مجموعة محدودة

في نظرية الأعداد الجمعية والتوافقية ، تأخذ المجموعة المقيدة الشكل التالي :

${\displaystyle S=\{a_{1}+\cdots +a_{n}:\ a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}\ \mathrm {and} \ P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0\},}$

أين${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$هي مجموعات جزئية منتهية غير فارغة من حقل F و${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})}$هي متعددة الحدود على F.

لو${\displaystyle P}$هي دالة ثابتة غير صفرية، على سبيل المثال${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=1}$لأي${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$، ثم${\displaystyle S}$هي المجموعة المعتادة${\displaystyle A_{1}+\cdots +A_{n}}$والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle nA}$لو${\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}$

متى

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

يُكتب الحرف S على النحو التالي:${\displaystyle A_{1}\dotplus \cdots \dotplus A_{n}}$والذي يُرمز إليه بـ${\displaystyle n^{\wedge }A}$لو${\displaystyle A_{1}=\cdots =A_{n}=A.}$

لاحظ أن | S | > 0 إذا وفقط إذا وُجدت${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}$مع${\displaystyle P(a_{1},\ldots ,a_{n})\not =0.}$

تنص نظرية كوشي -دافنبورت ، التي سُميت نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي وهارولد دافنبورت ، على أنه لأي عدد أولي p ومجموعتين جزئيتين غير فارغتين A و B من المجموعة الدورية ذات الرتبة الأولية،${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$لدينا المتباينة ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle |A+B|\geq \min\{p,\,|A|+|B|-1\}}$

أين${\displaystyle A+B:=\{a+b{\pmod {p}}\mid a\in A,b\in B\}}$أي باستخدام الحساب النمطي . ويمكن تعميمه على مجموعات عشوائية (ليست بالضرورة تبديلية) باستخدام تحويل دايسون . إذا${\displaystyle A,B}$هي مجموعات جزئية من مجموعة${\displaystyle G}$ثم ^{[ 4 ]}

${\displaystyle |AB|\geq \min\{p(G),\,|A|+|B|-1\}}$

أين${\displaystyle p(G)}$حجم أصغر مجموعة فرعية غير تافهة من${\displaystyle G}$(قمنا بضبطه على${\displaystyle \infty }$(إذا لم تكن هناك مجموعة فرعية من هذا القبيل).

يمكن استخدام هذا لاستنتاج نظرية إردوش-غينزبورغ-زيف : بالنظر إلى أي متتالية من 2n - 1 عنصر في المجموعة الدورية${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$يوجد n عنصرًا مجموعها يساوي صفرًا بتردد n . ( لا يشترط أن يكون n عددًا أوليًا). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

إحدى النتائج المباشرة لنظرية كوشي-دافنبورت هي: بالنظر إلى أي متتالية S من p − 1 أو أكثر من العناصر غير الصفرية، وليست بالضرورة متميزة، من${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$كل عنصر من${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$^يمكن كتابتها كمجموع عناصر بعض المتتالية الفرعية (ربما فارغة) من S. [ ^{7 ]}

تعمم نظرية كنيسر هذا إلى مجموعات أبيلية عامة . ^{[ 8 ]}

تنص فرضية إردوش-هايلبرون التي طرحها بول إردوش وهانز هايلبرون في عام 1964 على ما يلي:${\displaystyle |2^{\wedge }A|\geq \min\{p,\,2|A|-3\}}$إذا كان p عددًا أوليًا و A مجموعة جزئية غير فارغة من الحقل Z / p Z. ^{[ 9} ] وقد تم تأكيد ذلك لأول ^مرة من قبل JA Dias da Silva و YO Hamidoune في عام 1994 ^{[ 10 ]} حيث أظهرا أن

${\displaystyle |n^{\wedge }A|\geq \min\{p(F),\ n|A|-n^{2}+1\},}$

حيث A مجموعة جزئية منتهية غير فارغة من الحقل F ، ويكون p ( F ) عددًا أوليًا p إذا كان الحقل F من الخاصية p ، ويكون p ( F ) = ∞ إذا كان الحقل F من الخاصية 0. وقد قدم كل من نوغا ألون ، وإم بي ناثانسون، وإي . روزا امتدادات مختلفة لهذه النتيجة في عام 1996، ^{[ 11 ]} وكيو إتش هو، وزي-وي صن في عام 2002، ^{[ 12 ]} وجي. كارولي في عام 2004. ^{[ 13 ]}

إحدى الأدوات المستخدمة في دراسة الحدود الدنيا لأعداد عناصر المجموعات المقيدة المختلفة هي المبدأ التالي: نظرية الأصفار التوافقية . ^{[ 14 ]} ليكن${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ليكن متعدد الحدود على حقل${\displaystyle F}$لنفترض أن معامل الحد الأحادي${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$في${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$غير صفري و${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$هي الدرجة الكلية لـ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$. لو${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$هي مجموعات جزئية منتهية من${\displaystyle F}$مع${\displaystyle |A_{i}|>k_{i}}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ثم هناك${\displaystyle a_{1}\in A_{1},\ldots ,a_{n}\in A_{n}}$بحيث${\displaystyle f(a_{1},\ldots ,a_{n})\neq 0}$.

استندت هذه النتيجة إلى ورقة بحثية لـ N. Alon و M. Tarsi في عام 1989، ^{[ 15 ]} وتم تطويرها بواسطة Alon و Nathanson و Ruzsa في 1995-1996، ^{[ 11 ]} وأعاد Alon صياغتها في عام 1999. ^{[ 14 ]}

• طريقة كثيرات الحدود في التوافقية

• جيرولدينجر، ألفريد؛ روزا، إيمري ز.، محرران (2009). نظرية الأعداد التوافقية ونظرية الزمر الجمعية . دورات متقدمة في الرياضيات، مركز البحوث الرياضية، برشلونة. إيلشولتز، سي.؛ فريمان، جي.؛ حميدون، واي. أو.؛ ​​هيجيفاري، إن.؛ كارولي، جي.؛ ناثانسون، إم.؛ سوليموسي، جيه.؛ ستانشيسكو، واي. مع مقدمة بقلم خافيير سيليرويلو، ومارك نوي، وأوريول سيرا (منسقو دورة الدكتوراه). بازل: بيركهاوزر. ISBN 978-3-7643-8961-1. Zbl 1177.11005 . 
• ناثانسون، ميلفين ب. (1996). نظرية الأعداد الجمعية: المسائل العكسية وهندسة المجموعات المجمّعة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  165. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003 . 

• فايستين، إريك دبليو. “حدسية إردوس-هايلبرون” . عالم الرياضيات .