الدعم (نظرية القياس)

في الرياضيات ، يُشير مصطلح "الدعم" (أو أحيانًا الدعم الطوبولوجي أو الطيف ) إلى نطاق القياس.${\displaystyle \mu }$على فضاء طوبولوجي قابل للقياس${\displaystyle (X,\operatorname {Borel} (X))}$هو مفهوم دقيق لمكان وجودك في الفضاء${\displaystyle X}$المقياس "الحياة". ويُعرَّف بأنه أكبر مجموعة فرعية ( مغلقة ) من${\displaystyle X}$والتي يكون لكل جوار مفتوح لكل نقطة من المجموعة قياس موجب.

مقياس (غير سلبي)${\displaystyle \mu }$في مساحة قابلة للقياس${\displaystyle (X,\Sigma )}$هي في الواقع دالة${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to [0,+\infty ].} لذلك، وفقًا للتعريف المعتاد للدعم، فإن دعم${\displaystyle \mu }$هي مجموعة جزئية من جبر سيجما${\displaystyle \Sigma$ :} $${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):={\overline {\{A\in \Sigma \,\vert \,\mu (A)\neq 0\}}},}$$ حيث يشير الخط العلوي إلى إغلاق المجموعة . ومع ذلك، فإن هذا التعريف غير مُرضٍ إلى حد ما: فنحن نستخدم مفهوم الإغلاق، ولكننا لا نمتلك حتى طوبولوجيا على${\displaystyle \Sigma .}$ما نريد معرفته حقًا هو أين في الفضاء${\displaystyle X}$الإجراء${\displaystyle \mu }$لا يساوي الصفر. لنأخذ مثالين:

1. مقياس ليبيغ${\displaystyle \lambda }$على الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} .}$يبدو واضحاً أن${\displaystyle \lambda }$"يعيش على" الخط الحقيقي بأكمله.
2. مقياس ديراك${\displaystyle \delta _{p}}$في مرحلة ما${\displaystyle p\in \mathbb {R} .}$ومرة أخرى، يشير الحدس إلى أن المقياس${\displaystyle \delta _{p}}$"يعيش عند" النقطة${\displaystyle p,}$ولا مكان آخر.

في ضوء هذين المثالين، يمكننا رفض التعريفات المرشحة التالية لصالح التعريف الوارد في القسم التالي:

1. يمكننا إزالة النقاط التي${\displaystyle \mu }$يساوي صفرًا، ونعتبر الدعم هو الباقي${\displaystyle X\setminus \{x\in X\mid \mu (\{x\})=0\}.}$قد ينجح هذا مع مقياس ديراك${\displaystyle \delta _{p},}$لكن هذا لن ينجح بالتأكيد بالنسبة لـ${\displaystyle \lambda$ بما أن مقياس ليبيغ لأي مجموعة أحادية يساوي صفرًا، فإن هذا التعريف سيعطي${\displaystyle \lambda }$دعامة فارغة.
2. بالمقارنة مع مفهوم الإيجابية الصارمة للمقاييس، يمكننا اعتبار الدعم مجموعة جميع النقاط التي لها جوار ذو مقياس إيجابي:$${\displaystyle \{x\in X\mid \exists N_{x}{\text{ open}}{\text{ such that }}(x\in N_{x}{\text{ and }}\mu (N_{x})>0)\}}$$(أو إغلاق هذا). وهو أيضًا تبسيط مفرط: بأخذ${\displaystyle N_{x}=X}$لجميع النقاط${\displaystyle x\in X,}$وهذا من شأنه أن يجعل دعم كل إجراء باستثناء الإجراء الصفري هو كل${\displaystyle X.}$

ومع ذلك، فإن فكرة "الإيجابية الصارمة المحلية" ليست بعيدة جدًا عن تعريف عملي.

يترك${\displaystyle (X,T)}$ليكن فضاءً طوبولوجياً ؛${\displaystyle B(T)}$لنرمز إلى جبر بوريل سيجما على${\displaystyle X,}$أي أصغر جبر سيجما على${\displaystyle X}$التي تحتوي على جميع المجموعات المفتوحة${\displaystyle U\in T.}$يترك${\displaystyle \mu }$كن مقياسًا لـ${\displaystyle (X,B(T))}$ثم نطاق الدعم (أو الطيف ) لـ${\displaystyle \mu }$تُعرَّف بأنها مجموعة جميع النقاط${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$والتي من أجلها كل حي مفتوح${\displaystyle N_{x}}$ل${\displaystyle x}$له مقياس إيجابي :$${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu ):=\{x\in X\mid \forall N_{x}\in T\colon (x\in N_{x}\Rightarrow \mu (N_{x})>0)\}.}$$

يفضل بعض المؤلفين أخذ خاصية الإغلاق للمجموعة المذكورة أعلاه. ومع ذلك، فهذا ليس ضرورياً: انظر "الخصائص" أدناه.

ويمكن تعريف الدعم تعريفاً مكافئاً بأنه الأكبر${\displaystyle C\in B(T)}$(فيما يتعلق بالاحتواء) بحيث يكون كل مجموعة مفتوحة لها تقاطع غير فارغ مع${\displaystyle C}$له مقياس إيجابي، أي الأكبر${\displaystyle C}$بحيث: $${\displaystyle (\forall U\in T)(U\cap C\neq \varnothing \implies \mu (U\cap C)>0).}$$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu _{1}+\mu _{2})=\operatorname {supp} (\mu _{1})\cup \operatorname {supp} (\mu _{2})}$يحجز.

مقياس${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle X}$يكون إيجابياً بشكل قاطع إذا وفقط إذا كان مدعوماً${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$لو${\displaystyle \mu }$إيجابي تماماً و${\displaystyle x\in X}$إذا كان عشوائيًا، فإن أي جوار مفتوح لـ${\displaystyle x,}$بما أنها مجموعة مفتوحة ، فإن لها قياسًا موجبًا؛ ومن ثم،${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu ),}$لذا${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X.}$على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle \operatorname {supp} (\mu )=X,}$إذن، كل مجموعة مفتوحة غير فارغة (باعتبارها جوارًا مفتوحًا لنقطة ما في داخلها، وهي أيضًا نقطة من نقاط الدعم) لها قياس موجب؛ ومن ثم،${\displaystyle \mu }$إيجابي تمامًا. يتم إغلاق دعم الإجراء في${\displaystyle X,}$لأن مكملها هو اتحاد المجموعات المفتوحة للقياس${\displaystyle 0.}$

بشكل عام، قد يكون نطاق قياس غير صفري فارغًا: انظر الأمثلة أدناه. ومع ذلك، إذا${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي هاوسدورف و${\displaystyle \mu }$هو مقياس الرادون ، مجموعة بوريل${\displaystyle A}$خارج نطاق الدعم يكون قياسه صفرًا : $${\displaystyle A\subseteq X\setminus \operatorname {supp} (\mu )\implies \mu (A)=0.}$$ والعكس صحيح إذا${\displaystyle A}$مفتوح، لكنه ليس صحيحًا بشكل عام: فهو يفشل إذا وُجدت نقطة${\displaystyle x\in \operatorname {supp} (\mu )}$بحيث${\displaystyle \mu (\{x\})=0}$(مثل مقياس لوبيغ). وبالتالي، لا حاجة إلى "التكامل خارج نطاق الدعم": لأي دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \int _{X}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{\operatorname {supp} (\mu )}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x).}$$

يرتبط مفهوم دعم المقياس ومفهوم طيف المؤثر الخطي الذاتي المرافق على فضاء هيلبرت ارتباطًا وثيقًا. في الواقع، إذا${\displaystyle \mu }$هو مقياس بوريل منتظم على الخط${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ثم عامل الضرب${\displaystyle (Af)(x)=xf(x)}$يكون ذاتي الترافق على نطاقه الطبيعي $${\displaystyle D(A)=\{f\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\mid xf(x)\in L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )\}}$$ ويتطابق طيفها مع النطاق الأساسي لدالة التطابق${\displaystyle x\mapsto x,}$وهذا هو بالضبط دعم${\displaystyle \mu .}$^{[ 1 ]}

• أمبروسيو، ل.، جيجلي، ن.، وسافاري، ج. (2005). تدفقات التدرج في الفضاءات المترية وفي فضاء مقاييس الاحتمال . المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ، دار نشر بيركهاوزر، بازل. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
• بوغاتشيف، في. آي. (2007). نظرية القياس . المجلد  2. سبرينغر برلين هايدلبرغ. ISBN 978-3-540-34514-5.
• بارثاساراثي، ك. ر. (2005). مقاييس الاحتمال على الفضاءات المترية . دار نشر تشيلسي التابعة لجمعية الرياضيات الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند. ص.  12+276. ISBN 0-8218-3889-X.MR 2169627 (انظر الفصل 2، القسم 2) 
• تيشل، جيرالد (2009). الأساليب الرياضية في ميكانيكا الكم مع تطبيقات على مؤثرات شرودنغر . الجمعية الأمريكية للرياضيات.(انظر الفصل 3، القسم 2)