توزيع منحط

في نظرية الاحتمالات ، التوزيع المنحط على فضاء القياس${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$هو توزيع احتمالي تكون مجموعته الداعمة مجموعة فارغة بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$على سبيل المثال، في الفضاء ذي الأبعاد n ، ℝⁿ، المزود بمقياس ليبيغ، فإن أي توزيع مركز على فضاء جزئي ذي أبعاد d حيث d < n هو توزيع منحل على ℝⁿ. [ ¹ ] وهذا في جوهره نفس مفهوم مقياس الاحتمال المفرد ، ^{ولكن مصطلح " منحل} " يُستخدم عادةً عندما ينشأ التوزيع كحد لتوزيعات (غير منحلة).

عندما يتكون نطاق التوزيع المنحط من نقطة واحدة a ، فإن هذا التوزيع هو مقياس ديراك في a : إنه توزيع لمتغير عشوائي حتمي يساوي a باحتمال  1. هذه حالة خاصة من التوزيع المنفصل ؛ دالة كتلة الاحتمال الخاصة به تساوي 1 في a و 0 في أي مكان آخر.

في حالة المتغير العشوائي ذي القيم الحقيقية، تكون دالة التوزيع التراكمي للتوزيع المنحط الموضعي في a هي $${\displaystyle F_{a}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq a\\0,&{\mbox{if }}x<a\end{matrix}}\right.}$$ غالباً ما تنشأ هذه التوزيعات المنحطة كحدود للتوزيعات المستمرة التي يؤول تباينها إلى الصفر.

المتغير العشوائي الثابت هو متغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة ثابتة ، بغض النظر عن أي حدث يقع. وهذا يختلف تقنيًا عن المتغير العشوائي الثابت شبه المؤكد ، الذي قد يأخذ قيمًا أخرى، ولكن فقط في الأحداث ذات الاحتمالية الصفرية: ليكن X : Ω → ℝ متغيرًا عشوائيًا حقيقي القيمة معرفًا على فضاء احتمالي (Ω, ℙ) . عندئذٍ يكون X متغيرًا عشوائيًا ثابتًا شبه مؤكد إذا وُجد${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$بحيث $${\displaystyle \mathbb {P} (X=a)=1,}$$ ويكون كذلك متغيرًا عشوائيًا ثابتًا إذا $${\displaystyle X(\omega )=a,\quad \forall \omega \in \Omega .}$$ المتغير العشوائي الثابت يكون ثابتًا تقريبًا بشكل مؤكد، لكن العكس ليس صحيحًا، لأنه إذا كان X ثابتًا تقريبًا بشكل مؤكد، فقد يوجد ω ∈ Ω بحيث يكون X (ω) ≠ a . ولأغراض عملية، فإن التمييز بين كون X ثابتًا أو ثابتًا تقريبًا بشكل مؤكد غير مهم، لأن هاتين الحالتين تتوافقان مع نفس التوزيع المنحط: مقياس ديراك.

من شبه المؤكد أن المتغيرات العشوائية الثابتة مستقلة عن كل شيء - أي إذا${\displaystyle X}$من شبه المؤكد أن يكون ثابتًا، إذن لكل حدث${\displaystyle A}$وكل مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle B\subset \mathbb {R} }$، $${\displaystyle \mathbb {P} (\{X\in B\}\cap A)=\mathbb {P} (X\in B)\times \mathbb {P} (A).}$$ على وجه الخصوص، يكون المتغير العشوائي الثابت تقريبًا مستقلاً عن نفسه. علاوة على ذلك، فإن هذا الاستقلال الذاتي يميز المتغيرات العشوائية الثابتة تقريبًا: إذا كان المتغير العشوائي مستقلاً عن نفسه، فإنه يكون ثابتًا تقريبًا.

يحدث انحلال التوزيع متعدد المتغيرات في n متغيرًا عشوائيًا عندما يقع نطاقه في فضاء ذي بُعد أقل من n . ^{[ 1 ]} ويحدث هذا عندما يكون أحد المتغيرات على الأقل دالة حتمية للمتغيرات الأخرى. على سبيل المثال، في حالة متغيرين، لنفترض أن Y = aX + b للمتغيرين العشوائيين القياسيين X و Y ، والثوابت القياسية a ≠ 0 و b ؛ هنا، معرفة قيمة أحد المتغيرين X أو Y تُعطي معرفة دقيقة لقيمة الآخر. تقع جميع النقاط الممكنة ( x , y ) على الخط أحادي البُعد y = ax + b .

بشكل عام، عندما يتم تحديد واحد أو أكثر من المتغيرات العشوائية n بشكل خطي تمامًا بواسطة المتغيرات الأخرى، إذا كانت مصفوفة التغاير موجودة، فإن رتبتها أقل من n ^{[ 1 ]} ومحددها يساوي 0، لذا فهي شبه موجبة ولكنها ليست موجبة تمامًا، ويكون توزيع الاحتمال المشترك منحلًا.

يمكن أن يحدث الانحلال حتى مع وجود تباين غير صفري. على سبيل المثال، عندما يكون العدد القياسي X موزعًا بشكل متناظر حول الصفر، ويكون Y معطاة بالضبط بالعلاقة Y = X² ^، فإن جميع النقاط الممكنة ( x , y ) تقع على القطع المكافئ y = x² ^، وهو مجموعة جزئية أحادية البعد من الفضاء ثنائي الأبعاد.