(R) {\displaystyle ~f(X\setminus R)~\supsetneq ~f(X)\setminus f(R)~}صارم:{y} = و(X∖R) ≠ و(X)∖و(R) = {y}∖{y} = ∅.{\displaystyle \{y\}~=~f(X\setminus R)~\neq ~f(X)\setminus f(R)~=~\{y\}\setminus \{y\}~=~\varnothing .}
  3. الاحتواء و(ل △ R) ⊋ و(ل) △ و(R) {\displaystyle ~f(L~\triangle ~R)~\supsetneq ~f(L)~\triangle ~f(R)~}صارم:{y} = و(ل △ R) ≠ و(ل) △ و(R) = {y}△{y} = ∅{\displaystyle \{y\}~=~f\left(L~\triangle ~R\right)~\neq ~f(L)~\triangle ~f(R)~=~\{y\}\triangle \{y\}~=~\varnothing } بعبارة أخرى: قد لا تتوزع الدوال على الفروق المتناظرة△{\displaystyle \,\triangle \,}(والتي يمكن تعريفها بأنها طرح مجموعتين من بعضهما البعض:ل△R=(ل∪R)∖(ل∩R){\displaystyle L\triangle R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)}).
  4. الاحتواء و(ل∩R) ⊊ و(ل)∩و(R) {\displaystyle ~f(L\cap R)~\subsetneq ~f(L)\cap f(R)~}صارم:∅ = و(∅) = و(ل∩R) ≠ و(ل)∩و(R) = {y}∩{y} = {y}{\displaystyle \varnothing ~=~f(\varnothing )~=~f(L\cap R)~\neq ~f(L)\cap f(R)~=~\{y\}\cap \{y\}~=~\{y\}} بعبارة أخرى: قد لا تتوزع الدوال على تقاطع المجموعات∩{\displaystyle \,\cap \,}(والتي يمكن تعريفها بأنها طرح مجموعتين من بعضهما البعض:ل∩R=ل∖(ل∖R){\displaystyle L\cap R=L\setminus (L\setminus R)}).

إن القاسم المشترك بين عمليات المجموعات في هذه الأمثلة الأربعة هو أنها إما عمليات طرح مجموعات أو∖{\displaystyle \setminus }(أمثلة (1) و (2)) أو يمكن تعريفها بشكل طبيعي على أنها طرح مجموعتين (أمثلة (3) و (4)).

تذكير : في الواقع، بالنسبة لكل صيغة من الصيغ الأربع المذكورة أعلاه التي لا يُضمن فيها المساواة، فإن اتجاه الاحتواء (أي ما إذا كان سيتم استخدام⊆ أو ⊇{\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,}يمكن دائمًا استنتاج ) من خلال تخيل الدالةو{\displaystyle f}باعتبارها ثابتة والمجموعتين (ل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}) باعتبارها مجموعات جزئية منفصلة غير فارغة من مجالها. وذلك لأن كل مساواة تفشل لمثل هذه الدالة والمجموعات: سيكون أحد الجانبين دائمًا∅{\displaystyle \varnothing }والآخر غير الفارغ - ومن هذه الحقيقة، يكون الاختيار الصحيح لـ⊆ أو ⊇{\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq \,}يمكن استنتاج ذلك من خلال الإجابة على السؤال التالي: "أي جانب فارغ؟" على سبيل المثال، لتحديد ما إذا كان؟{\displaystyle ؟} في و(ل△R)∖و(R)  ؟  و((ل△R)∖R){\displaystyle f(L\triangle R)\setminus f(R)~\;~?~\;~f((L\triangle R)\setminus R)} ينبغي أن يكون⊆ أو ⊇،{\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq ,\,}افترض [ ملاحظة 5 ] أنو{\displaystyle f}ثابت وأنل△R{\displaystyle L\triangle R}وR{\displaystyle R}هي مجموعات فرعية منفصلة غير فارغة منو{\displaystyle f}نطاق 's؛ عندئذٍ سيكون الجانب الأيسر فارغًا (لأنو(ل△R)∖و(R)={والقيمة الفردية}∖{والقيمة الفردية}=∅{\displaystyle f(L\triangle R)\setminus f(R)=\{f{\text{'s single value}}\}\setminus \{f{\text{'s single value}}\}=\varnothing }مما يشير إلى أن؟{\displaystyle \,?\,}ينبغي أن يكون⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}(يُضمن دائمًا أن تكون العبارة الناتجة صحيحة) لأن هذا هو الخيار الذي سيجعل ∅=الجانب الأيسر  ؟  الجانب الأيمن{\displaystyle \varnothing ={\text{left hand side}}~\;~?~\;~{\text{right hand side}}} صحيح. بدلاً من ذلك، يمكن استنتاج الاتجاه الصحيح للاحتواء من خلال النظر في أي ثابت.و:{1،2}→Y{\displaystyle f:\{1,2\}\to Y}معل={1}{\displaystyle L=\{1\}}وR={2}.{\displaystyle R=\{2\}.}

علاوة على ذلك، يمكن استخدام هذه الطريقة التذكيرية أيضًا لاستنتاج ما إذا كانت عملية المجموعة تتوزع دائمًا على الصور أو الصور الأصلية أم لا؛ على سبيل المثال، لتحديد ما إذا كانو(ل∩R){\displaystyle f(L\cap R)}دائماً يساويو(ل)∩و(R)،{\displaystyle f(L)\cap f(R),}أو بدلاً من ذلك، سواء كان ذلك أم لاو-1(ل∩R){\displaystyle f^{-1}(L\cap R)}دائماً يساويو-1(ل)∩و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L)\cap f^{-1}(R)}(بالرغم من∩{\displaystyle \,\cap \,}تم استخدامه هنا، ويمكن استبداله بـ∪،∖، أو △{\displaystyle \,\cup ,\,\setminus ,{\text{ or }}\,\triangle }يمكن استنتاج إجابة هذا السؤال، كما في السابق، من خلال النظر في هذه الدالة الثابتة: الإجابة للحالة العامة (أي، لأي قيمة عشوائية).و،ل،{\displaystyle f,L,}وR{\displaystyle R}) هو دائماً نفس الإجابة لهذا الاختيار من الدالة (الثابتة) والمجموعات غير الفارغة المنفصلة.

الشروط التي تضمن توزيع الصور على عمليات المجموعة

توصيفات متى تتحقق المساواة لجميع المجموعات :

لأي وظيفةو:X→Y،{\displaystyle f:X\to Y,}العبارات التالية متكافئة:

  1. و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو حقني .
    • هذا يعنى:و(x)≠و(y){\displaystyle f(x)\neq f(y)}لجميع المتميزينx،y∈X.{\displaystyle x,y\in X.}
  2. و(ل∩R)=و(ل)∩و(R) للجميع ل،R⊆X.{\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\,\cap \,f(R)\,{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}(علامة المساواة)={\displaystyle \,=\,}يمكن استبدالها بـ⊇{\displaystyle \,\supseteq \,}).
  3. و(ل∖R)=و(ل)∖و(R) للجميع ل،R⊆X.{\displaystyle f(L\,\setminus R)=f(L)\,\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}(علامة المساواة)={\displaystyle \,=\,}يمكن استبدالها بـ⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}).
  4. و(X∖R)=و(X)∖و(R) للجميع      R⊆X.{\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus \,f(R)\;{\text{ for all }}\,~~~~~R\subseteq X.}(علامة المساواة)={\displaystyle \,=\,}يمكن استبدالها بـ⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}).
  5. و(ل△R)=و(ل)△و(R) للجميع ل،R⊆X.{\displaystyle f(L\,\triangle \,R)=f(L)\,\triangle \,f(R)\;{\text{ for all }}\,L,R\subseteq X.}(علامة المساواة)={\displaystyle \,=\,}يمكن استبدالها بـ⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}).
  6. أي من العبارات الأربع (ب) - (هـ) ولكن مع استبدال عبارة "لكل" بأي من العبارات التالية:
    1. "لجميع المجموعات الفرعية الفردية "
      • وعلى وجه الخصوص، فإن العبارة الناتجة عن (د) تعطي توصيفًا للحقنية يتضمن صراحةً نقطة واحدة فقط (بدلاً من نقطتين):و{\displaystyle f}تكون دالة حقنية إذا وفقط إذاو(x)∉و(X∖{x}) لكل x∈X.{\displaystyle f(x)\not \in f(X\setminus \{x\})\;{\text{ for every }}\,x\in X.}
    2. "لكل المجموعات الفرعية المنفردة المنفصلة "
      • بالنسبة للعبارة (د)، هذا هو نفسه: "لكل المجموعات الفرعية المفردة" (لأن تعريف " المنفصلة زوجيًا " يتحقق بشكل فارغ بواسطة أي عائلة تتكون من مجموعة واحدة بالضبط).
    3. "لكل المجموعات الجزئية المنفصلة"

على وجه الخصوص، إذا لم يكن من المعروف أن الخريطة أحادية، فإنه باستثناء المعلومات الإضافية، لا يوجد ضمان بأن أيًا من المساواة في العبارات (ب) - (هـ) صحيحة.

يمكن استخدام المثال أعلاه للمساعدة في إثبات هذا الوصف. في الواقع، تشير مقارنة هذا المثال مع هذا البرهان إلى أن المثال يمثل السبب الجوهري الذي قد يجعل إحدى هذه المتساويات الأربع في العبارات (ب) - (هـ) غير صحيحة (أي أنه يمثل "ما يحدث خطأً" عندما لا تتحقق مساواة مجموعة).

شروط f(L⋂R) = f(L)⋂f(R)

و(ل∩R) ⊆ و(ل)∩و(R) دائماً ما يحتضن{\displaystyle f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\cap f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}

خصائص المساواة : العبارات التالية متكافئة:

  1. و(ل∩R) = و(ل)∩و(R){\displaystyle f(L\cap R)~=~f(L)\cap f(R)}
  2. و(ل∩R) ⊇ و(ل)∩و(R){\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R)}
  3. ل∩و-1(و(R)) ⊆ و-1(و(ل∩R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}
    • الجانب الأيسرل∩و-1(و(R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))}يساوي دائمًال∩و-1(و(ل)∩و(R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L)\cap f(R))}(لأنل∩و-1(و(R)) ⊆ و-1(و(ل)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}(دائماً ما يكون صحيحاً).
  4. R∩و-1(و(ل)) ⊆ و-1(و(ل∩R)){\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}
  5. ل∩و-1(و(R)) = و-1(و(ل∩R))∩ل{\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap L}
  6. R∩و-1(و(ل)) = و-1(و(ل∩R))∩R{\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~=~f^{-1}(f(L\cap R))\cap R}
  7. لول∈ل{\displaystyle l\in L}يرضيو(ل)∈و(R){\displaystyle f(l)\in f(R)}ثمو(ل)∈و(ل∩R).{\displaystyle f(l)\in f(L\cap R).}
  8. لوy∈و(ل){\displaystyle y\in f(L)}لكنy∉و(ل∩R){\displaystyle y\notin f(L\cap R)}ثمy∉و(R).{\displaystyle y\notin f(R).}
  9. و(ل)∖و(ل∩R) ⊆ و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\setminus \,f(R)}
  10. و(R)∖و(ل∩R) ⊆ و(R)∖و(ل){\displaystyle f(R)\,\setminus \,f(L\cap R)~\subseteq ~f(R)\,\setminus \,f(L)}
  11. و(ل∪R)∖و(ل∩R) ⊆ و(ل)△و(R){\displaystyle f(L\cup R)\setminus f(L\cap R)~\subseteq ~f(L)\,\triangle \,f(R)}
  12. أي من الشروط الثلاثة المذكورة أعلاه (i) - (k) ولكن مع رمز المجموعة الجزئية⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}تم استبدالها بعلامة يساوي=.{\displaystyle \,=.\,}

الشروط الكافية للمساواة : تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و{\displaystyle f}هو حقني. [ 7 ]
  2. التقييدو|ل∪R{\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}هو حقني.
  3. و-1(و(R)) ⊆ R{\displaystyle f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}[ ملاحظة 6 ]
  4. و-1(و(ل)) ⊆ ل{\displaystyle f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L}
  5. R{\displaystyle R}يكونو{\displaystyle f}مشبعة؛ أيو-1(و(R))=R{\displaystyle f^{-1}(f(R))=R}[ ملاحظة 6 ]
  6. ل{\displaystyle L}يكونو{\displaystyle f}مشبعة؛ أيو-1(و(ل))=ل{\displaystyle f^{-1}(f(L))=L}
  7. و(ل) ⊆ و(ل∩R){\displaystyle f(L)~\subseteq ~f(L\cap R)}
  8. و(R) ⊆ و(ل∩R){\displaystyle f(R)~\subseteq ~f(L\cap R)}
  9. و(ل∖R) ⊆ و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~\subseteq ~f(L)\setminus \,f(R)}أو ما يعادل ذلك،و(ل∖R) = و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\,\setminus \,R)~=~f(L)\setminus f(R)}
  10. و(R∖ل) ⊆ و(R)∖و(ل){\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~\subseteq ~f(R)\setminus \,f(L)}أو ما يعادل ذلك،و(R∖ل) = و(R)∖و(ل){\displaystyle f(R\,\setminus \,L)~=~f(R)\setminus f(L)}
  11. و(ل △ R)⊆و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}أو ما يعادل ذلك،و(ل △ R)=و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}
  12. R∩اِختِصاص⁡و⊆ل{\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq L}
  13. ل∩اِختِصاص⁡و⊆R{\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f\,\subseteq R}
  14. R⊆ل{\displaystyle R\subseteq L}
  15. ل⊆R{\displaystyle L\subseteq R}

بالإضافة إلى ذلك، تنطبق الأمور التالية دائمًا: و(و-1(ل)∩R) = ل∩و(R){\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)~=~L\cap f(R)}و(و-1(ل)∪R) = (ل∩أنا⁡و)∪و(R){\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cup R\right)~=~(L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)}

شروط f(L\R) = f(L)\f(R)

و(ل∖R) ⊇ و(ل)∖و(R) دائماً ما يحتضن{\displaystyle f(L\setminus R)~\supseteq ~f(L)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}

خصائص المساواة : العبارات التالية متكافئة: [ البرهان 1 ]

  1. و(ل∖R) = و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\setminus R)~=~f(L)\setminus f(R)}
  2. و(ل∖R) ⊆ و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\setminus R)~\subseteq ~f(L)\setminus f(R)}
  3. ل∩و-1(و(R)) ⊆ R{\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}
  4. ل∩و-1(و(R)) = ل∩R∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap R\cap \operatorname {domain} f}
  5. حينماy∈و(ل)∩و(R){\displaystyle y\in f(L)\cap f(R)}ثمل∩و-1(y)⊆R.{\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\subseteq R.}
  6. و(ل)∩و(R) ⊆ {y∈و(ل):ل∩و-1(y)⊆R}{\textstyle f(L)\cap f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}
    • المجموعة الموجودة على الجانب الأيمن تساوي دائمًا{y∈و(ل∩R):ل∩و-1(y)⊆R}.{\displaystyle \left\{y\in f(L\cap R):L\cap f^{-1}(y)\,\subseteq R\right\}.}
  7. و(ل)∩و(R) = {y∈و(ل):ل∩و-1(y)⊆R}{\textstyle f(L)\cap f(R)~=~\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}
    • هذا هو الشرط (و) المذكور أعلاه ولكن مع رمز المجموعة الجزئية⊆{\displaystyle \,\subseteq \,}تم استبدالها بعلامة يساوي=.{\displaystyle \,=.\,}

الشروط اللازمة للمساواة (باستثناء التوصيفات): إذا تحققت المساواة، فإن ما يلي صحيح بالضرورة:

  1. و(ل∩R)=و(ل)∩و(R)،{\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}أو ما يعادل ذلكو(ل∩R)⊇و(ل)∩و(R).{\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).}
  2. ل∩و-1(و(R)) = ل∩و-1(و(ل∩R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~L\cap f^{-1}(f(L\cap R))}أو ما يعادل ذلك،ل∩و-1(و(R)) ⊆ و-1(و(ل∩R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L\cap R))}
  3. R∩و-1(و(ل)) = R∩و-1(و(ل∩R)){\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}

الشروط الكافية للمساواة : تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و{\displaystyle f}هو حقني.
  2. التقييدو|ل∪R{\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}هو حقني.
  3. و-1(و(R)) ⊆ R{\displaystyle f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R}[ ملاحظة 6 ] أو ما يعادلها،R∩اِختِصاص⁡و = و-1(و(R)){\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f~=~f^{-1}(f(R))}
  4. R{\displaystyle R}يكونو{\displaystyle f}مشبعة؛ أيR=و-1(و(R)).{\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}[ ملاحظة 6 ]
  5. و(ل △ R)⊆و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}أو ما يعادل ذلك،و(ل △ R)=و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}
شروط f(X\R) = f(X)\f(R)

و(X∖R) ⊇ و(X)∖و(R) دائماً ما يكون صحيحاً، حيث و:X→Y{\displaystyle f(X\setminus R)~\supseteq ~f(X)\setminus f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds, where }}f:X\to Y}

خصائص المساواة : العبارات التالية متكافئة: [ البرهان 1 ]

  1. و(X∖R) = و(X)∖و(R){\displaystyle f(X\setminus R)~=~f(X)\setminus f(R)}
  2. و(X∖R) ⊆ و(X)∖و(R){\displaystyle f(X\setminus R)~\subseteq ~f(X)\setminus f(R)}
  3. و-1(و(R))⊆R{\displaystyle f^{-1}(f(R))\,\subseteq \,R}
  4. و-1(و(R))=R∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle f^{-1}(f(R))\,=\,R\cap \operatorname {domain} f}
  5. R∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle R\cap \operatorname {domain} f}يكونو{\displaystyle f}مشبع.
  6. حينماy∈و(R){\displaystyle y\in f(R)}ثمو-1(y)⊆R.{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq R.}
  7. و(R) ⊆ {y∈و(R):و-1(y)⊆R}{\textstyle f(R)~\subseteq ~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}
  8. و(R) = {y∈و(R):و-1(y)⊆R}{\textstyle f(R)~=~\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}

   أين إذاR⊆اِختِصاص⁡و{\displaystyle R\subseteq \operatorname {domain} f}ثم يمكن توسيع هذه القائمة لتشمل:

  1. R{\displaystyle R}يكونو{\displaystyle f}مشبعة؛ أيR=و-1(و(R)).{\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}

الشروط الكافية للمساواة : تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و{\displaystyle f}هو حقني.
  2. R{\displaystyle R}يكونو{\displaystyle f}مشبعة؛ أيR=و-1(و(R)).{\displaystyle R=f^{-1}(f(R)).}
شروط f(L∆R) = f(L)∆f(R)

و(ل △ R) ⊇ و(ل) △ و(R) دائماً ما يحتضن{\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)~\supseteq ~f(L)~\triangle ~f(R)\qquad \qquad {\text{ always holds}}}

خصائص المساواة : العبارات التالية متكافئة:

  1. و(ل △ R)=و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)=f(L)~\triangle ~f(R)}
  2. و(ل △ R)⊆و(ل) △ و(R){\displaystyle f\left(L~\triangle ~R\right)\subseteq f(L)~\triangle ~f(R)}
  3. و(ل∖R)=و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\,\setminus \,R)=f(L)\,\setminus \,f(R)} و و(R∖ل)=و(R)∖و(ل){\displaystyle f(R\,\setminus \,L)=f(R)\,\setminus \,f(L)}
  4. و(ل∖R)⊆و(ل)∖و(R){\displaystyle f(L\,\setminus \,R)\subseteq f(L)\,\setminus \,f(R)} و و(R∖ل)⊆و(R)∖و(ل){\displaystyle f(R\,\setminus \,L)\subseteq f(R)\,\setminus \,f(L)}
  5. ل∩و-1(و(R)) ⊆ R{\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~R} و R∩و-1(و(ل)) ⊆ ل{\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~L}
    • المكوناتل∩و-1(و(R)) ⊆ و-1(و(ل)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~\subseteq ~f^{-1}(f(L))}وR∩و-1(و(ل)) ⊆ و-1(و(R)){\displaystyle R\cap f^{-1}(f(L))~\subseteq ~f^{-1}(f(R))}تمسك دائمًا.
  6. ل∩و-1(و(R)) = R∩و-1(و(ل)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(R))~=~R\cap f^{-1}(f(L))}
    • إذا تحققت المساواة المذكورة أعلاه بين المجموعتين، فإن هذه المجموعة ستكون مساوية لكليهما أيضًا.ل∩R∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle L\cap R\cap \operatorname {domain} f}ول∩R∩و-1(و(ل∩R)).{\displaystyle L\cap R\cap f^{-1}(f(L\cap R)).}
  7. ل∩و-1(و(ل∩R)) = R∩و-1(و(ل∩R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))} و و(ل∩R) ⊇ و(ل)∩و(R).{\displaystyle f(L\cap R)~\supseteq ~f(L)\cap f(R).}

الشروط اللازمة للمساواة (باستثناء التوصيفات): إذا تحققت المساواة، فإن ما يلي صحيح بالضرورة:

  1. و(ل∩R)=و(ل)∩و(R)،{\displaystyle f(L\cap R)=f(L)\cap f(R),}أو ما يعادل ذلكو(ل∩R)⊇و(ل)∩و(R).{\displaystyle f(L\cap R)\supseteq f(L)\cap f(R).}
  2. ل∩و-1(و(ل∩R)) = R∩و-1(و(ل∩R)){\displaystyle L\cap f^{-1}(f(L\cap R))~=~R\cap f^{-1}(f(L\cap R))}

الشروط الكافية للمساواة : تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و{\displaystyle f}هو حقني.
  2. التقييدو|ل∪R{\displaystyle f{\big \vert }_{L\cup R}}هو حقني.

صيغ/معادلات دقيقة لصور عمليات المجموعات

صيغة f(L\R) =

لأي وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وأي مجموعاتل{\displaystyle L}وR،{\displaystyle R,}[ الإثبات 2 ]و(ل∖R)=Y   ∖{y∈Y           : ل∩و-1(y)⊆R}=و(ل)∖{y∈و(ل)        : ل∩و-1(y)⊆R}=و(ل)∖{y∈و(ل∩R) : ل∩و-1(y)⊆R}=و(ل)∖{y∈V             : ل∩و-1(y)⊆R} لأي مجموعة فرعية V⊇و(ل∩R)=و(S)∖{y∈و(S)        : ل∩و-1(y)⊆R} لأي مجموعة فرعية S⊇ل∩X.{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~~~~~~~\;\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in V~~~~~~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)\setminus \left\{y\in f(S)~~~~~~~\,~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq L\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

صيغة f(X\R) =

أخذل:=X=اِختِصاص⁡و{\displaystyle L:=X=\operatorname {domain} f}تعطي الصيغ المذكورة أعلاه ما يلي: و(X∖R)=Y   ∖{y∈Y    : و-1(y)⊆R}=و(X)∖{y∈و(X) : و-1(y)⊆R}=و(X)∖{y∈و(R) : و-1(y)⊆R}=و(X)∖{y∈دبليو   : و-1(y)⊆R} لأي مجموعة فرعية دبليو⊇و(R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(X\setminus R)&=Y~~~\;\,\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(X)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\\[0.4ex]&=f(X)\setminus \left\{y\in W~~~\;\,\,:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(R)\\[0.4ex]\end{alignedat}}} حيث المجموعة{y∈و(R):و-1(y)⊆R}{\displaystyle \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}يساوي الصورة الموجودة أسفلو{\displaystyle f}من أكبرو{\displaystyle f}مجموعة فرعية مشبعة منR.{\displaystyle R.}

  • بشكل عام، فقطو(X∖R)⊇و(X)∖و(R){\displaystyle f(X\setminus R)\,\supseteq \,f(X)\setminus f(R)}يبقى الوضع على حاله، والمساواة غير مضمونة؛ ولكن استبدال "و(R){\displaystyle f(R)}"مع مجموعتها الفرعية"{y∈و(R):و-1(y)⊆R}{\displaystyle \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}ينتج عن ذلك صيغة تضمن المساواة دائمًا : و(X∖R)=و(X)∖{y∈و(R):و-1(y)⊆R}.{\displaystyle f(X\setminus R)\,=\,f(X)\setminus \left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.} ويترتب على ذلك ما يلي: [ البرهان 1 ]و(X∖R)=و(X)∖و(R) إذا وفقط إذا و(R)={y∈و(R):و-1(y)⊆R} إذا وفقط إذا و-1(و(R))⊆R.{\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)\quad {\text{ if and only if }}\quad f(R)=\left\{y\in f(R):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\quad {\text{ if and only if }}\quad f^{-1}(f(R))\subseteq R.}
  • لووR:={y∈و(X):و-1(y)⊆R}{\displaystyle f_{R}:=\left\{y\in f(X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\}}ثمو(X∖R)=و(X)∖وR،{\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f_{R},}والتي يمكن كتابتها بشكل أكثر تناسقاً على النحو التاليو(X∖R)=وX∖وR{\displaystyle f(X\setminus R)=f_{X}\setminus f_{R}}(منذوX=و(X){\displaystyle f_{X}=f(X)}).
صيغة f(L∆R) =

ويترتب على ذلكل△R=(ل∪R)∖(ل∩R){\displaystyle L\,\triangle \,R=(L\cup R)\setminus (L\cap R)}والصيغ المذكورة أعلاه لصورة طرح مجموعة، والتي تنطبق على أي دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وأي مجموعاتل{\displaystyle L}وR،{\displaystyle R,}و(ل△R)=Y         ∖{y∈Y           : ل∩و-1(y)=R∩و-1(y)}=و(ل∪R)∖{y∈و(ل∪R) : ل∩و-1(y)=R∩و-1(y)}=و(ل∪R)∖{y∈و(ل∩R) : ل∩و-1(y)=R∩و-1(y)}=و(ل∪R)∖{y∈V             : ل∩و-1(y)=R∩و-1(y)} لأي مجموعة فرعية V⊇و(ل∩R)=و(S)      ∖{y∈و(S)       : ل∩و-1(y)=R∩و-1(y)} لأي مجموعة فرعية S⊇(ل∪R)∩X.{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\,\triangle \,R)&=Y~~~\;~~~\;~~~\;\setminus \left\{y\in Y~~~\,~~~\;~~~\,~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cup R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\\[0.4ex]&=f(L\cup R)\setminus \left\{y\in V~~~\,~~~~~~~~~~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(L\cap R)\\[0.4ex]&=f(S)~~\,~~~\,~\,\setminus \left\{y\in f(S)~~~\,~~~\;~:~L\cap f^{-1}(y)=R\cap f^{-1}(y)\right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad S\supseteq (L\cup R)\cap X.\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

صيغة f(L) =

يستنتج من الصيغ المذكورة أعلاه لطرح صورة مجموعة أنه لأي دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وأي مجموعةل،{\displaystyle L,}و(ل)=Y   ∖{y∈Y    : و-1(y)∩ل=∅}=أنا⁡و∖{y∈أنا⁡و : و-1(y)∩ل=∅}=دبليو   ∖{y∈دبليو   : و-1(y)∩ل=∅} لأي مجموعة فرعية دبليو⊇و(ل){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L)&=Y~~~\;\,\setminus \left\{y\in Y~~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\\[0.4ex]&=W~~~\,\setminus \left\{y\in W~~\;\,~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\qquad {\text{ for any superset }}\quad W\supseteq f(L)\\[0.7ex]\end{alignedat}}}

يمكن اعتبار هذا بسهولة أكبر نتيجة لحقيقة أنه بالنسبة لأيy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}و-1(y)∩ل=∅{\displaystyle f^{-1}(y)\cap L=\varnothing }إذا وفقط إذاy∉و(ل).{\displaystyle y\not \in f(L).}

صيغة f(L⋂R) =

يستنتج من الصيغ المذكورة أعلاه لصورة المجموعة أنه لأي دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وأي مجموعاتل{\displaystyle L}وR،{\displaystyle R,}و(ل∩R)=Y     ∖{y∈Y      : ل∩R∩و-1(y)=∅}=و(ل)∖{y∈و(ل) : ل∩R∩و-1(y)=∅}=و(ل)∖{y∈يو      : ل∩R∩و-1(y)=∅} لأي مجموعة فرعية يو⊇و(ل)=و(R)∖{y∈و(R) : ل∩R∩و-1(y)=∅}=و(R)∖{y∈V      : ل∩R∩و-1(y)=∅} لأي مجموعة فرعية V⊇و(R)=و(ل)∩و(R)∖{y∈و(ل)∩و(R) : ل∩R∩و-1(y)=∅}{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L\cap R)&=Y~~~~~\setminus \left\{y\in Y~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in f(L)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(L)\setminus \left\{y\in U~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad U\supseteq f(L)\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.4ex]&=f(R)\setminus \left\{y\in V~~~~~~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}\qquad &&{\text{ for any superset }}\quad V\supseteq f(R)\\[0.4ex]&=f(L)\cap f(R)\setminus \left\{y\in f(L)\cap f(R)~:~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing \right\}&&\\[0.7ex]\end{alignedat}}} وعلاوة على ذلك، لأيy∈Y،{\displaystyle y\in Y,}

ل∩و-1(y)⊆ل∖R {\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\subseteq L\setminus R~}إذا وفقط إذا ل∩R∩و-1(y)=∅ {\displaystyle ~L\cap R\cap f^{-1}(y)=\varnothing ~}إذا وفقط إذا R∩و-1(y)⊆R∖ل {\displaystyle ~R\cap f^{-1}(y)\subseteq R\setminus L~}إذا وفقط إذا y∉و(ل∩R).{\displaystyle ~y\not \in f(L\cap R).}

المجموعاتيو{\displaystyle U}وV{\displaystyle V}يمكن أن تكون المجموعات المذكورة أعلاه، على وجه الخصوص، أيًا من المجموعاتو(ل∪R)،أنا⁡و،{\displaystyle f(L\cup R),\;\operatorname {Im} f,}أوY،{\displaystyle Y,}على سبيل المثال.

الصور (السابقة) لعمليات المجموعات على الصور (السابقة)

يتركل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}لتكن مجموعات عشوائية،و:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}لتكن أي خريطة، ولتكنأ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وج⊆Y.{\displaystyle C\subseteq Y.}

صورة الصورة الأصليةالصورة الأصلية للصورةافتراضات إضافية حول المجموعات
و(و-1(ل)∩R)=ل∩و(R){\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cap R\right)=L\cap f(R)}[ 5 ]و-1(و(ل)∩R) ⊇ ل∩و-1(R){\displaystyle f^{-1}(f(L)\cap R)~\supseteq ~L\cap f^{-1}(R)}لا أحد
و(و-1(ل)∪R) = (ل∩أنا⁡و)∪و(R) ⊆ ل∪و(R){\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\cup R\right)~=~(L\cap \operatorname {Im} f)\cup f(R)~\subseteq ~L\cup f(R)}و-1(و(أ)∪R) ⊇ أ∪و-1(R){\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup R)~\supseteq ~A\cup f^{-1}(R)}[ 8 ]

تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و(أ)⊆R.{\displaystyle f(A)\subseteq R.}
  2. أ⊆و-1(R).{\displaystyle A\subseteq f^{-1}(R).}
أ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}

صور (ما قبل) العمليات على الصور

منذو(ل)∖و(ل∖R) = {y∈و(ل∩R) : ل∩و-1(y)⊆R}،{\displaystyle f(L)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}

و-1(و(ل)∖و(ل∖R))=و-1({y∈و(ل∩R) : ل∩و-1(y)⊆R})={x∈و-1(و(ل∩R)) : ل∩و-1(و(x))⊆R}{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(f(L)\setminus f(L\setminus R))&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(L\cap R)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in f^{-1}(f(L\cap R))~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\\end{alignedat}}}

منذو(X)∖و(ل∖R) = {y∈و(X) : ل∩و-1(y)⊆R}،{\displaystyle f(X)\setminus f(L\setminus R)~=~\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}و-1(Y∖و(ل∖R)) = و-1(و(X)∖و(ل∖R))=و-1({y∈و(X) : ل∩و-1(y)⊆R})={x∈X : ل∩و-1(و(x))⊆R} = X∖و-1(و(ل∖R)){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X)~:~L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{x\in X~:~L\cap f^{-1}(f(x))\subseteq R\right\}\\&~=~&&X\setminus f^{-1}(f(L\setminus R))\\\end{alignedat}}}

استخدامل:=X،{\displaystyle L:=X,}يصبح هذا و(X)∖و(X∖R) = {y∈و(R) : و-1(y)⊆R} {\displaystyle ~f(X)\setminus f(X\setminus R)~=~\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}~}و و-1(Y∖و(X∖R)) = و-1(و(X)∖و(X∖R))=و-1({y∈و(R) : و-1(y)⊆R})={ر∈R∩X : و-1(و(ر))⊆R}⊆R{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(X\setminus R))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(X\setminus R))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(R)~:~f^{-1}(y)\subseteq R\right\}\right)\\&=&&\left\{r\in R\cap X~:~f^{-1}(f(r))\subseteq R\right\}\\&\subseteq &&R\\\end{alignedat}}} وهكذا و-1(Y∖و(ل)) = و-1(و(X)∖و(ل))=و-1({y∈و(X∖ل) : و-1(y)∩ل=∅})={x∈X∖ل : و(x)∉و(ل)}=X∖و-1(و(ل))⊆X∖ل{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y\setminus f(L))&~=~&&f^{-1}(f(X)\setminus f(L))\\&=&&f^{-1}\left(\left\{y\in f(X\setminus L)~:~f^{-1}(y)\cap L=\varnothing \right\}\right)\\&=&&\{x\in X\setminus L~:~f(x)\not \in f(L)\}\\&=&&X\setminus f^{-1}(f(L))\\&\subseteq &&X\setminus L\\\end{alignedat}}}

الصور (السابقة) والمنتجات الديكارتية Π

يترك∏Y∙ =تعريف ∏ج∈جYج{\displaystyle \prod Y_{\bullet }~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\prod _{j\in J}Y_{j}}ولكلك∈ج،{\displaystyle k\in J,}يترك πك : ∏ج∈جYج → Yك{\displaystyle \pi _{k}~:~\prod _{j\in J}Y_{j}~\to ~Y_{k}} يشير إلى الإسقاط المتعارف عليه علىYك.{\displaystyle Y_{k}.}

التعريفات

بالنظر إلى مجموعة من الخرائطFج:X→Yج{\displaystyle F_{j}:X\to Y_{j}}مفهرسة بواسطةج∈ج،{\displaystyle j\in J,}حدد الخريطة (Fج)ج∈ج:X→∏ج∈جYجx↦(Fج(xج))ج∈ج،{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left(F_{j}\right)_{j\in J}:\;&&X&&\;\to \;&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&x&&\;\mapsto \;&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J},\\\end{alignedat}}} والذي يُشار إليه أيضًا بـF∙=(Fج)ج∈ج.{\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.}هذه هي الخريطة الفريدة التي تُرضي πج∘F∙=Fج للجميع ج∈ج.{\displaystyle \pi _{j}\circ F_{\bullet }=F_{j}\quad {\text{ for all }}j\in J.}

وعلى العكس من ذلك، إذا تم إعطاء خريطةF : X → ∏ج∈جYج{\displaystyle F~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}}ثمF=(πج∘F)ج∈ج.{\displaystyle F=\left(\pi _{j}\circ F\right)_{j\in J}.} وبعبارة أخرى، هذا يعني أنه إذا Fك =تعريف πك∘F : X → Yك{\displaystyle F_{k}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\pi _{k}\circ F~:~X~\to ~Y_{k}} يتم تعريفها لكلك∈ج،{\displaystyle k\in J,}ثمF{\displaystyle F}الخريطة الفريدة التي تحقق ما يلي:πج∘F=Fج{\displaystyle \pi _{j}\circ F=F_{j}}للجميعج∈ج؛{\displaystyle j\in J;}أو بعبارة أخرى،F=(Fج)ج∈ج.{\displaystyle F=\left(F_{j}\right)_{j\in J}.}

الخريطةF∙=(Fج)ج∈ج : X → ∏ج∈جYج{\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}}لا ينبغي الخلط بينه وبين المنتج الديكارتي∏ج∈جFج{\displaystyle \prod _{j\in J}F_{j}}من بين هذه الخرائط، والتي هي بحكم تعريفها الخريطة ∏ج∈جFج:∏ج∈جX → ∏ج∈جYج(xج)ج∈ج ↦ (Fج(xج))ج∈ج{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\prod _{j\in J}F_{j}:\;&&\prod _{j\in J}X&&~\;\to \;~&\prod _{j\in J}Y_{j}\\[0.3ex]&&\left(x_{j}\right)_{j\in J}&&~\;\mapsto \;~&\left(F_{j}\left(x_{j}\right)\right)_{j\in J}\\\end{alignedat}}} مع النطاق∏ج∈جX=Xج{\displaystyle \prod _{j\in J}X=X^{J}}بدلاً منX.{\displaystyle X.}

صورة أولية وصور لمنتج ديكارتي

يفترضF∙=(Fج)ج∈ج : X → ∏ج∈جYج.{\displaystyle F_{\bullet }=\left(F_{j}\right)_{j\in J}~:~X~\to ~\prod _{j\in J}Y_{j}.}

لوأ ⊆ X{\displaystyle A~\subseteq ~X}ثم F∙(أ)  ⊆  ∏ج∈جFج(أ).{\displaystyle F_{\bullet }(A)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\prod _{j\in J}F_{j}(A).}

لوب ⊆ ∏ج∈جYج{\displaystyle B~\subseteq ~\prod _{j\in J}Y_{j}}ثم F∙-1(ب)  ⊆  ⋂ج∈جFج-1(πج(ب)){\displaystyle F_{\bullet }^{-1}(B)~~\;\color {Red}{\subseteq }\color {Black}{}\;~~\bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)} حيث ستكون المساواة قائمة إذاب=∏ج∈جπج(ب)،{\displaystyle B=\prod _{j\in J}\pi _{j}(B),}وفي هذه الحالةF∙-1(ب)=⋂ج∈جFج-1(πج(ب)){\textstyle F_{\bullet }^{-1}(B)=\displaystyle \bigcap _{j\in J}F_{j}^{-1}\left(\pi _{j}(B)\right)}و

لكي تتحقق المساواة، يكفي وجود عائلة.(بج)ج∈ج{\displaystyle \left(B_{j}\right)_{j\in J}}من المجموعات الفرعيةبج⊆Yج{\displaystyle B_{j}\subseteq Y_{j}}بحيثب=∏ج∈جبج،{\displaystyle B=\prod _{j\in J}B_{j},}في هذه الحالة:

وπج(ب)=بج{\displaystyle \pi _{j}(B)=B_{j}}للجميعج∈ج.{\displaystyle j\in J.}

صورة (سابقة) لمجموعة واحدة

صورةالصورة الأصليةافتراضات إضافية
و(ل)=و(ل∩اِختِصاص⁡و)=و(ل∩X)=Y    ∖{y∈Y    :و-1(y)⊆X∖ل}=أنا⁡و∖{y∈أنا⁡و:و-1(y)⊆X∖ل}{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L)&=f(L\cap \operatorname {domain} f)\\&=f(L\cap X)\\&=Y~~~~\,\setminus \left\{y\in Y~~~~\,:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\&=\operatorname {Im} f\setminus \left\{y\in \operatorname {Im} f:f^{-1}(y)\subseteq X\setminus L\right\}\\\end{alignedat}}}و-1(ل)=و-1(ل∩أنا⁡و)=و-1(ل∩Y){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap \operatorname {Im} f)\\&=f^{-1}(L\cap Y)\end{alignedat}}}لا أحد
و(X)=أنا⁡و⊆Y{\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f\subseteq Y}و-1(Y)=Xو-1(أنا⁡و)=X{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(Y)&=X\\f^{-1}(\operatorname {Im} f)&=X\end{alignedat}}}لا أحد
و(ل)=و(ل∩R ∪ (ل∖R))=و(ل∩R) ∪ و(ل∖R){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f(L)&=f(L\cap R~&&\cup ~&&(&&L\setminus R))\\&=f(L\cap R)~&&\cup ~f&&(&&L\setminus R)\end{alignedat}}}و-1(ل)=و-1(ل∩R∪(ل∖R))=و-1(ل∩R)∪و-1(ل∖R)=و-1(ل∩R)∪و-1(ل∖[R∩أنا⁡و])=و-1(ل∩R)∪و-1([ل∩أنا⁡و]∖R)=و-1(ل∩R)∪و-1([ل∩أنا⁡و]∖[R∩أنا⁡و]){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f^{-1}(L)&=f^{-1}(L\cap R&&\cup &&(&&L&&\setminus &&R))\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&(&&L&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus &&R)\\&=f^{-1}(L\cap R)&&\cup f^{-1}&&([&&L\cap \operatorname {Im} f]&&\setminus [&&R\cap \operatorname {Im} f])\end{alignedat}}}لا أحد
أنا⁡و=و(X) = و(ل)∪و(X∖ل){\displaystyle \operatorname {Im} f=f(X)~=~f(L)\cup f(X\setminus L)}X=و-1(ل)∪و-1(Y∖ل)=و-1(ل)∪و-1(أنا⁡و∖ل){\displaystyle {\begin{alignedat}{4}X&=f^{-1}(L)\cup f^{-1}(Y&&\setminus L)\\&=f^{-1}(L)\cup f^{-1}(\operatorname {Im} f&&\setminus L)\end{alignedat}}}لا أحد
و|ل(R)=و(ل∩R){\displaystyle f{\big \vert }_{L}(R)=f(L\cap R)}(و|ل)-1(R)=ل∩و-1(R){\displaystyle \left(f{\big \vert }_{L}\right)^{-1}(R)=L\cap f^{-1}(R)}لا أحد
(ز∘و)(ل) = ز(و(ل)){\displaystyle (g\circ f)(L)~=~g(f(L))}(ز∘و)-1(ل) = و-1(ز-1(ل)){\displaystyle (g\circ f)^{-1}(L)~=~f^{-1}\left(g^{-1}(L)\right)}لا أحد (و{\displaystyle f}وز{\displaystyle g}(وظائف اختيارية).
و(و-1(ل))=ل∩أنا⁡و{\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\right)=L\cap \operatorname {Im} f}و-1(و(ل)) ⊇ ل∩و-1(أنا⁡و)=ل∩و-1(Y){\displaystyle f^{-1}(f(L))~\supseteq ~L\cap f^{-1}(\operatorname {Im} f)=L\cap f^{-1}(Y)}[ 5 ]لا أحد
و(و-1(Y))=و(و-1(أنا⁡و))=و(X){\displaystyle f\left(f^{-1}(Y)\right)=f\left(f^{-1}(\operatorname {Im} f)\right)=f(X)}و-1(و(X))=و-1(أنا⁡و)=X{\displaystyle f^{-1}(f(X))=f^{-1}(\operatorname {Im} f)=X}لا أحد
و(و-1(و(ل)))=و(ل){\displaystyle f\left(f^{-1}(f(L))\right)=f(L)}و-1(و(و-1(ل)))=و-1(ل){\displaystyle f^{-1}\left(f\left(f^{-1}(L)\right)\right)=f^{-1}(L)}لا أحد

احتواءات ⊆ وتقاطعات ⋂ الصور والصور الأصلية

معادلات وتداعيات الصور والصور الأصلية

صورةالصورة الأصليةافتراضات إضافية حول المجموعات
و(ل)⊆أنا⁡و⊆Y{\displaystyle f(L)\subseteq \operatorname {Im} f\subseteq Y}و-1(ل)=X{\displaystyle f^{-1}(L)=X}إذا وفقط إذاأنا⁡و⊆ل{\displaystyle \operatorname {Im} f\subseteq L}لا أحد
و(ل)=∅{\displaystyle f(L)=\varnothing }إذا وفقط إذال∩اِختِصاص⁡و=∅{\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f=\varnothing }و-1(ل)=∅{\displaystyle f^{-1}(L)=\varnothing }إذا وفقط إذال∩أنا⁡و=∅{\displaystyle L\cap \operatorname {Im} f=\varnothing }لا أحد
و(أ)=∅{\displaystyle f(A)=\varnothing }إذا وفقط إذاأ=∅{\displaystyle A=\varnothing }و-1(ج)=∅{\displaystyle f^{-1}(C)=\varnothing }إذا وفقط إذاج⊆Y∖أنا⁡و{\displaystyle C\subseteq Y\setminus \operatorname {Im} f}أ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وج⊆Y{\displaystyle C\subseteq Y}
ل⊆R{\displaystyle L\subseteq R}يشير إلىو(ل)⊆و(R){\displaystyle f(L)\subseteq f(R)}[ 5 ]ل⊆R{\displaystyle L\subseteq R}يشير إلىو-1(ل)⊆و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L)\subseteq f^{-1}(R)}[ 5 ]لا أحد
ما يلي متكافئ:
  1. و(ل)⊆و(R){\displaystyle f(L)\subseteq f(R)}
  2. و(ل∪R)=و(R){\displaystyle f(L\cup R)=f(R)}
  3. ل∩اِختِصاص⁡و ⊆ و-1(و(R)){\displaystyle L\cap \operatorname {domain} f~\subseteq ~f^{-1}(f(R))}
ما يلي متكافئ:
  1. و-1(ل)⊆و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L)\subseteq f^{-1}(R)}
  2. و-1(ل∪R)=و-1(R){\displaystyle f^{-1}(L\cup R)=f^{-1}(R)}
  3. ل∩أنا⁡و⊆R{\displaystyle L\cap \operatorname {Im} f\subseteq R}

لوج ⊆ أنا⁡و{\displaystyle C~\subseteq ~\operatorname {Im} f}ثمو-1(ج) ⊆ و-1(R){\displaystyle f^{-1}(C)~\subseteq ~f^{-1}(R)}إذا وفقط إذاج ⊆ R.{\displaystyle C~\subseteq ~R.}

ج⊆أنا⁡و{\displaystyle C\subseteq \operatorname {Im} f}
ما يلي متكافئ عندماج⊆Y:{\displaystyle C\subseteq Y:}
  1. ج⊆و(R){\displaystyle C\subseteq f(R)}
  2. و(ب)=ج{\displaystyle f(B)=C}بالنسبة للبعضب⊆R{\displaystyle B\subseteq R}
  3. و(ب)=ج{\displaystyle f(B)=C}بالنسبة للبعضب⊆R∩اِختِصاص⁡و{\displaystyle B\subseteq R\cap \operatorname {domain} f}
ما يلي متكافئ:
  1. ل⊆و-1(R){\displaystyle L\subseteq f^{-1}(R)}
  2. و(ل)⊆R{\displaystyle f(L)\subseteq R}ول⊆اِختِصاص⁡و{\displaystyle L\subseteq \operatorname {domain} f}

ما يلي متكافئ عندماأ⊆X:{\displaystyle A\subseteq X:}

  1. أ⊆و-1(R){\displaystyle A\subseteq f^{-1}(R)}
  2. و(أ)⊆R{\displaystyle f(A)\subseteq R}
أ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وج⊆Y{\displaystyle C\subseteq Y}
ما يلي متكافئ:
  1. و(أ) ⊇ و(X∖أ){\displaystyle f(A)~\supseteq ~f(X\setminus A)}
  2. و(أ)=أنا⁡و{\displaystyle f(A)=\operatorname {Im} f}
ما يلي متكافئ:
  1. و-1(ج) ⊇ و-1(Y∖ج){\displaystyle f^{-1}(C)~\supseteq ~f^{-1}(Y\setminus C)}
  2. و-1(ج)=X{\displaystyle f^{-1}(C)=X}
أ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}وج⊆Y{\displaystyle C\subseteq Y}
و(و-1(ل))⊆ل{\displaystyle f\left(f^{-1}(L)\right)\subseteq L}[ 5 ]

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان ما يلي صحيحًا:

  1. ل⊆أنا⁡و.{\displaystyle L\subseteq \operatorname {Im} f.}[ 9 ] [ 10 ]

تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. ل⊆Y{\displaystyle L\subseteq Y}وو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}هو شامل.
و-1(و(أ))⊇أ{\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان ما يلي صحيحًا:

  1. أ{\displaystyle A}يكونو{\displaystyle f}مشبع.

تتحقق المساواة إذا كان أي مما يلي صحيحًا:

  1. و{\displaystyle f}هو حقني. [ 9 ] [ 10 ]
أ⊆X{\displaystyle A\subseteq X}

تقاطع مجموعة وصورة (أصلية)

العبارات التالية متكافئة:

  1. ∅=و(ل)∩R{\displaystyle \varnothing =f(L)\cap R}
  2. ∅=ل∩و-1(R){\displaystyle \varnothing =L\cap f^{-1}(R)}[ 5 ]
  3. ∅=و-1(و(ل))∩و-1(R){\displaystyle \varnothing =f^{-1}(f(L))\cap f^{-1}(R)}
  4. ∅=و-1(و(ل)∩R){\displaystyle \varnothing =f^{-1}(f(L)\cap R)}

وبالتالي بالنسبة لأيت،{\displaystyle t,}[ 5 ]ت∉و(ل) إذا وفقط إذا ل∩و-1(ت)=∅.{\displaystyle t\not \in f(L)\quad {\text{ if and only if }}\quad L\cap f^{-1}(t)=\varnothing .}

المتتاليات ومجموعات عائلات المجموعات

التعريفات

A family of sets or simply a family is a set whose elements are sets. A family over X{\displaystyle X} is a family of subsets of X.{\displaystyle X.}

The power set of a set X{\displaystyle X} is the set of all subsets of X{\displaystyle X}: P(X) := {S : S⊆X}.{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)~\colon =~\{\;S~:~S\subseteq X\;\}.}

Notation for sequences of sets

Throughout, S and T{\displaystyle S{\text{ and }}T} will be arbitrary sets and S∙{\displaystyle S_{\bullet }} and will denote a net or a sequence of sets where if it is a sequence then this will be indicated by either of the notations S∙=(Si)i=1∞ or S∙=(Si)i∈N{\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\qquad {\text{ or }}\qquad S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }} where N{\displaystyle \mathbb {N} } denotes the natural numbers. A notation S∙=(Si)i∈I{\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i\in I}} indicates that S∙{\displaystyle S_{\bullet }} is a netdirected by (I,≤),{\displaystyle (I,\leq ),} which (by definition) is a sequence if the set I,{\displaystyle I,} which is called the net's indexing set, is the natural numbers (that is, if I=N{\displaystyle I=\mathbb {N} }) and ≤{\displaystyle \,\leq \,} is the natural order on N.{\displaystyle \mathbb {N} .}

Disjoint and monotone sequences of sets

If Si∩Sj=∅{\displaystyle S_{i}\cap S_{j}=\varnothing } for all distinct indices i≠j{\displaystyle i\neq j} then S∙{\displaystyle S_{\bullet }} is called a pairwise disjoint or simply a disjoint. A sequence or net S∙{\displaystyle S_{\bullet }} of set is called increasing or non-decreasing if (resp. decreasing or non-increasing) if for all indices i≤j,{\displaystyle i\leq j,}Si⊆Sj{\displaystyle S_{i}\subseteq S_{j}} (resp. Si⊇Sj{\displaystyle S_{i}\supseteq S_{j}}). A sequence or net S∙{\displaystyle S_{\bullet }} of set is called strictly increasing (resp. strictly decreasing) if it is non-decreasing (resp. is non-increasing) and also Si≠Sj{\displaystyle S_{i}\neq S_{j}} for all distinct indices i and j.{\displaystyle i{\text{ and }}j.} It is called monotone if it is non-decreasing or non-increasing and it is called strictly monotone if it is strictly increasing or strictly decreasing.

A sequences or net S∙{\displaystyle S_{\bullet }} is said to increase to S,{\displaystyle S,} denoted by S∙↑S{\displaystyle S_{\bullet }\uparrow S}[11] or S∙↗S,{\displaystyle S_{\bullet }\nearrow S,} if S∙{\displaystyle S_{\bullet }} is increasing and the union of all Si{\displaystyle S_{i}} is S;{\displaystyle S;} that is, if ⋃nSn=S and Si⊆Sj whenever i≤j.{\displaystyle \bigcup _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\subseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.} It is said to decrease to S,{\displaystyle S,} denoted by S∙↓S{\displaystyle S_{\bullet }\downarrow S}[11] or S∙↘S,{\displaystyle S_{\bullet }\searrow S,} if S∙{\displaystyle S_{\bullet }} is increasing and the intersection of all Si{\displaystyle S_{i}} is S{\displaystyle S} that is, if ⋂nSn=S and Si⊇Sj whenever i≤j.{\displaystyle \bigcap _{n}S_{n}=S\qquad {\text{ and }}\qquad S_{i}\supseteq S_{j}\quad {\text{ whenever }}i\leq j.}

Definitions of elementwise operations on families

If L and R{\displaystyle {\mathcal {L}}{\text{ and }}{\mathcal {R}}} are families of sets and if S{\displaystyle S} is any set then define:[12]L(∪)R := { L∪R : L∈L  and  R∈R }{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cup R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}L(∩)R := { L∩R : L∈L  and  R∈R }{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\cap R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}L(∖)R := { L∖R : L∈L  and  R∈R }{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\setminus R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}L(△)R := { L△R : L∈L  and  R∈R }{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\triangle )\;{\mathcal {R}}~\colon =~\{~L\;\triangle \;R~:~L\in {\mathcal {L}}~{\text{ and }}~R\in {\mathcal {R}}~\}}L|S := {L∩S : L∈L}=L(∩){S}{\displaystyle {\mathcal {L}}{\big \vert }_{S}~\colon =~\{L\cap S~:~L\in {\mathcal {L}}\}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{S\}} which are respectively called elementwiseunion, elementwiseintersection, elementwise (set) difference, elementwisesymmetric difference, and the trace/restriction of L{\displaystyle {\mathcal {L}}} to S.{\displaystyle S.} The regular union, intersection, and set difference are all defined as usual and are denoted with their usual notation: L∪R,L∩R,L△R,{\displaystyle {\mathcal {L}}\cup {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\cap {\mathcal {R}},{\mathcal {L}}\;\triangle \;{\mathcal {R}},} and L∖R,{\displaystyle {\mathcal {L}}\setminus {\mathcal {R}},} respectively. These elementwise operations on families of sets play an important role in, among other subjects, the theory of filters and prefilters on sets.

The upward closure in X{\displaystyle X} of a family L⊆P(X){\displaystyle {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} is the family: L↑X := ⋃L∈L{S : L⊆S⊆X} = {S⊆X :  there exists L∈L such that L⊆S}{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\uparrow X}~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}\{\;S~:~L\subseteq S\subseteq X\;\}~=~\{\;S\subseteq X~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}L\subseteq S\;\}} and the downward closure of L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is the family: L↓ := ⋃L∈LP(L) = {S :  there exists L∈L such that S⊆L}.{\displaystyle {\mathcal {L}}^{\downarrow }~\colon =~\bigcup _{L\in {\mathcal {L}}}{\mathcal {P}}(L)~=~\{\;S~:~{\text{ there exists }}L\in {\mathcal {L}}{\text{ such that }}S\subseteq L\;\}.}

Definitions of categories of families of sets

The following table lists some well-known categories of families of sets having applications in general topology and measure theory.

Families F{\displaystyle {\mathcal {F}}} of sets over Ω{\displaystyle \Omega }
  • v
  • t
  • e
Is necessarily true of F:{\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }or, is F{\displaystyle {\mathcal {F}}}closed under:Directedby ⊇{\displaystyle \,\supseteq }A∩B{\displaystyle A\cap B}A∪B{\displaystyle A\cup B}B∖A{\displaystyle B\setminus A}Ω∖A{\displaystyle \Omega \setminus A}A1∩A2∩⋯{\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }A1∪A2∪⋯{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }Ω∈F{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}∅∈F{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}F.I.P.
π-systemYesYesNoNoNoNoNoNoNoNo
SemiringYesYesNoNoNoNoNoNoYesNever
Semialgebra(semifield)YesYesNoNoNoNoNoNoYesNever
Monotone classNoNoNoNoNoonly if Ai↘{\displaystyle A_{i}\searrow }only if Ai↗{\displaystyle A_{i}\nearrow }NoNoNo
𝜆-system(Dynkin system)YesNoNoonly ifA⊆B{\displaystyle A\subseteq B}YesNoonly if Ai↗{\displaystyle A_{i}\nearrow } orthey are disjointYesYesNever
Ring (order theory)YesYesYesNoNoNoNoNoNoNo
Ring (measure theory)YesYesYesYesNoNoNoNoYesNever
δ-ringYesYesYesYesNoYesNoNoYesNever
𝜎-ringYesYesYesYesNoYesYesNoYesNever
Algebra (field)YesYesYesYesYesNoNoYesYesNever
𝜎-algebra(𝜎-field)YesYesYesYesYesYesYesYesYesNever
FilterYesYesYesNoNoNoYesYesNoNo
Proper filterYesYesYesNeverNeverNoYesYesNeverYes
Prefilter(filter base)YesNoNoNoNoNoNoNoNoYes
Filter subbaseNoNoNoNoNoNoNoNoNoYes
Open topologyYesYesYesNoNoNo(even arbitrary ∪{\displaystyle \cup })YesYesNever
Closed topologyYesYesYesNoNo(even arbitrary ∩{\displaystyle \cap })NoYesYesNever
Is necessarily true of F:{\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }or, is F{\displaystyle {\mathcal {F}}}closed under:directeddownwardfiniteintersectionsfiniteunionsrelativecomplementscomplementsin Ω{\displaystyle \Omega }countableintersectionscountableunionscontains Ω{\displaystyle \Omega }contains ∅{\displaystyle \varnothing }Finiteintersectionproperty

Additionally, a semiring is a π-system where every complement B∖A{\displaystyle B\setminus A} is equal to a finite disjoint union of sets in F.{\displaystyle {\mathcal {F}}.} A semialgebra is a semiring where every complement Ω∖A{\displaystyle \Omega \setminus A} is equal to a finite disjoint union of sets in F.{\displaystyle {\mathcal {F}}.}A,B,A1,A2,…{\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots } are arbitrary elements of F{\displaystyle {\mathcal {F}}} and it is assumed that F≠∅.{\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}

A family L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is called isotone, ascending, or upward closed in X{\displaystyle X} if L⊆P(X){\displaystyle {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} and L=L↑X.{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\uparrow X}.}[12] A family L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is called downward closed if L=L↓.{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}^{\downarrow }.}

A family L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is said to be:

  • closed under finite intersections (resp. closed under finite unions) if whenever L,R∈L{\displaystyle L,R\in {\mathcal {L}}} then L∩R∈L{\displaystyle L\cap R\in {\mathcal {L}}} (respectively, L∪R∈L{\displaystyle L\cup R\in {\mathcal {L}}}).
  • closed under countable intersections (resp. closed under countable unions) if whenever L1,L2,L3,…{\displaystyle L_{1},L_{2},L_{3},\ldots } are elements of L{\displaystyle {\mathcal {L}}} then so is their intersections ⋂i=1∞Li:=L1∩L2∩L3∩⋯{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}\cap \cdots } (resp. so is their union ⋃i=1∞Li:=L1∪L2∪L3∪⋯{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }L_{i}:=L_{1}\cup L_{2}\cup L_{3}\cup \cdots }).
  • closed under complementation in (or with respect to) X{\displaystyle X} if whenever L∈L{\displaystyle L\in {\mathcal {L}}} then X∖L∈L.{\displaystyle X\setminus L\in {\mathcal {L}}.}

A family L{\displaystyle {\mathcal {L}}} of sets is called a/an:

  • π−system if L≠∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing } and L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is closed under finite-intersections.
    • Every non-empty family L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is contained in a unique smallest (with respect to ⊆{\displaystyle \subseteq }) π−system that is denoted by π(L){\displaystyle \pi ({\mathcal {L}})} and called the π−system generated by L.{\displaystyle {\mathcal {L}}.}
  • filter subbase and is said to have the finite intersection property if L≠∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing } and ∅∉π(L).{\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {L}}).}
  • filter on X{\displaystyle X} if L≠∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\neq \varnothing } is a family of subsets of X{\displaystyle X} that is a π−system, is upward closed in X,{\displaystyle X,} and is also proper, which by definition means that it does not contain the empty set as an element.
  • prefilter or filter base if it is a non-empty family of subsets of some set X{\displaystyle X} whose upward closure in X{\displaystyle X} is a filter on X.{\displaystyle X.}
  • algebra on X{\displaystyle X} is a non-empty family of subsets of X{\displaystyle X} that contains the empty set, forms a π−system, and is also closed under complementation with respect to X.{\displaystyle X.}
  • σ-algebra on X{\displaystyle X} is an algebra on X{\displaystyle X} that is closed under countable unions (or equivalently, closed under countable intersections).

Sequences of sets often arise in measure theory.

Algebra of sets

A familyΦ{\displaystyle \Phi } of subsets of a set X{\displaystyle X} is said to be an algebra of sets if ∅∈Φ{\displaystyle \varnothing \in \Phi } and for all L,R∈Φ,{\displaystyle L,R\in \Phi ,} all three of the sets X∖R,L∩R,{\displaystyle X\setminus R,\,L\cap R,} and L∪R{\displaystyle L\cup R} are elements of Φ.{\displaystyle \Phi .}[13] The article on this topic lists set identities and other relationships these three operations.

Every algebra of sets is also a ring of sets[13] and a π-system.

Algebra generated by a family of sets

Given any family S{\displaystyle {\mathcal {S}}} of subsets of X,{\displaystyle X,} there is a unique smallest[note 7] algebra of sets in X{\displaystyle X} containing S.{\displaystyle {\mathcal {S}}.}[13] It is called the algebra generated by S{\displaystyle {\mathcal {S}}} and it will be denote it by ΦS.{\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}.} This algebra can be constructed as follows:[13]

  1. If S=∅{\displaystyle {\mathcal {S}}=\varnothing } then ΦS={∅,X}{\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}=\{\varnothing ,X\}} and we are done. Alternatively, if S{\displaystyle {\mathcal {S}}} is empty then S{\displaystyle {\mathcal {S}}} may be replaced with {∅},{X}, or {∅,X}{\displaystyle \{\varnothing \},\{X\},{\text{ or }}\{\varnothing ,X\}} and continue with the construction.
  2. Let S0{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}} be the family of all sets in S{\displaystyle {\mathcal {S}}} together with their complements (taken in X{\displaystyle X}).
  3. Let S1{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}} be the family of all possible finite intersections of sets in S0.{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}.}[note 8]
  4. Then the algebra generated by S{\displaystyle {\mathcal {S}}} is the set ΦS{\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}} consisting of all possible finite unions of sets in S1.{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}.}

Elementwise operations on families

Let L,M,{\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}},} and R{\displaystyle {\mathcal {R}}} be families of sets over X.{\displaystyle X.} On the left hand sides of the following identities, L{\displaystyle {\mathcal {L}}} is the Left most family, M{\displaystyle {\mathcal {M}}} is in the Middle, and R{\displaystyle {\mathcal {R}}} is the Right most set.

Commutativity:[12]L(∪)R=R(∪)L{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cup )\;{\mathcal {L}}}L(∩)R=R(∩)L{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {R}}\;(\cap )\;{\mathcal {L}}}

Associativity:[12][L(∪)M](∪)R=L(∪)[M(∪)R]{\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cup )\;{\mathcal {M}}]\;(\cup )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cup )\;[{\mathcal {M}}\;(\cup )\;{\mathcal {R}}]}[L(∩)M](∩)R=L(∩)[M(∩)R]{\displaystyle [{\mathcal {L}}\;(\cap )\;{\mathcal {M}}]\;(\cap )\;{\mathcal {R}}={\mathcal {L}}\;(\cap )\;[{\mathcal {M}}\;(\cap )\;{\mathcal {R}}]}

Identity: L(∪){∅}=L{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}}L(∩){X}=L{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{X\}={\mathcal {L}}}L(∖){∅}=L{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\{\varnothing \}={\mathcal {L}}}

Domination: L(∪){X}={X}     if L≠∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\{X\}=\{X\}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing }L(∩){∅}={∅}     if L≠∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\{\varnothing \}=\{\varnothing \}~~~~{\text{ if }}{\mathcal {L}}\neq \varnothing }L(∪)∅=∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cup )\;\varnothing =\varnothing }L(∩)∅=∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\cap )\;\varnothing =\varnothing }L(∖)∅=∅{\displaystyle {\mathcal {L}}\;(\setminus )\;\varnothing =\varnothing }∅(∖)R=∅{\displaystyle \varnothing \;(\setminus )\;{\mathcal {R}}=\varnothing }

Power set

P(L∩R) = P(L)∩P(R){\displaystyle {\mathcal {P}}(L\cap R)~=~{\mathcal {P}}(L)\cap {\mathcal {P}}(R)}P(L∪R) = P(L) (∪) P(R) ⊇ P(L)∪P(R).{\displaystyle {\mathcal {P}}(L\cup R)~=~{\mathcal {P}}(L)\ (\cup )\ {\mathcal {P}}(R)~\supseteq ~{\mathcal {P}}(L)\cup {\mathcal {P}}(R).}

If L{\displaystyle L} and R{\displaystyle R} are subsets of a vector space X{\displaystyle X} and if s{\displaystyle s} is a scalar then P(sL) = sP(L){\displaystyle {\mathcal {P}}(sL)~=~s{\mathcal {P}}(L)}P(L+R) ⊇ P(L)+P(R).{\displaystyle {\mathcal {P}}(L+R)~\supseteq ~{\mathcal {P}}(L)+{\mathcal {P}}(R).}

Sequences of sets

Suppose that L{\displaystyle L} is any set such that L⊇Ri{\displaystyle L\supseteq R_{i}} for every index i.{\displaystyle i.} If R∙{\displaystyle R_{\bullet }} decreases to R{\displaystyle R} then L∖R∙:=(L∖Ri)i{\displaystyle L\setminus R_{\bullet }:=\left(L\setminus R_{i}\right)_{i}} increases to L∖R{\displaystyle L\setminus R}[11] whereas if instead R∙{\displaystyle R_{\bullet }} increases to R{\displaystyle R} then L∖R∙{\displaystyle L\setminus R_{\bullet }} decreases to L∖R.{\displaystyle L\setminus R.}

If L and R{\displaystyle L{\text{ and }}R} are arbitrary sets and if L∙=(Li)i{\displaystyle L_{\bullet }=\left(L_{i}\right)_{i}} increases (resp. decreases) to L{\displaystyle L} then (Li∖R)i{\displaystyle \left(L_{i}\setminus R\right)_{i}} increase (resp. decreases) to L∖R.{\displaystyle L\setminus R.}

Partitions

Suppose that S∙=(Si)i=1∞{\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} is any sequence of sets, that S⊆⋃iSi{\displaystyle S\subseteq \bigcup _{i}S_{i}} is any subset, and for every index i,{\displaystyle i,} let Di=(Si∩S)∖⋃m=1i(Sm∩S).{\displaystyle D_{i}=\left(S_{i}\cap S\right)\setminus \bigcup _{m=1}^{i}\left(S_{m}\cap S\right).} Then S=⋃iDi{\displaystyle S=\bigcup _{i}D_{i}} and D∙:=(Di)i=1∞{\displaystyle D_{\bullet }:=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} is a sequence of pairwise disjoint sets.[11]

Suppose that S∙=(Si)i=1∞{\displaystyle S_{\bullet }=\left(S_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} is non-decreasing, let S0=∅,{\displaystyle S_{0}=\varnothing ,} and let Di=Si∖Si−1{\displaystyle D_{i}=S_{i}\setminus S_{i-1}} for every i=1,2,….{\displaystyle i=1,2,\ldots .} Then ⋃iSi=⋃iDi{\displaystyle \bigcup _{i}S_{i}=\bigcup _{i}D_{i}} and D∙=(Di)i=1∞{\displaystyle D_{\bullet }=\left(D_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} is a sequence of pairwise disjoint sets.[11]

See also

Notes

Notes

  1. ↑ For example, the expression (M∖R)∖A{\displaystyle (M\setminus R)\setminus A} uses two of the same symbols (M{\displaystyle M} and R{\displaystyle R}) that appear in the identity (L∖M)∖R = (L∖R)∖(M∖R){\displaystyle (L\,\setminus \,M)\,\setminus \,R~=~(L\,\setminus \,R)\,\setminus \,(M\,\setminus \,R)} but they refer to different sets in each expression. To apply this identity to (M∖R)∖A,{\displaystyle (M\setminus R)\setminus A,} substitute Left set:=M,{\displaystyle {\text{Left set}}:=M,\;}Middle set:=R,{\displaystyle {\text{Middle set}}:=R,\;} and Right set:=A{\displaystyle {\text{Right set}}:=A} (since these are the left, middle, and right sets in (M∖R)∖A{\displaystyle (M\setminus R)\setminus A}) to obtain: (M∖R)∖A=(Left set ∖Right set)∖(Middle set ∖Right set)=(M∖A)∖(R∖A).{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(M\setminus R)\setminus A&=({\text{Left set }}&&\setminus {\text{Right set}}&&)&&\setminus ({\text{Middle set }}&&\setminus {\text{Right set}})\\&=(M&&\setminus A&&)&&\setminus (R&&\setminus A).\\\end{alignedat}}} For a second example, this time applying the identity to ((M∩R∖L)∖(A△L))∖L,{\displaystyle ((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L,} is now given. The identity (L∖M)∖R=(L∖R)∖(M∖R){\textstyle (L\setminus M)\setminus R=(L\setminus R)\setminus (M\setminus R)} can be applied to ((M∩R∖L)∖(A△L))∖L{\displaystyle ((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L} by reading L,M,{\displaystyle L,M,} and R{\displaystyle R} as Left,Middle,{\displaystyle {\text{Left}},{\text{Middle}},} and Right{\displaystyle {\text{Right}}} and then substituting Left=(M∩R∖L),{\displaystyle {\text{Left}}=(M\cap R\setminus L),}Middle=(A△L),{\displaystyle {\text{Middle}}=(A\triangle L),} and Right=L{\displaystyle {\text{Right}}=L} to obtain: ((M∩R∖L)∖(A△L))∖L=(Left ∖Right)∖(Middle ∖Right)=((M∩R∖L)∖L)∖((A△L)∖L).{\displaystyle {\begin{alignedat}{4}((M\cap R\setminus L)\setminus (A\triangle L))\setminus L&=({\text{Left }}&&\setminus {\text{Right}}&&)&&\setminus ({\text{Middle }}&&\setminus {\text{Right}})\\&=((M\cap R\setminus L)&&\setminus L&&)&&\setminus ((A\triangle L)&&\setminus L).\\\end{alignedat}}}
  2. 12To deduce Eq. 2c from Eq. 2a, it must still be shown that ⋃j∈Ii∈I,(Li∪Rj) = ⋃i∈I(Li∪Ri){\displaystyle {\textstyle \bigcup \limits _{\stackrel {i\in I,}{j\in I}}}\left(L_{i}\cup R_{j}\right)~=~{\textstyle \bigcup \limits _{i\in I}}\left(L_{i}\cup R_{i}\right)} so Eq. 2c is not a completely immediate consequence of Eq. 2a. (Compare this to the commentary about Eq. 3b).
  3. ↑So for instance, it's even possible that L∩(X∪Y)=∅,{\displaystyle L\cap (X\cup Y)=\varnothing ,} or that L∩X≠∅{\displaystyle L\cap X\neq \varnothing }andL∩Y≠∅{\displaystyle L\cap Y\neq \varnothing } (which happens, for instance, if X=Y{\displaystyle X=Y}), etc.
  4. ↑The conclusion X∖f−1(R)=f−1(Y∖R){\displaystyle X\setminus f^{-1}(R)=f^{-1}(Y\setminus R)} can also be written as: f−1(R)∁ = f−1(R∁).{\displaystyle f^{-1}(R)^{\complement }~=~f^{-1}\left(R^{\complement }\right).}
  5. ↑Whether or not it is even feasible for the function f{\displaystyle f} to be constant and the sets L△R{\displaystyle L\triangle R} and R{\displaystyle R} to be non-empty and disjoint is irrelevant for reaching the correct conclusion about whether to use ⊆ or ⊇.{\displaystyle \,\subseteq {\text{ or }}\supseteq .\,}
  6. 1234Note that this condition depends entirely on R{\displaystyle R} and not on L.{\displaystyle L.}
  7. ↑Here "smallest" means relative to subset containment. So if Φ{\displaystyle \Phi } is any algebra of sets containing S,{\displaystyle {\mathcal {S}},} then ΦS⊆Φ.{\displaystyle \Phi _{\mathcal {S}}\subseteq \Phi .}
  8. ↑Since S≠∅,{\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing ,} there is some S∈S0{\displaystyle S\in {\mathcal {S}}_{0}} such that its complement also belongs to S0.{\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}.} The intersection of these two sets implies that ∅∈S1.{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}_{1}.} The union of these two sets is equal to X,{\displaystyle X,} which implies that X∈ΦS.{\displaystyle X\in \Phi _{\mathcal {S}}.}

Proofs

  1. 123Let fR:={y∈f(L):L∩f−1(y)⊆R}{\displaystyle f_{R}:=\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}} where because fR⊆f(R∩L),{\displaystyle f_{R}\subseteq f(R\cap L),}fR{\displaystyle f_{R}} is also equal to fR={y∈f(R∩L):L∩f−1(y)⊆R}.{\displaystyle f_{R}=\left\{y\in f(R\cap L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}.} As proved above, f(L∖R)=f(L)∖fR{\displaystyle f(L\setminus R)=f(L)\setminus f_{R}} so that f(L)∖f(R)=f(L∖R){\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L\setminus R)} if and only if f(L)∖f(R)=f(L)∖fR.{\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L)\setminus f_{R}.} Since f(L)∖f(R)=f(L)∖(f(L)∩f(R)),{\displaystyle f(L)\setminus f(R)=f(L)\setminus (f(L)\cap f(R)),} this happens if and only if f(L)∖(f(L)∩f(R))=f(L)∖fR.{\displaystyle f(L)\setminus (f(L)\cap f(R))=f(L)\setminus f_{R}.} Because f(L)∩f(R) and fR{\displaystyle f(L)\cap f(R){\text{ and }}f_{R}} are both subsets of f(L),{\displaystyle f(L),} the condition on the right hand side happens if and only if f(L)∩f(R)=fR.{\displaystyle f(L)\cap f(R)=f_{R}.} Because fR⊆f(R∩L)⊆f(L)∩f(R),{\displaystyle f_{R}\subseteq f(R\cap L)\subseteq f(L)\cap f(R),} the equality f(L)∩f(R)=fR{\displaystyle f(L)\cap f(R)=f_{R}} holds if and only if f(L)∩f(R)⊆fR.{\displaystyle f(L)\cap f(R)\subseteq f_{R}.}◼{\displaystyle \blacksquare } If f(R)⊆f(L){\displaystyle f(R)\subseteq f(L)} (such as when L=X{\displaystyle L=X} or R⊆L{\displaystyle R\subseteq L}) then f(L)∩f(R)⊆fR{\displaystyle f(L)\cap f(R)\subseteq f_{R}} if and only if f(R)⊆fR.{\displaystyle f(R)\subseteq f_{R}.} In particular, taking L=X{\displaystyle L=X} proves: f(X∖R)=f(X)∖f(R){\displaystyle f(X\setminus R)=f(X)\setminus f(R)} if and only if f(R)⊆{y∈f(R∩X):f−1(y)⊆R},{\displaystyle f(R)\subseteq \left\{y\in f(R\cap X):f^{-1}(y)\subseteq R\right\},} where f(R∩X)=f(R).{\displaystyle f(R\cap X)=f(R).}◼{\displaystyle \blacksquare }
  2. ↑Let P:={y∈Y:L∩f−1(y)⊆R}{\displaystyle P:=\left\{y\in Y:L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\}} and let (⋆){\displaystyle (\star )} denote the set equality f(L∖R)=Y∖P,{\displaystyle f(L\setminus R)=Y\setminus P,} which will now be proven. If y∈Y∖P{\displaystyle y\in Y\setminus P} then L∩f−1(y)⊈R{\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\not \subseteq R} so there exists some x∈L∩f−1(y)∖R;{\displaystyle x\in L\cap f^{-1}(y)\setminus R;} now f−1(y)⊆X{\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq X} implies x∈L∩X∖R{\displaystyle x\in L\cap X\setminus R} so that y=f(x)∈f(L∩X∖R)=f(L∖R).{\displaystyle y=f(x)\in f(L\cap X\setminus R)=f(L\setminus R).} To prove the reverse inclusion f(L∖R)⊆Y∖P,{\displaystyle f(L\setminus R)\subseteq Y\setminus P,} let y∈f(L∖R){\displaystyle y\in f(L\setminus R)} so that there exists some x∈X∩L∖R{\displaystyle x\in X\cap L\setminus R} such that y=f(x).{\displaystyle y=f(x).} Then x∈L∩f−1(y)∖R{\displaystyle x\in L\cap f^{-1}(y)\setminus R} so that L∩f−1(y)⊈R{\displaystyle L\cap f^{-1}(y)\not \subseteq R} and thus y∉P,{\displaystyle y\not \in P,} which proves that y∈Y∖P,{\displaystyle y\in Y\setminus P,} as desired. ◼{\displaystyle \blacksquare } Defining Q:=f(L)∩P={y∈f(L):L∩f−1(y)⊆R},{\displaystyle Q:=f(L)\cap P=\left\{y\in f(L):L\cap f^{-1}(y)\subseteq R\right\},} the identity f(L∖R)=f(L)∖Q{\displaystyle f(L\setminus R)=f(L)\setminus Q} follows from (⋆){\displaystyle (\star )} and the inclusions f(L∖R)⊆f(L)⊆Y.{\displaystyle f(L\setminus R)\subseteq f(L)\subseteq Y.}◼{\displaystyle \blacksquare }

Citations

  1. ↑Taylor, Courtney (March 31, 2019). "What Is Symmetric Difference in Math?". ThoughtCo. Retrieved 2020-09-05.
  2. ↑Weisstein, Eric W. "Symmetric Difference". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-05.
  3. 12345678910111213141516171819202122232425Monk 1969, pp. 24–54.
  4. 1234567Császár 1978, pp. 15–26.
  5. 123456789Császár 1978, pp. 102–120.
  6. ↑Kelley 1985, p. 85
  7. ↑See Munkres 2000, p. 21
  8. ↑Lee p.388 of Lee, John M. (2010). Introduction to Topological Manifolds, 2nd Ed.
  9. 12Lee Halmos 1960, p. 39
  10. 12Lee Munkres 2000, p. 19
  11. 12345Durrett 2019, pp. 1–8.
  12. 1234Császár 1978, pp. 53–65.
  13. 1234"Algebra of sets". Encyclopediaofmath.org. 16 August 2013. Retrieved 8 November 2020.

References