طول موجة كومبتون

يُعرَّف طول موجة كومبتون بأنه طول موجة الفوتون الذي تتساوى طاقته مع طاقة سكون الجسيم. ^{[ 1 ] : 237} يحدد طول الموجة الحد الأدنى للمساحة اللازمة لجسيم نسبي حر، ^{[ 2 ]} ويُستخدم كخط فاصل بين تركيبات الكتلة والحجم التي تتطلب ميكانيكا الكم وتلك التي يمكن وصفها بنظريات كلاسيكية. ^{[ 3 ]}

طُرح هذا المفهوم من قِبل آرثر كومبتون عام 1923 في شرحه لتشتت الفوتونات بواسطة الإلكترونات (وهي عملية تُعرف بتشتت كومبتون ). طول موجة الفوتون الخارج،${\displaystyle \lambda '}$، وهو منحرف عن طول موجة الفوتون الساقط،${\displaystyle \lambda _{0}}$، بمبلغ مقدم من $${\displaystyle \lambda '-\lambda _{0}=\lambda _{c}(1-\cos \theta )}$$ مع${\displaystyle \lambda _{c}={h}/{mc}}$حيث h هو ثابت بلانك و c هي سرعة الضوء . ^{[ 1 ]}

يُعرَّف طول موجة كومبتون المختزل ƛ ( لامدا المخططة ) للجسيم بأنه طول موجة كومبتون مقسومًا على 2π :$${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$$ حيث ħ هو ثابت بلانك المختزل . يُعد طول موجة كومبتون المختزل تمثيلاً طبيعياً للكتلة على المقياس الكمي، ويُستخدم في المعادلات المتعلقة بالكتلة العطالية، مثل معادلات كلاين-غوردون وشرودنغر. ^{[ 4 ]}

تستخدم المعادلات المتعلقة بأطوال موجات الفوتونات المتفاعلة مع الكتلة طول موجة كومبتون غير المختزل. يمتلك جسيم كتلته m طاقة سكون E = mc² . طول موجة كومبتون لهذا الجسيم هو طول موجة فوتون له نفس الطاقة. بالنسبة للفوتونات ذات التردد f ، تُعطى الطاقة بالعلاقة التالية ^:$${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$ مما ينتج عنه صيغة طول موجة كومبتون إذا تم حلها لإيجاد قيمة λ .

يُعدّ طول موجة كومبتون المختزل العكسي تمثيلاً طبيعياً للكتلة على المقياس الكمومي، ولذلك يظهر في المعادلات الأساسية لميكانيكا الكم. يظهر طول موجة كومبتون المختزل في معادلة كلاين-غوردون النسبية للجسيم الحر . $${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

يظهر ذلك في معادلة ديراك (الصيغة التالية هي صيغة متغيرة بشكل صريح تستخدم اصطلاح جمع أينشتاين ): $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

يظهر طول موجة كومبتون المخفّض أيضًا في معادلة شرودنغر للإلكترون في ذرة شبيهة بالهيدروجين ، على الرغم من أن هذا لا يظهر بوضوح في التمثيلات التقليدية للمعادلة. فيما يلي التمثيل التقليدي لمعادلة شرودنغر: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

وبقسمة المعادلة على ħc وإعادة كتابتها بدلالة ثابت البنية الدقيقة ، نحصل على: $${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

يمكن ربط الأطوال الذرية النموذجية، والأعداد الموجية، والمساحات في الفيزياء بطول موجة كومبتون المختزل للإلكترون ( ⁠${\displaystyle \textstyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq \mathrm {386~fm} }$) وثابت البنية الدقيقة الكهرومغناطيسية ( ⁠${\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$) .

يبلغ نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي حوالي ثلاثة أضعاف نصف قطر البروتون ، ويُكتب على النحو التالي: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

يرتبط نصف قطر بور بطول موجة كومبتون بالعلاقة التالية :$${\displaystyle a_{0}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

العدد الموجي الزاوي للفوتون الذي يمتلك وحدة هارتري واحدة ( وحدة الطاقة الذرية )${\displaystyle E_{\text{h}}=4\pi \hbar cR_{\infty }}$، حيث​${\displaystyle R_{\infty }}$⁠ هو ثابت ريدبيرج )، وهو (تقريبًا) طاقة الوضع السالبة للإلكترون في ذرة الهيدروجين، وضعف الطاقة اللازمة لتأيينه، وهو: $${\displaystyle {\frac {\hbar c}{E_{\text{h}}}}={\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 7.25~{\textrm {nm}}}$$

وهذا ينتج عنه التسلسل التالي: $${\displaystyle \alpha ^{-1}r_{\text{e}}=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}=\alpha a_{0}=\alpha ^{2}{\hbar c/E_{\text{h}}}.}$$

بالنسبة للفيرميونات ، يحدد نصف القطر الكلاسيكي (الكهرومغناطيسي) المقطع العرضي للتفاعلات الكهرومغناطيسية للجسيم. على سبيل المثال، المقطع العرضي لتشتت طومسون لفوتون من إلكترون يساوي $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {e} }={\frac {8\pi }{3}}r_{\text{e}}{}^{2}\simeq \mathrm {66.5~fm^{2}} ,}$$ وهو ما يعادل تقريبًا مساحة المقطع العرضي لنواة الحديد-56.

تم إثبات الأصل الهندسي لطول موجة كومبتون باستخدام معادلات شبه كلاسيكية تصف حركة حزمة موجية. ^{[ 11 ]} في هذه الحالة، يساوي طول موجة كومبتون الجذر التربيعي للمقياس الكمي، وهو مقياس يصف الفضاء الكمي :${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$⁠ .

• طول موجة دي برولي
• علاقة بلانك

• مقاييس الطول في الفيزياء: طول موجة كومبتون