متعدد السطوح مرن

في الهندسة ، يُعرف المجسم المرن بأنه سطح متعدد السطوح بدون حواف، يمكن تغيير شكله باستمرار مع الحفاظ على أشكال جميع أوجهه ثابتة. تُبين نظرية كوشي للصلابة أنه في البعد  الثالث، لا يمكن أن يكون هذا المجسم محدبًا (وينطبق هذا أيضًا على الأبعاد الأعلى).

أحد أشكال بريكارد الثمانية السطوح، خط استوائه عبارة عن متوازي أضلاع مضاد

يُعدّ متعدد السطوح ستيفن أبسط متعدد سطوح مرن غير متقاطع ذاتيًا.

Kaleidocycle ، وهو متعدد السطوح مرن يمكنه الالتفاف باستمرار حول محور عند الحلقة.

اكتشف راؤول بريكارد ( 1897 ) أولى الأمثلة على المجسمات المرنة ، والتي تُعرف باسم ثمانيات وجوه بريكارد . وهي عبارة عن أسطح متقاطعة ذاتيًا ومتساوية القياس مع ثماني وجوه منتظم . أما أول مثال على سطح مرن غير متقاطع ذاتيًا في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد فهو... ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تم اكتشاف كرة كونلي بواسطة روبرت كونلي ( 1977 ) . 

يُعدّ مجسم ستيفن متعدد السطوح مجسمًا مرنًا آخر غير متقاطع ذاتيًا، وله تسعة رؤوس، وهو مشتق من ثماني السطوح لبريكارد. ^{[ 1 ]} ويُزعم أنه الأقل عددًا من الرؤوس بين جميع المجسمات المرنة الأخرى، على الرغم من وجود مجسم آخر ذي ثمانية رؤوس، وذلك بدمج ثمانيتي سطوح لبريكارد لتشكيل هرم ثنائي خماسي مرن متقاطع ذاتيًا . ^{[ 2 ]}

يُعدّ الكاليدوسايكل (أو المتشابك المرن) مثالاً آخر على متعدد السطوح المرن، ويتم بناؤه عن طريق ربط ستة أشكال رباعية الأضلاع ثنائية الإسفين على حواف متقابلة لتشكيل حلقة. يمكن لهذا متعدد السطوح أن يلتف باستمرار حول محور عند الحلقة. ^{[ 3 ]}

في أواخر سبعينيات القرن العشرين، صاغ كونلي ود. سوليفان فرضية المنفاخ التي تنص على أن حجم متعدد السطوح المرن ثابت عند ثنيه. وقد برهن إ. خ. سابيتوف ( 1995 ) هذه الفرضية لمتعددات السطوح المتماثلة مع الكرة باستخدام نظرية الحذف ، ثم برهنها روبرت كونلي وإ. سابيتوف وأنكي والتز ( 1997 ) لأسطح متعددة السطوح ثنائية الأبعاد قابلة للتوجيه بشكل عام . ^{[ 4 ] [ 5 ]} ويُعمم هذا البرهان صيغة بييرو ديلا فرانشيسكا لحجم رباعي السطوح لتشمل صيغة حجم أي متعدد سطوح. وتُبين الصيغة الموسعة أن الحجم يجب أن يكون جذرًا لكثير حدود تعتمد معاملاته فقط على أطوال حواف متعدد السطوح. بما أن أطوال الحواف لا يمكن أن تتغير مع انحناء متعدد السطوح، فإن الحجم يجب أن يظل عند أحد الجذور المحدودة لكثير الحدود، بدلاً من أن يتغير باستمرار. ^{[ 6 ]}  

افترض كونلي أن ثابت دين للمجسم المرن يظل ثابتًا عند ثنيه. عُرف هذا الافتراض باسم فرضية المنفاخ القوي ، أو (بعد إثباته عام ٢٠١٨) نظرية المنفاخ القوي . ^{[ ٧ ]} ولأن جميع تكوينات المجسم المرن لها نفس الحجم ونفس ثابت دين، فإنها تُعتبر متطابقة تمامًا ، مما يعني أنه لأي تكوينين منها، يُمكن تقسيم أحدهما إلى أجزاء متعددة السطوح يُمكن إعادة تجميعها لتشكيل الآخر. يُعرَّف متوسط ​​الانحناء الكلي للمجسم المرن بأنه مجموع حاصل ضرب أطوال الحواف في الزوايا ثنائية السطوح الخارجية، وهو دالة لثابت دين الذي من المعروف أيضًا أنه يظل ثابتًا أثناء ثني المجسم. ^{[ ٨ ]}

درس هيلموث ستاشل ( 2000 ) متعددات الوجوه المرنة ذات الأبعاد 4 في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد والفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد . ^{[ 9 ]} في الأبعاد ${\displaystyle n\geq 5}$تم بناء متعددات الوجوه المرنة بواسطة جايفولين (2014) . ^{[ 10 ]}

• فليكساجون
• متعدد السطوح كوكوتساكيس
• فن الأوريغامي الصلب

• وايسشتاين، إريك دبليو ، " متعدد السطوح المرن " (" تخمين المنفاخ ") في MathWorld .