منتج نقطي

حاصل الضرب النقطي لمتجهين${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}$و${\displaystyle \mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}$، المحدد بالنسبة إلى أساس متعامد ، يتم تعريفه، في تدوين الجمع ، على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}$$

أين${\displaystyle n}$يمثل بُعد الفضاء المتجهي . على سبيل المثال، في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يكون حاصل الضرب النقطي للمتجهات${\displaystyle [1,3,-5]}$و${\displaystyle [4,-2,-1]}$يكون:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1\times 4)+(3\times -2)+(-5\times -1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$$

وبالمثل، فإن حاصل الضرب النقطي للمتجه${\displaystyle [1,3,-5]}$مع نفسه هو: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [1,3,-5]&=(1\times 1)+(3\times 3)+(-5\times -5)\\&=1+9+25\\&=35\end{aligned}}}$$

إذا تم تعريف المتجهات بمتجهات عمودية ، فيمكن أيضًا كتابة الضرب النقطي كضرب مصفوفي.$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {a} {^{\mathsf {T}}}}$يشير إلى منقولة${\displaystyle \mathbf {a} }$.

وبتعبير المثال أعلاه بهذه الطريقة، يتم ضرب مصفوفة 1 × 3 ( متجه صف ) في مصفوفة 3 × 1 ( متجه عمود ) للحصول على مصفوفة 1 × 1 يتم تحديدها من خلال مدخلها الفريد: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}=3\,.}$$

في الفضاء الإقليدي ، المتجه الإقليدي هو شكل هندسي له مقدار واتجاه. يمكن تصوير المتجه كسهم. مقداره هو طوله، واتجاهه هو الاتجاه الذي يشير إليه السهم. مقدار المتجه${\displaystyle \mathbf {a} }$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$. حاصل الضرب النقطي لمتجهين إقليديين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$يتم تعريفها بواسطة ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$.

على وجه الخصوص، إذا كانت المتجهات${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$متعامدة (أي أن زاويتها${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$أو${\displaystyle 90^{\circ }}$)، ثم${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}$وهذا يعني أن $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0.}$$ أما في الطرف الآخر، إذا كانت متوازية الاتجاه ، فإن الزاوية بينهما تساوي صفرًا.${\displaystyle \cos 0=1}$و $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|}$$ وهذا يعني أن حاصل الضرب النقطي للمتجه${\displaystyle \mathbf {a} }$مع نفسه هو $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\left\|\mathbf {a} \right\|^{2},}$$ مما يعطي $${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }},}$$ صيغة الطول الإقليدي للمتجه.

الإسقاط القياسي (أو المكون القياسي) لمتجه إقليدي${\displaystyle \mathbf {a} }$في اتجاه متجه إقليدي${\displaystyle \mathbf {b} }$يُعطى بواسطة $${\displaystyle a_{b}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$.

من حيث التعريف الهندسي للجداء النقطي، يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي $${\displaystyle a_{b}=\mathbf {a} \cdot {\widehat {\mathbf {b} }},}$$ أين${\displaystyle {\widehat {\mathbf {b} }}=\mathbf {b} /\left\|\mathbf {b} \right\|}$هو متجه الوحدة في اتجاه${\displaystyle \mathbf {b} }$.

وبالتالي، يتم تحديد الضرب النقطي هندسيًا بواسطة ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{b}\left\|\mathbf {b} \right\|=b_{a}\left\|\mathbf {a} \right\|.}$$ يكون حاصل الضرب النقطي، المعرّف بهذه الطريقة، متجانسًا تحت تغيير المقياس في كل متغير، مما يعني أنه لأي عدد قياسي${\displaystyle \alpha }$، $${\displaystyle (\alpha \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\alpha (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot (\alpha \mathbf {b} ).}$$ كما أنه يفي بقانون التوزيع ، مما يعني أن $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}$$

يمكن تلخيص هذه الخصائص بالقول إن الضرب النقطي هو شكل ثنائي الخطية . علاوة على ذلك، فإن هذا الشكل الثنائي الخطية موجب التحديد ، مما يعني أن${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }$لا تكون سالبة أبدًا، وتكون صفرًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$، المتجه الصفري .

لو${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}}$هي متجهات الأساس القياسية في${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ثم يمكننا أن نكتب $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=[a_{1},\dots ,a_{n}]=\sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\\\mathbf {b} &=[b_{1},\dots ,b_{n}]=\sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}.\end{aligned}}}$$ المتجهات${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$تشكل هذه المتجهات أساسًا متعامدًا ، مما يعني أن طولها يساوي واحدًا وهي متعامدة مع بعضها البعض. وبما أن طول هذه المتجهات يساوي واحدًا، $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=1}$$ وبما أنهما يشكلان زوايا قائمة مع بعضهما البعض، إذا${\displaystyle i\neq j}$، $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0.}$$ وبالتالي، يمكننا القول بشكل عام ما يلي: $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij},}$$ أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

كذلك، بحسب التعريف الهندسي، لأي متجه${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ومتجه${\displaystyle \mathbf {a} }$نلاحظ أن $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {e} _{i}\right\|\cos \theta _{i}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta _{i}=a_{i},}$$ أين${\displaystyle a_{i}}$هو عنصر المتجه${\displaystyle \mathbf {a} }$في اتجاه${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ويمكن رؤية الخطوة الأخيرة في المعادلة من الشكل.

وبتطبيق خاصية التوزيع للصيغة الهندسية للجداء النقطي، نحصل على $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \sum _{i}b_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}b_{i}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})=\sum _{i}b_{i}a_{i}=\sum _{i}a_{i}b_{i},}$$ وهذا هو التعريف الجبري للجداء النقطي. لذا فإن الجداء النقطي الهندسي يساوي الجداء النقطي الجبري.

بفرض وجود متجهين${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$و${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$يفصل بينهما زاوية${\displaystyle \theta }$(انظر الصورة العلوية)، فهي تشكل مثلثًا له ضلع ثالث${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }={\color {red}\mathbf {a} }-{\color {blue}\mathbf {b} }}$. يترك${\displaystyle \color {red}a}$،${\displaystyle \color {blue}b}$و${\displaystyle \color {orange}c}$تشير إلى أطوال${\displaystyle {\color {red}\mathbf {a} }}$،${\displaystyle {\color {blue}\mathbf {b} }}$، و${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$، على التوالي. حاصل الضرب النقطي لـ${\displaystyle {\color {orange}\mathbf {c} }}$مع نفسه هو: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\color {orange}c} \cdot \mathbf {\color {orange}c} &=(\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\cdot (\mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {blue}b} )\\&=\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {red}a} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {red}a} +\mathbf {\color {blue}b} \cdot \mathbf {\color {blue}b} \\&={\color {red}a}^{2}-\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} -\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\&={\color {red}a}^{2}-2\mathbf {\color {red}a} \cdot \mathbf {\color {blue}b} +{\color {blue}b}^{2}\\{\color {orange}c}^{2}&={\color {red}a}^{2}+{\color {blue}b}^{2}-2{\color {red}a}{\color {blue}b}\cos \mathbf {\color {purple}\theta } \\\end{aligned}}}$$ وهو قانون جيب التمام .

بالنسبة للمتجهات ذات العناصر المركبة ، فإن استخدام التعريف المعطى للجداء الداخلي سيؤدي إلى خصائص مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، قد يكون الجداء الداخلي لمتجه مع نفسه صفرًا دون أن يكون المتجه هو المتجه الصفري (على سبيل المثال، سيحدث هذا مع المتجه √(2^n)).${\displaystyle \mathbf {a} =[1\ i]}$وهذا بدوره سيؤثر على مفاهيم مثل الطول والزاوية. ويمكن الحفاظ على خصائص مثل المعيار الموجب المحدد على حساب التخلي عن خصائص التناظر والخطية الثنائية للجداء النقطي، وذلك من خلال التعريف البديل ^{[ 12 ] [ 2 ]} .$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i}{{a_{i}}\,{\overline {b_{i}}}},}$$ أين${\displaystyle {\overline {b_{i}}}}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle b_{i}}$عندما يتم تمثيل المتجهات بواسطة متجهات عمودية ، يمكن التعبير عن الضرب النقطي كضرب مصفوفي يتضمن منقولة مترافقة ، ويرمز لها بالرمز العلوي H: $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} .}$$

في حالة المتجهات ذات المركبات الحقيقية، يكون هذا التعريف مماثلاً لتعريفه في حالة المتجهات الحقيقية. حاصل الضرب القياسي لأي متجه مع نفسه هو عدد حقيقي غير سالب، وهو غير صفري باستثناء المتجه الصفري. مع ذلك، فإن حاصل الضرب القياسي المركب يكون شبه خطي وليس ثنائي الخطية، لأنه خطي مترافق وليس خطيًا في${\displaystyle \mathbf {a} }$. الضرب النقطي ليس متناظراً، لأن $${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\overline {\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} }}.}$$ الزاوية بين متجهين مركبين تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

يؤدي الضرب النقطي المعقد إلى مفاهيم الأشكال الهرميتية وفضاءات الضرب الداخلي العامة ، والتي تستخدم على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء .

حاصل الضرب النقطي الذاتي لمتجه معقد${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {a} ^{\mathsf {H}}\mathbf {a} }$تُعرف هذه العملية، التي تتضمن منقولة مترافقة لمتجه صف، أيضاً باسم المعيار التربيعي .${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\|\mathbf {a} \|^{2}}$، بعد المعيار الإقليدي ؛ إنه تعميم متجه للمربع المطلق لعدد قياسي مركب (انظر أيضًا: المسافة الإقليدية المربعة ).

يعمم الضرب الداخلي الضرب النقطي إلى فضاءات متجهة مجردة على حقل من الكميات القياسية ، سواء كان حقل الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو مجال الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$يُشار إليه عادةً باستخدام الأقواس الزاوية بواسطة${\displaystyle \left\langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} \right\rangle }$.

إن الضرب الداخلي لمتجهين على حقل الأعداد المركبة هو، بشكل عام، عدد مركب، وهو ضرب ثنائي الخطية بدلاً من ضرب ثنائي الخطية. فضاء الضرب الداخلي هو فضاء متجهي معياري ، والضرب الداخلي لمتجه مع نفسه يكون حقيقياً وموجباً تماماً.

يُعرَّف الضرب النقطي للمتجهات التي تحتوي على عدد محدود من العناصر . وبالتالي، يمكن اعتبار هذه المتجهات دوالًا منفصلة : طولها${\displaystyle n}$متجه${\displaystyle u}$إذن، هي دالة ذات مجال${\displaystyle \{k\in \mathbb {N} :1\leq k\leq n\}}$، و${\displaystyle u_{i}}$هي رمز لصورة${\displaystyle i}$بواسطة الدالة/المتجه${\displaystyle u}$.

يمكن تعميم هذا المفهوم ليشمل الدوال القابلة للتكامل التربيعي : فكما أن الضرب الداخلي على المتجهات يستخدم مجموعًا على المكونات المتناظرة، فإن الضرب الداخلي على الدوال يُعرَّف على أنه تكامل على فضاء قياس ما.${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\int _{X}uv\,{\text{d}}\mu .}$$

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي دوال متصلة على مجموعة جزئية مضغوطة${\displaystyle K}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام مقياس ليبيغ القياسي ، يصبح التعريف أعلاه كما يلي: $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{K}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} .}$$

ويمكن تعميم ذلك بشكل أكبر على الدوال المتصلة المعقدة${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \chi }$وبالمثل مع الضرب الداخلي المركب أعلاه، ينتج ما يلي: $${\displaystyle \left\langle \psi ,\chi \right\rangle =\int _{K}\psi (z){\overline {\chi (z)}}\,{\text{d}}z.}$$

يمكن أن تحتوي الضربات الداخلية على دالة وزن (أي دالة تُعطي وزنًا لكل حد من حدود الضرب الداخلي). وبشكل أكثر تحديدًا، الضرب الداخلي للدوال${\displaystyle u(x)}$و${\displaystyle v(x)}$فيما يتعلق بدالة الوزن${\displaystyle r(x)>0}$يكون $${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle _{r}=\int _{a}^{b}r(x)u(x)v(x)\,dx.}$$

يُعرف الضرب النقطي المزدوج للمصفوفات باسم الضرب الداخلي لفروبينيوس ، وهو مماثل للضرب النقطي للمتجهات. ويُعرَّف بأنه مجموع حاصل ضرب العناصر المتناظرة لمصفوفتين.${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$من نفس الحجم: $${\displaystyle \mathbf {A}$$ :\mathbf {B} =\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}{\overline {B_{ij}}}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} ^{\mathsf {H}}\mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {H}}).} وبالنسبة للمصفوفات الحقيقية، $${\displaystyle \mathbf {A}$$ B = ∑ᵢ ∑ⱼ Aᵢⱼ Bᵢⱼ = tr(BᵀA) = tr(A BᵀT) = tr(AᵀT B) = tr(B AᵀT).

عند كتابة المصفوفة كثنائية ، يمكننا تعريف ضرب نقطي مزدوج مختلف (انظر الثنائيات §  ضرب ثنائي وثنائي ) ومع ذلك فهو ليس ضربًا داخليًا.

الضرب النقطي (الأحادي) بين موتر من الرتبة${\displaystyle n}$وموتر من الرتبة${\displaystyle m}$هو موتر من الرتبة${\displaystyle n+m-2}$(بشكل عام، كل نقطة تقلل الترتيب بمقدار 2)، انظر انكماش الموتر لمزيد من التفاصيل.

قد تعاني الخوارزمية المباشرة لحساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات ذات الفاصلة العائمة من مشكلة الإلغاء الكارثي . ولتجنب ذلك، تُستخدم طرق مثل خوارزمية جمع كاهان .

تتضمن الدالة التالية:

• المستوى الأول من مكتبة BLASSDOT : حقيقي ، DDOTمعقد CDOTU، ZDOTU = X^T * Y، CDOTC،ZDOTC = X^H * Y
• فورتران كـ dot_product(A,B)أوsum(conjg(A) * B)
• جوليا كـ أو المكتبة القياسية LinearAlgebra كـ A' * Bdot(A, B)
• R (لغة برمجة) كما هو الحال sum(A * B)بالنسبة للمتجهات أو، بشكل أعم بالنسبة للمصفوفات، كماA %*% B
• Matlab كـ أو أو أو A' * B  conj(transpose(A)) * B  sum(conj(A) .* B)  dot(A, B)
• بايثون (حزمة NumPy ) كـ أو np.dot(A, B)  np.inner(A, B)
• برنامج GNU Octave ، وشفرة مشابهة لبرنامج Matlab sum(conj(X) .* Y, dim)
• dot = sub(x)'*sub(y)مكتبة Intel oneAPI الرياضية الأساسيةdotc = conjg(sub(x)')*sub(y)