معادلات لوتكا-فولتيرا التنافسية

بافتراض وجود مجموعتين سكانيتين، x1 و x2 ، ذات ديناميكيات لوجستية، _فإن صيغة لوتكا-فولتيرا تضيف حدًا إضافيًا لمراعاة تفاعلات الأنواع. وبالتالي، فإن معادلات لوتكا-فولتيرا التنافسية هي _:$${\displaystyle {\begin{aligned}{dx_{1} \over dt}&=r_{1}x_{1}\left(1-\left({x_{1}+\alpha _{12}x_{2} \over K_{1}}\right)\right)\\[0.5ex]{dx_{2} \over dt}&=r_{2}x_{2}\left(1-\left({x_{2}+\alpha _{21}x_{1} \over K_{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

هنا، يُمثل α12 تأثير النوع ₂ على تعداد النوع 1، بينما _يُمثل α21 تأثير النوع 1 على تعداد النوع 2. ولا يشترط أن تكون هاتان القيمتان متساويتين. ولأن هذا هو النموذج التنافسي، فإن جميع التفاعلات ضارة (تنافسية)، وبالتالي فإن جميع قيم α موجبة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن لكل نوع معدل نمو وقدرة استيعابية خاصة به. يتوفر تصنيف كامل لهذه الديناميكيات، حتى لجميع أنماط إشارات المعاملات المذكورة أعلاه، ^{[ 1 ] [ 2 ]،} وهو تصنيف قائم على التكافؤ مع معادلة التكرار من النوع 3 .

يمكن تعميم هذا النموذج ليشمل أي عدد من الأنواع المتنافسة. يمكن اعتبار أعداد الأنواع ومعدلات نموها كمتجهات ، وقيم α كمصفوفة . عندئذٍ، تصبح معادلة أي نوع i كما يلي:$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=r_{i}x_{i}\left(1-{\frac {\displaystyle \sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}x_{j}}{K_{i}}}\right)}$$ أو، إذا تم إدخال القدرة الاستيعابية في مصفوفة التفاعل (وهذا لا يغير المعادلات فعلياً، بل يغير فقط كيفية تعريف مصفوفة التفاعل)، $${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=r_{i}x_{i}\left(1-\sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}x_{j}\right)}$$ حيث N هو العدد الإجمالي للأنواع المتفاعلة. ولتبسيط الأمر، غالبًا ما تُضبط جميع الحدود المتفاعلة ذاتيًا α _{ii على 1.}

يفترض تعريف نظام لوتكا-فولتيرا التنافسي أن جميع قيم مصفوفة التفاعل موجبة أو تساوي صفرًا ( α_{_ij} ≥ 0 لجميع قيم i و j ). وإذا افترضنا أيضًا أن تعداد أي نوع سيزداد في غياب المنافسة ما لم يصل التعداد إلى القدرة الاستيعابية ( r _{_i} > 0 لجميع قيم i )، فإنه يمكن حينها استخلاص بعض الاستنتاجات المحددة حول سلوك النظام.

1. ستكون أعداد جميع الأنواع محصورة بين 0 و 1 في جميع الأوقات ( 0 ≤ x _i ≤ 1 ، لجميع i ) طالما أن أعدادها بدأت موجبة.
2. أظهر سميل ^{[ 3 ]} أن أنظمة لوتكا-فولتيرا التي تستوفي الشروط المذكورة أعلاه ولديها خمسة أنواع أو أكثر ( N ≥ 5) يمكن أن تُظهر أي سلوك تقاربي ، بما في ذلك نقطة ثابتة ، أو دورة حدية ، أو حلقة n ، أو جاذبات .
3. أثبت هيرش ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} أن جميع ديناميكيات الجاذب تحدث على متشعب ذي بُعد N − 1. وهذا يعني أساسًا أن بُعد الجاذب لا يمكن أن يكون أكبر من N − 1. وهذا مهم لأن الدورة الحدية لا يمكن أن توجد في أقل من بُعدين، ولا يمكن أن يوجد سطح حلقي من الرتبة n في أقل من n بُعد، ولا يمكن أن تحدث الفوضى في أقل من ثلاثة أبعاد. لذا، أثبت هيرش أن أنظمة لوتكا-فولتيرا التنافسية لا يمكن أن تُظهر دورة حدية عندما N < 3، أو أي سطح حلقي أو فوضى عندما N < 4. وهذا يتفق مع سميل في أن أي ديناميكيات يمكن أن تحدث عندما N ≥ 5.
   • وبشكل أكثر تحديدًا، أظهر هيرش أن هناك مجموعة ثابتة C متماثلة مع المجسم البسيط ذي الأبعاد ( N -1).$${\displaystyle \Delta _{N-1}=\left\{x_{i}:x_{i}\geq 0,\sum _{i}x_{i}=1\right\}}$$وهو جاذب عالمي لكل نقطة باستثناء نقطة الأصل. يحتوي هذا المجسم الحامل على جميع الديناميكيات التقاربية للنظام.
4. لإنشاء نظام بيئي مستقر، يجب أن تحتوي مصفوفة α _ij على جميع القيم الذاتية الموجبة. بالنسبة للأنظمة ذات عدد كبير من الكائنات الحية (N) ، تكون نماذج لوتكا-فولتيرا إما غير مستقرة أو ذات اتصال منخفض. وقد أظهر كل من كوندوه ^{[ 7 ]} وأكلاند وغالاغر ^{[ 8 ]} بشكل مستقل أن أنظمة لوتكا-فولتيرا الكبيرة والمستقرة تنشأ إذا كانت عناصر α _ij (أي خصائص الأنواع) قادرة على التطور وفقًا للانتقاء الطبيعي .

توجد العديد من الحالات التي تعتمد فيها قوة تفاعلات الأنواع على المسافة الفيزيائية بينها. تخيل خلايا نحل في حقل. ستتنافس هذه الخلايا بشدة على الغذاء مع الخلايا القريبة منها، وبشكل أضعف مع الخلايا الأبعد، ولن تتنافس إطلاقًا مع الخلايا البعيدة. مع ذلك، لا يعني هذا إمكانية تجاهل تلك الخلايا البعيدة. فهناك تأثير متعدٍّ يسري في جميع أنحاء النظام. إذا تفاعلت الخلية (أ) مع الخلية (ب ) ، وتفاعلت (ب) مع الخلية (ج ) ، فإن (ج) تؤثر على (أ) من خلال (ب) . لذلك، إذا أردنا استخدام معادلات لوتكا-فولتيرا التنافسية لنمذجة مثل هذا النظام، فيجب أن تتضمن هذه المعادلات هذا البُعد المكاني.

إحدى الطرق الممكنة لدمج هذا البناء المكاني هي تعديل طبيعة معادلات لوتكا-فولتيرا لتصبح أشبه بنظام تفاعل-انتشار . مع ذلك، من الأسهل بكثير الحفاظ على صيغة المعادلات نفسها وتعديل مصفوفة التفاعل بدلاً من ذلك. ولتبسيط الأمر، لنفترض مثالاً لخمسة أنواع، حيث تصطف جميع الأنواع على دائرة، ويتفاعل كل نوع فقط مع النوعين المجاورين له من كل جانب بقوة α ₋₁ و α ₁ على التوالي. بالتالي، يتفاعل النوع 3 فقط مع النوعين 2 و4، ويتفاعل النوع 1 فقط مع النوعين 2 و5، وهكذا. ستكون مصفوفة التفاعل الآن كما يلي: $${\displaystyle \alpha _{ij}={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&0&0&\alpha _{-1}\\\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}&0&0\\0&\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}&0\\0&0&\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}\\\alpha _{1}&0&0&\alpha _{-1}&1\end{bmatrix}}.}$$

إذا كانت كل الأنواع متطابقة في تفاعلاتها مع الأنواع المجاورة، فإن كل صف من المصفوفة هو مجرد تبديل للصف الأول. وقد وصف سبورت وآخرون ^{[ 12 ]} مثالًا بسيطًا، وإن كان غير واقعي، لهذا النوع من الأنظمة. وتتخذ نقطة التوازن المتعايشة لهذه الأنظمة شكلًا بسيطًا جدًا يُعطى بمقلوب مجموع الصف. $${\displaystyle {\overline {x}}_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{N}\alpha _{ij}}}={\frac {1}{\alpha _{-1}+1+\alpha _{1}}}.}$$

دالة ليابونوف هي دالة للنظام f = f ( x )، ووجودها في النظام يدل على استقراره . من المفيد غالبًا تصور دالة ليابونوف على أنها طاقة النظام. إذا كانت مشتقة الدالة تساوي صفرًا في أي مدار لا يشمل نقطة التوازن ، فإن هذا المدار يُعد جاذبًا مستقرًا ، ولكنه يجب أن يكون إما دورة حدية أو سطحًا حلقيًا من الرتبة n ، وليس جاذبًا غريبًا (وذلك لأن أكبر أس ليابونوف للدورة الحدية والسطح الحلقي من الرتبة n يساوي صفرًا، بينما يكون موجبًا للجاذب الغريب). إذا كانت المشتقة أقل من صفر في كل مكان ما عدا نقطة التوازن، فإن نقطة التوازن تُعد جاذبًا مستقرًا ثابت النقطة. عند البحث عن جاذبات غير ثابتة النقطة في نظام ديناميكي ، يمكن أن يساعد وجود دالة ليابونوف في استبعاد مناطق فضاء المعلمات التي يستحيل فيها وجود هذه الديناميكيات.

يحتوي النظام المكاني المذكور أعلاه على دالة ليابونوف التي استكشفها وايلدنبرغ وآخرون ^{[ 13 ]} . إذا كانت جميع الأنواع متطابقة في تفاعلاتها المكانية، فإن مصفوفة التفاعل تكون دائرية . تُعطى القيم الذاتية للمصفوفة الدائرية بالمعادلة ^{[ 14 ].}$${\displaystyle \lambda _{k}=\sum _{j=0}^{N-1}c_{j}\gamma ^{kj}}$$

لـ k = 0 _{N − 1} وحيث${\displaystyle \gamma =e^{i2\pi /N}}$الجذر النوني للوحدة . هنا ، c _j هي القيمة j في الصف الأول من المصفوفة الدائرية.

توجد دالة ليابونوف إذا كان الجزء الحقيقي من القيم الذاتية موجبًا ( Re( λk ₎ > 0 لـ k = 0، ...، _N / 2 ). لنفترض النظام حيث α⁻² = a ، α⁻¹ = b ، _{α₁ =} c ، و α₂ ₌ d . توجد دالة ليابونوف إذا $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} (\lambda _{k})&=\operatorname {Re} \left(1+\alpha _{-2}e^{i2\pi k(N-2)/N}+\alpha _{-1}e^{i2\pi k(N-1)/N}+\alpha _{1}e^{i2\pi k/N}+\alpha _{2}e^{i4\pi k/N}\right)\\&=1+(\alpha _{-2}+\alpha _{2})\cos \left({\frac {4\pi k}{N}}\right)+(\alpha _{-1}+\alpha _{1})\cos \left({\frac {2\pi k}{N}}\right)>0\end{aligned}}}$$ لـ k = 0، …، N − 1. الآن، بدلاً من الاضطرار إلى دمج النظام على مدى آلاف الخطوات الزمنية لمعرفة ما إذا كانت هناك أي ديناميكيات أخرى غير جاذب النقطة الثابتة، يحتاج المرء فقط إلى تحديد ما إذا كانت دالة ليابونوف موجودة (ملاحظة: إن عدم وجود دالة ليابونوف لا يضمن وجود دورة حدية أو حلقة أو فوضى).

مثال: لنفترض أن _α⁻² = 0.451 ، و _α⁻¹ = 0.5 ، و α₂ = 0.237 . إذا كانت α₁ ₌ 0.5 _، فإن جميع القيم الذاتية تكون سالبة، ويكون الجاذب الوحيد نقطة ثابتة. أما إذا كانت _α₁ = 0.852 ، فإن الجزء الحقيقي لأحد زوجي القيم الذاتية المركبة يصبح موجبًا، ويكون هناك جاذب غريب. يتزامن اختفاء دالة ليابونوف هذه مع تشعب هوبف .

من الممكن أيضًا ترتيب الأنواع في خط. ^{[ 13 ]} مصفوفة التفاعل لهذا النظام تشبه إلى حد كبير مصفوفة الدائرة باستثناء حذف حدود التفاعل في أسفل اليسار وأعلى اليمين من المصفوفة (تلك التي تصف التفاعلات بين النوع 1 و N ، وما إلى ذلك).

$${\displaystyle \alpha _{ij}={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&0&0&0\\\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}&0&0\\0&\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}&0\\0&0&\alpha _{-1}&1&\alpha _{1}\\0&0&0&\alpha _{-1}&1\end{bmatrix}}}$$

يؤدي هذا التغيير إلى إلغاء دالة ليابونوف الموصوفة أعلاه للنظام على دائرة، ولكن على الأرجح توجد دوال ليابونوف أخرى لم يتم اكتشافها.

تشكل القيم الذاتية لنظام الدائرة المرسوم في المستوى المركب شكلاً ثلاثي الفصوص . تشكل القيم الذاتية لخط قصير شكل Y جانبي، بينما تبدأ القيم الذاتية لخط طويل في التشابه مع شكل الدائرة ثلاثي الفصوص. قد يعود ذلك إلى أن الخط الطويل لا يمكن تمييزه عن الدائرة بالنسبة للعينات البعيدة عن طرفيه. ^{[ 13 ]}