ثابت ريدبيرج

في علم الأطياف ، ثابت ريدبرج ، رمز الذرات الثقيلة أو الهيدروجين، سمي على اسم الفيزيائي السويدي يوهانس ريدبرج ، هو ثابت فيزيائي يتعلق بالأطياف الكهرومغناطيسية للذرة . نشأ الثابت أولاً كمعامل تركيب تجريبي في صيغة ريدبرج لسلسلة أطياف الهيدروجين ، لكن نيلز بور أظهر لاحقًا أنه يمكن حساب قيمته من ثوابت أكثر أساسية وفقًا لنموذجه للذرة . ${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\text{H}}}$

قبل مراجعة النظام الدولي للوحدات لعام 2019 ، كان كل من عامل دوران الإلكترون وعامل g هما الثوابت الفيزيائية الأكثر دقة في القياس . ^[1]${\displaystyle R_{\infty }}$

يتم التعبير عن الثابت إما للهيدروجين على أنه ، أو عند حد الكتلة النووية اللانهائية على أنه . في كلتا الحالتين، يتم استخدام الثابت للتعبير عن القيمة الحدية لأعلى رقم موجي (طول موجي عكسي) لأي فوتون يمكن انبعاثه من ذرة الهيدروجين، أو بدلاً من ذلك، الرقم الموجي لأقل فوتون طاقة قادر على تأين ذرة الهيدروجين من حالتها الأساسية . يمكن التعبير عن سلسلة أطياف الهيدروجين ببساطة من حيث ثابت ريدبيرج للهيدروجين وصيغة ريدبيرج . ${\displaystyle R_{\text{H}}}$${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\text{H}}}$

في الفيزياء الذرية ، وحدة طاقة ريدبرج ، الرمز Ry، تتوافق مع طاقة الفوتون الذي يكون رقم موجته هو ثابت ريدبرج، أي طاقة تأين ذرة الهيدروجين في نموذج بور المبسط. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

قيمة CODATA هي

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=}$ 10 973 731 .568 157 (12) م ⁻¹ ، ^[2]

أين

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$هي كتلة سكون الإلكترون (أي كتلة الإلكترون ) ،
• ${\displaystyle e}$هي الشحنة الأولية
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي نفاذية الفضاء الحر ،
• ${\displaystyle h}$هو ثابت بلانك ، و
• ${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ.

يشير الرمز إلى أن النواة من المفترض أن تكون ثقيلة بلا حدود، ويمكن إجراء تحسين للقيمة باستخدام الكتلة المخفضة للذرة: ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\frac {1}{m_{\text{e}}}}+{\frac {1}{M}}}}}}$

مع كتلة النواة. ثابت ريدبرج المصحح هو: ${\displaystyle م}$

${\displaystyle R_{\text{M}}={\frac {\mu}{m_{\text{e}}}R_{\infty}}$

بالنسبة للهيدروجين، حيث كتلة البروتون ، تصبح: ${\displaystyle م}$${\displaystyle m_{\text{p}}}$

${\displaystyle R_{\text{H}}={\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}R_{\infty}\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{m}}^{-1},}$

نظرًا لأن ثابت ريدبرج مرتبط بخطوط طيف الذرة، فإن هذا التصحيح يؤدي إلى تحول نظيري بين النظائر المختلفة. على سبيل المثال، تم اكتشاف الديوتيريوم، وهو نظير للهيدروجين مع نواة مكونة من بروتون ونيوترون ( ) ، وذلك بفضل طيفه المتحول قليلاً. ^[3]${\displaystyle M=m_{\text{p}}+m_{\text{n}}\تقريبًا 2m_{\text{p}}}$

وحدة ريدبرج للطاقة هي

${\displaystyle 1\ {\text{Ry}}~~\equiv hc\,R_{\infty }=\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}/2}$

=2.179 872 361 1030 (24) × 10 ⁻¹⁸  جول [ ^4]

=13.605 693 122 990 (15) فولت ‍ [ ^5]

${\displaystyle cR_{\infty}}$=3.289 841 960 2500 (36) × 10 ¹⁵  هرتز . ^[6]

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;826(10)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

الطول الموجي الزاوي المقابل هو

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;77(16)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

يوضح نموذج بور الطيف الذري للهيدروجين (انظر سلسلة أطياف الهيدروجين ) بالإضافة إلى العديد من الذرات والأيونات الأخرى. إنه ليس دقيقًا تمامًا، ولكنه تقريب جيد بشكل ملحوظ في العديد من الحالات، ولعب تاريخيًا دورًا مهمًا في تطوير ميكانيكا الكم . يفترض نموذج بور أن الإلكترونات تدور حول النواة الذرية بطريقة مماثلة للكواكب التي تدور حول الشمس.

في أبسط نسخة من نموذج بور، تعتبر كتلة النواة الذرية لا نهائية مقارنة بكتلة الإلكترون، ^[7] بحيث يقع مركز كتلة النظام، مركز الثقل ، في مركز النواة. هذا التقريب اللانهائي للكتلة هو ما يُشار إليه بالرمز السفلي. ثم يتنبأ نموذج بور بأن أطوال الموجات لانتقالات ذرات الهيدروجين هي (انظر صيغة ريدبيرج ): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

حيث أن n ₁ و n ₂ هما أي عددين صحيحين موجبين مختلفين (1، 2، 3، ...)، و هو الطول الموجي (في الفراغ) للضوء المنبعث أو الممتص، مما يعطي ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

حيث و M هي الكتلة الكلية للنواة. تأتي هذه الصيغة من استبدال الكتلة المخفضة للإلكترون. ${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty}}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},}$

كان ثابت ريدبرج واحدًا من أكثر الثوابت الفيزيائية تحديدًا بدقة، مع عدم يقين معياري نسبي قدره1.1 × 10 ⁻¹² . ^[2] هذه الدقة تقيد قيم الثوابت الفيزيائية الأخرى التي تحددها. ^[8]

نظرًا لأن نموذج بور ليس دقيقًا تمامًا، بسبب البنية الدقيقة ، والانقسام فائق الدقة ، وغيرها من التأثيرات، لا يمكن قياس ثابت ريدبرج بشكل مباشر بدقة عالية جدًا من ترددات الانتقال الذري للهيدروجين وحده. بدلاً من ذلك، يتم استنتاج ثابت ريدبرج من قياسات ترددات الانتقال الذري في ثلاث ذرات مختلفة ( الهيدروجين ، والديوتيريوم ، والهيليوم المضاد للبروتون ). تُستخدم الحسابات النظرية التفصيلية في إطار الديناميكا الكهربائية الكمومية لتفسير تأثيرات الكتلة النووية المحدودة، والبنية الدقيقة، والانقسام فائق الدقة، وما إلى ذلك. أخيرًا، يتم تحديد قيمة من أفضل ملاءمة للقياسات للنظرية. ^[9]${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\infty }}$

يمكن أيضًا التعبير عن ثابت ريدبيرج كما في المعادلات التالية.

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{2h}}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

وفي وحدات الطاقة

${\displaystyle {\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}},}$

أين

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$هي كتلة سكون الإلكترون ،
• ${\displaystyle e}$هي الشحنة الكهربائية للإلكترون،
• ${\displaystyle h}$هو ثابت بلانك ،
• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$هو ثابت بلانك المخفض ،
• ${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء في الفراغ،
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هو الثابت الكهربائي (نفاذية الفراغ)
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$هو ثابت البنية الدقيقة ،
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$هو طول موجة كومبتون للإلكترون،
• ${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$هو تردد كومبتون للإلكترون،
• ${\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$هو التردد الزاوي لكومبتون للإلكترون،
• ${\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}/{e^{2}m_{\text{e}}}}$هو نصف قطر بور ،
• ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$هو نصف قطر الإلكترون الكلاسيكي .

يوضح التعبير الأخير في المعادلة الأولى أن الطول الموجي للضوء اللازم لتأين ذرة الهيدروجين هو 4 π / α مضروبًا في نصف قطر بور للذرة.

المعادلة الثانية مهمة لأن قيمتها هي معامل طاقة المدارات الذرية لذرة الهيدروجين: . ${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$

• حد ليمان