بيتا الديناميكية الحرارية

في الديناميكا الحرارية الإحصائية ، فإن بيتا الديناميكية الحرارية ، والمعروفة أيضًا باسم البرودة ، ^{[ 1 ]} هي مقلوب درجة الحرارة الديناميكية الحرارية للنظام:$${\displaystyle \beta \equiv {\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}$$(حيث T هي درجة الحرارة و k _B هو ثابت بولتزمان ). ^{[ 2 ]}

وحدات بيتا الديناميكية الحرارية هي مقلوب وحدات الطاقة (في وحدات النظام الدولي للوحدات ، مقلوب الجول) .${\displaystyle [\beta ]={\textrm {J}}^{-1}}$في الوحدات غير الحرارية، يمكن قياسها أيضًا بالبايت لكل جول، أو بشكل أكثر ملاءمة، بالجيجابايت لكل نانو جول؛ ^{[ 3 ]} 1 كلفن⁻¹ ^يعادل حوالي 13062 جيجابايت لكل نانو جول؛ عند درجة حرارة الغرفة: T = 300 كلفن، β ≈44  جيجابايت/نانو جول ≈39 إلكترون فولت ⁻¹  ≈2.4 × 10²⁰ جول⁻¹ ^.  معامل التحويل هو 1 جيجا بايت/نانو جول ⁼${\displaystyle 8\ln 2\times 10^{18}}$J ⁻¹ .

يمثل معامل بيتا الديناميكي الحراري أساسًا الرابط بين نظرية المعلومات والتفسير الإحصائي لنظام فيزيائي من خلال إنتروبيته، والديناميكا الحرارية المرتبطة بطاقته . وهو يعبر عن استجابة الإنتروبيا لزيادة الطاقة. فإذا أُضيفت كمية صغيرة من الطاقة إلى النظام، فإن β يصف مقدار العشوائية التي سيكتسبها النظام.

من خلال التعريف الإحصائي لدرجة الحرارة كدالة للإنتروبيا، يمكن حساب دالة البرودة في المجموعة الميكروكانونية من الصيغة التالية:

$\beta = \frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,= \frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left(\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}$

(أي، المشتق الجزئي للإنتروبيا S بالنسبة للطاقة E عند حجم ثابت V وعدد الجسيمات N ).

من وجهة نظر إحصائية، _β كمية عددية تربط بين نظامين عيانيين في حالة توازن. الصيغة الدقيقة هي كما يلي: لنفترض نظامين، 1 و2، في اتصال حراري، بطاقتين E1 وE2 على التوالي _. نفترض أن E1 ₊ E2 = ثابت ما E. يُرمز إلى عدد الحالات المجهرية لكل نظام بـ _Ω1 وΩ2 _. وفقًا لافتراضاتنا، _يعتمد Ωi فقط على _Ei . _نفترض أيضًا أن أي حالة مجهرية للنظام 1 تتوافق مع E1 يمكن أن تتعايش مع أي حالة مجهرية للنظام 2 تتوافق مع _E2 . _{بالتالي} ، فإن عدد الحالات المجهرية للنظام المدمج هو

${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,}$

سنستنتج قيمة β من الافتراض الأساسي للميكانيكا الإحصائية :

عندما يصل النظام المدمج إلى حالة التوازن، يتم تعظيم العدد Ω .

(بمعنى آخر، يسعى النظام بطبيعته إلى الوصول إلى أكبر عدد ممكن من الحالات المجهرية). لذلك، عند التوازن،

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _ {2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}$

لكن E ₁ + E ₂ = E يستلزم

${\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}$

لذا

${\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}$

أي

${\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{عند الاتزان.}}}$

العلاقة المذكورة أعلاه تحفز تعريف β :

${\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}$

عندما يكون نظامان في حالة توازن، فإنهما يمتلكان نفس درجة الحرارة الديناميكية الحرارية T. وبالتالي، من البديهي أن نتوقع وجود علاقة بين β (كما هو مُعرَّف عبر الحالات المجهرية) و T بطريقة ما. هذه العلاقة مُستمدة من فرضية بولتزمان الأساسية المكتوبة على النحو التالي:

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,}$

حيث k_{_B} هو ثابت بولتزمان ، وS هي الإنتروبيا الديناميكية الحرارية الكلاسيكية، وΩ هو عدد الحالات المجهرية.

${\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}$

بالتعويض في تعريف β من التعريف الإحصائي أعلاه، نحصل على

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}$

بالمقارنة مع الصيغة الديناميكية الحرارية

${\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}$

لدينا

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}$

أين${\displaystyle \tau }$تُسمى درجة الحرارة الأساسية للنظام، ولها وحدات طاقة.

تم تقديم دالة بيتا الديناميكية الحرارية لأول مرة في عام 1971 (تحت اسم Kältefunktion "دالة البرودة") من قبل إنجو مولر ، أحد أنصار مدرسة الديناميكا الحرارية العقلانية ، ^{[ 5 ] [ 6 ]} استنادًا إلى مقترحات سابقة لدالة "مقلوب درجة الحرارة". ^{[ 1 ] [ 7 ]}

• توزيع بولتزمان
• المجموعة الكنسية
• نموذج إيزينغ