معادلة

المعادلة تشبه الميزان أو التوازن أو الأرجوحة .

يمثل كل جانب من المعادلة جانبًا من جوانب الميزان؛ الجانب الأيسر والجانب الأيمن. يمكن وضع كميات مختلفة على كل جانب: إذا كانت الأوزان على الجانبين متساوية، فإن الميزان متوازن، وبالمثل، فإن المساواة التي تمثل التوازن متوازنة أيضًا (وإلا فإن عدم التوازن يمثل متباينة ) .

في الرسم التوضيحي، تمثل x و y و z كميات مختلفة ( أعداد حقيقية في هذه الحالة ) ممثلة بأوزان دائرية، ولكل منها وزن مختلف . تُشير عملية الجمع إلى إضافة وزن، بينما تُشير عملية الطرح إلى إزالة وزن من الكمية الموجودة. عندما تتحقق المساواة، يكون مجموع الأوزان على كلا الجانبين متساوياً.

غالباً ما تحتوي المعادلات على حدود أخرى غير المجاهيل. هذه الحدود الأخرى، التي يُفترض أنها معلومة ، تسمى عادةً بالثوابت أو المعاملات أو المعلمات .

مثال على معادلة تتضمن x و y كمتغيرات مجهولة والمعامل R هو

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

عندما تُختار قيمة R لتكون 2 ( R = 2)، فإن هذه المعادلة تُعرف في الإحداثيات الديكارتية بأنها معادلة الدائرة التي نصف قطرها 2 حول نقطة الأصل. وبالتالي، فإن المعادلة بدون تحديد قيمة R هي المعادلة العامة للدائرة.

عادةً ما يُرمز للمجاهيل بأحرف في نهاية الأبجدية، x ، y ، z ، w ، ...، بينما يُرمز للمعاملات (البارامترات) بأحرف في البداية، a ، b ، c ، d ، ... . على سبيل المثال، تُكتب المعادلة التربيعية العامة عادةً على النحو التالي ^: ax² + bx + c = 0.      

تُسمى عملية إيجاد الحلول، أو في حالة المعاملات، التعبير عن المجاهيل بدلالة هذه المعاملات، بحل المعادلة . وتُسمى هذه التعبيرات عن الحلول بدلالة المعاملات أيضاً بالحلول .

نظام المعادلات هو مجموعة من المعادلات الآنية ، عادةً ما تحتوي على عدة مجاهيل، ويُبحث عن حلول مشتركة لها. وبالتالي، فإن حل النظام هو مجموعة من القيم لكل مجهول، والتي تُشكل معًا حلًا لكل معادلة في النظام. على سبيل المثال، النظام

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

لها الحل الوحيد x  =  −1، y  =  1.

المتطابقة هي معادلة صحيحة لجميع القيم الممكنة للمتغير (أو المتغيرات) التي تحتويها. وتُعرف العديد من المتطابقات في الجبر والتفاضل والتكامل. وفي عملية حل المعادلة، تُستخدم المتطابقة غالبًا لتبسيطها، مما يُسهّل حلها.

في الجبر، مثال على المتطابقة هو الفرق بين مربعين :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

وهذا ينطبق على جميع قيم x و y .

علم المثلثات هو مجالٌ يزخر بالعديد من المتطابقات؛ وهي مفيدة في معالجة المعادلات المثلثية أو حلّها . ومن بين هذه المتطابقات، اثنتان تتضمنان دالتي الجيب وجيب التمام :

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1}$

و

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )}$

وكلاهما صحيح لجميع قيم θ .

على سبيل المثال، لحساب قيمة θ التي تحقق المعادلة:

${\displaystyle 3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,}$

عندما تكون قيمة θ محصورة بين 0 و 45 درجة، يمكن استخدام المتطابقة المذكورة أعلاه للناتج للحصول على:

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,}$

مما ينتج عنه الحل التالي لـ θ:

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.}$

بما أن دالة الجيب دالة دورية ، فإن لها عددًا لا نهائيًا من الحلول إذا لم تكن هناك قيود على قيمة θ . في هذا المثال، سيؤدي تقييد قيمة θ بين 0 و45 درجة إلى حصر الحل في قيمة واحدة فقط.

بشكل عام، المعادلة الجبرية أو معادلة كثير الحدود هي معادلة على الصورة التالية:

${\displaystyle P=0}$، أو

${\displaystyle P=Q}$^{[ أ ]}

حيث P و Q كثيرتا حدود بمعاملات تنتمي إلى حقل معين (مثل الأعداد النسبية ، والأعداد الحقيقية ، والأعداد المركبة ). تُسمى المعادلة الجبرية أحادية المتغير إذا كانت تحتوي على متغير واحد فقط . أما معادلة كثيرات الحدود، فقد تحتوي على عدة متغيرات، وفي هذه الحالة تُسمى متعددة المتغيرات (متغيرات متعددة، x، y، z، إلخ).

على سبيل المثال،

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

هي معادلة جبرية (متعددة الحدود) أحادية المتغير ذات معاملات صحيحة و

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

هي معادلة متعددة المتغيرات متعددة الحدود على الأعداد النسبية.

بعض المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات النسبية لها حل عبارة عن تعبير جبري ، بعدد محدود من العمليات التي تتضمن تلك المعاملات فقط (أي يمكن حلها جبريًا ). يمكن تطبيق ذلك على جميع هذه المعادلات من الدرجة الأولى أو الثانية أو الثالثة أو الرابعة؛ لكن المعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى لا يمكن حلها دائمًا بهذه الطريقة، كما توضح نظرية أبيل-روفيني .

لقد تم تخصيص قدر كبير من البحث لحساب تقريبات دقيقة وفعالة للحلول الحقيقية أو المعقدة لمعادلة جبرية أحادية المتغير (انظر إيجاد جذور كثيرات الحدود ) وللحلول المشتركة لعدة معادلات متعددة المتغيرات (انظر نظام المعادلات متعددة الحدود ).

نظام المعادلات الخطية (أو النظام الخطي ) هو مجموعة من المعادلات الخطية التي تتضمن متغيرًا واحدًا أو أكثر . ^{[ ب ]} على سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

هو نظام من ثلاث معادلات في ثلاثة متغيرات x و y و z . حل النظام الخطي هو تعيين قيم للمتغيرات بحيث تتحقق جميع المعادلات في آن واحد. يُعطى حل النظام أعلاه بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

لأن ذلك يجعل المعادلات الثلاث جميعها صحيحة. تشير كلمة " نظام " إلى أنه يجب النظر إلى المعادلات بشكل جماعي، وليس بشكل فردي.

في الرياضيات، تُعدّ نظرية الأنظمة الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي ، وهو فرعٌ يُستخدم في العديد من فروع الرياضيات الحديثة. وتُشكّل الخوارزميات الحسابية لإيجاد الحلول جزءًا هامًا من الجبر الخطي العددي ، وتلعب دورًا بارزًا في الفيزياء والهندسة والكيمياء وعلوم الحاسوب والاقتصاد . غالبًا ما يُمكن تقريب نظام المعادلات غير الخطية بنظام خطي (انظر: التخطيط الخطي ) ، وهي تقنية مفيدة عند إنشاء نموذج رياضي أو محاكاة حاسوبية لنظام معقد نسبيًا.

في الهندسة الإقليدية ، من الممكن ربط مجموعة من الإحداثيات بكل نقطة في الفضاء، على سبيل المثال باستخدام شبكة متعامدة. تسمح هذه الطريقة بتوصيف الأشكال الهندسية بواسطة المعادلات. يمكن التعبير عن مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد كمجموعة حلول لمعادلة من الشكل التالي:${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$، أين${\displaystyle a,b,c}$و${\displaystyle d}$هي أعداد حقيقية و${\displaystyle x,y,z}$هي المجاهيل التي تُقابل إحداثيات نقطة في النظام المُعطى بواسطة الشبكة المتعامدة. القيم${\displaystyle a,b,c}$تمثل إحداثيات متجه عمودي على المستوى المحدد بالمعادلة. يُعبَّر عن الخط المستقيم كنقطة تقاطع مستويين، أي كمجموعة حلول لمعادلة خطية واحدة بقيم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو كمجموعة حلول لمعادلتين خطيتين بقيم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

القطع المخروطي هو تقاطع مخروط مع معادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ومستوى. بعبارة أخرى، في الفضاء، تُعرَّف جميع القطوع المخروطية بأنها مجموعة حلول معادلة المستوى ومعادلة المخروط المذكورة آنفًا. يُمكّن هذا النموذج من تحديد مواقع وخصائص بؤر القطع المخروطي.

يُتيح استخدام المعادلات الاستعانة بمجال واسع من الرياضيات لحلّ المسائل الهندسية. يُحوّل نظام الإحداثيات الديكارتية المسألة الهندسية إلى مسألة تحليلية، بمجرد تحويل الأشكال إلى معادلات؛ ومن هنا جاء اسم الهندسة التحليلية . هذه الرؤية، التي وضعها ديكارت ، تُثري وتُعدّل نوع الهندسة الذي تصوّره علماء الرياضيات اليونانيون القدماء.

يُشير مصطلح الهندسة التحليلية حالياً إلى فرع نشط من فروع الرياضيات. ورغم أنها لا تزال تستخدم المعادلات لوصف الأشكال، إلا أنها تستخدم أيضاً تقنيات متطورة أخرى مثل التحليل الوظيفي والجبر الخطي .

في الهندسة الديكارتية ، تُستخدم المعادلات لوصف الأشكال الهندسية . ولأن المعادلات التي تُدرس، كالمعادلات الضمنية أو المعادلات الوسيطية ، لها عدد لا نهائي من الحلول، فإن الهدف يختلف: فبدلاً من إعطاء الحلول صراحةً أو عدّها، وهو أمر مستحيل، تُستخدم المعادلات لدراسة خصائص الأشكال. هذه هي الفكرة الأساسية للهندسة الجبرية ، وهي فرع مهم من فروع الرياضيات.

يمكن للمرء استخدام نفس المبدأ لتحديد موضع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام ثلاثة إحداثيات ديكارتية، وهي المسافات الموقعة إلى ثلاثة مستويات متعامدة (أو، بشكل مكافئ، عن طريق إسقاطها العمودي على ثلاثة خطوط متعامدة).

أحدث اختراع الإحداثيات الديكارتية في القرن السابع عشر على يد رينيه ديكارت ثورة في الرياضيات ، إذ وفّر أول رابط منهجي بين الهندسة الإقليدية والجبر . وباستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية، يمكن وصف الأشكال الهندسية (مثل المنحنيات ) بمعادلات ديكارتية: وهي معادلات جبرية تتضمن إحداثيات النقاط الواقعة على الشكل. على سبيل المثال، يمكن وصف دائرة نصف قطرها 2 في مستوى، مركزها نقطة معينة تُسمى نقطة الأصل ، بأنها مجموعة جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها x و y المعادلة x² + ^y² = 4 ^.

تُعبّر المعادلة البارامترية لمنحنى ما عن إحداثيات نقاط المنحنى كدوال لمتغير يُسمى المعامل . [ ^{8 ] [ 9 ] على} سبيل المثال،

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

هي معادلات بارامترية لدائرة الوحدة ، حيث t هو البارامتر. وتُسمى هذه المعادلات مجتمعةً بالتمثيل البارامتري للمنحنى.

تم تعميم مفهوم المعادلة البارامترية على الأسطح والمتشعبات والأصناف الجبرية ذات الأبعاد الأعلى ، حيث يكون عدد المعلمات مساوياً لأبعاد المتشعب أو الصنف، ويكون عدد المعادلات مساوياً لأبعاد الفضاء الذي يتم فيه اعتبار المتشعب أو الصنف (بالنسبة للمنحنيات يكون البعد واحداً ويتم استخدام معلمة واحدة، وبالنسبة للأسطح يكون البعد اثنين ومعلمتين ، وما إلى ذلك) .

المعادلة الديوفانتية هي معادلة متعددة الحدود بمجهولين أو أكثر، حيث يُبحث فقط عن الحلول التي تأخذ جميع المجاهيل فيها قيمًا صحيحة . المعادلة الديوفانتية الخطية هي معادلة بين مجموع حدين أحاديين من الدرجة صفر أو واحد. مثال على المعادلة الديوفانتية الخطية هو ax + by = c ، حيث a و b و c ثوابت. أما المعادلة الديوفانتية الأسية فهي معادلة يمكن أن تكون أسس حدودها مجاهيل.

تتضمن المسائل الديوفانتية عددًا أقل من المعادلات مقارنةً بالمتغيرات المجهولة، وتتطلب إيجاد أعداد صحيحة تُناسب جميع المعادلات. وبعبارة أدق، تُعرّف هذه المسائل منحنى جبريًا ، أو سطحًا جبريًا ، أو شكلًا أكثر عمومية، ثم تسأل عن نقاط الشبكة الصحيحة عليه.

يشير مصطلح "الديوفانتي" إلى عالم الرياضيات الهلنستي ديوفانتوس الإسكندري ، الذي عاش في القرن الثالث الميلادي ، والذي درس هذه المعادلات وكان من أوائل علماء الرياضيات الذين أدخلوا الرموز إلى الجبر . وتُعرف الدراسة الرياضية للمسائل الديوفانتية التي بدأها ديوفانتوس اليوم باسم التحليل الديوفانتي.

العدد الجبري هو عدد يمثل حلاً لمعادلة متعددة الحدود غير صفرية في متغير واحد بمعاملات نسبية (أو بصورة مكافئة - عن طريق تبسيط المقامات - بمعاملات صحيحة ). أما الأعداد غير الجبرية، مثل π، فتُسمى أعدادًا متسامية . ومعظم الأعداد الحقيقية والمركبة متسامية.

الهندسة الجبرية فرع من فروع الرياضيات ، يدرس تقليدياً حلول المعادلات متعددة الحدود . أما الهندسة الجبرية الحديثة فتعتمد على تقنيات أكثر تجريداً من الجبر المجرد ، وخاصة الجبر التبادلي ، مع لغة ومسائل الهندسة .

تُعدّ المتنوعات الجبرية ، وهي تجليات هندسية لحلول أنظمة المعادلات متعددة الحدود ، من أهمّ المواضيع التي تُدرس في الهندسة الجبرية . ومن أمثلة أكثر فئات المتنوعات الجبرية دراسةً: المنحنيات الجبرية المستوية ، والتي تشمل الخطوط ، والدوائر ، والقطع المكافئ ، والقطع الناقص ، والقطع الزائد ، والمنحنيات التكعيبية كالقطع الناقص، والمنحنيات الرباعية كالمنحنيات الليمنيسكاتية ، ومنحنيات كاسيني البيضاوية . تنتمي نقطة في المستوى إلى منحنى جبري إذا كانت إحداثياتها تُحقق معادلة متعددة الحدود مُعطاة. تتضمن الأسئلة الأساسية دراسة النقاط ذات الأهمية الخاصة، مثل النقاط الشاذة ، ونقاط الانعطاف ، والنقاط عند اللانهاية . أما الأسئلة الأكثر تقدماً فتتضمن طوبولوجيا المنحنى والعلاقات بين المنحنيات المُعطاة بمعادلات مختلفة.

المعادلة التفاضلية العادية هي معادلة تحتوي على دالة لمتغير مستقل واحد ومشتقاتها. يُستخدم مصطلح " عادية " تمييزًا لها عن مصطلح " المعادلة التفاضلية الجزئية" ، التي قد تحتوي على أكثر من متغير مستقل.

تُعدّ المعادلات التفاضلية الخطية، التي يمكن جمع حلولها وضربها بمعاملات، مُعرّفة ومفهومة جيدًا، ويمكن الحصول على حلول دقيقة بصيغة مغلقة. في المقابل، تُعتبر المعادلات التفاضلية العادية التي تفتقر إلى حلول جمعية غير خطية، وحلّها أكثر تعقيدًا، إذ نادرًا ما يمكن تمثيلها بدوال أولية بصيغة مغلقة؛ فبدلًا من ذلك، تكون الحلول الدقيقة والتحليلية للمعادلات التفاضلية العادية على شكل متسلسلات أو تكاملات. قد تُقارب الطرق البيانية والرقمية ، المُطبقة يدويًا أو بواسطة الحاسوب، حلول المعادلات التفاضلية العادية، وربما تُقدّم معلومات مفيدة، غالبًا ما تكون كافية في غياب الحلول الدقيقة والتحليلية.

المعادلة التفاضلية الجزئية هي معادلة تفاضلية تحتوي على دوال متعددة المتغيرات مجهولة ومشتقاتها الجزئية . (وهذا يختلف عن المعادلات التفاضلية العادية التي تتعامل مع دوال لمتغير واحد ومشتقاتها). تُستخدم المعادلات التفاضلية الجزئية لصياغة مسائل تتضمن دوالًا لعدة متغيرات، ويتم حلها إما يدويًا أو باستخدامها لإنشاء نموذج حاسوبي مناسب .

يمكن استخدام المعادلات التفاضلية الجزئية لوصف طيف واسع من الظواهر، مثل الصوت والحرارة والإلكتروستاتيكا والديناميكا الكهربائية وتدفق الموائع والمرونة وميكانيكا الكم . ويمكن صياغة هذه الظواهر الفيزيائية، التي تبدو متباينة، بشكل مماثل باستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية. وكما تُستخدم المعادلات التفاضلية العادية غالبًا لنمذجة الأنظمة الديناميكية أحادية البعد ، فإن المعادلات التفاضلية الجزئية تُستخدم غالبًا لنمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد . وتجد المعادلات التفاضلية الجزئية تعميمها في المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية .