عيب زاوي

في الهندسة ، يُعرف النقص الزاوي أو ببساطة النقص (ويُسمى أيضًا العجز أو النقص ) بأنه عدم وصول مجموع بعض الزوايا إلى القيمة المتوقعة وهي 360° أو 180°، بينما تصل هذه الزوايا في المستوى الإقليدي إلى هذه القيمة. أما المفهوم المعاكس فهو الزيادة .

تقليديًا، يظهر هذا النقص في سياقين: في المستوى الإقليدي، يكون مجموع الزوايا حول نقطة ما 360 درجة، بينما يكون مجموع الزوايا الداخلية في المثلث 180 درجة. مع ذلك، في المجسم المحدب ، يكون مجموع زوايا الأوجه المتقابلة عند رأس ما أقل من 360 درجة (نقص)، بينما قد يكون مجموع الزوايا عند بعض رؤوس المجسم غير المحدب أكبر من 360 درجة (زيادة). إضافةً إلى ذلك، يكون مجموع الزوايا في المثلث الزائدي أقل من 180 درجة (نقص)، بينما يكون مجموع الزوايا في المثلث الكروي أكبر من 180 درجة (زيادة).

في المصطلحات الحديثة، يُعرَّف العيب عند رأسٍ ما بأنه نسخة منفصلة من انحناء سطح متعدد السطوح، مُركَّز عند تلك النقطة . يشير العيب السالب إلى أن الرأس يُشبه نقطة سرجية (انحناء سالب)، بينما يشير العيب الموجب إلى أن الرأس يُشبه قيمة عظمى أو صغرى محلية (انحناء موجب). تُعطي نظرية غاوس-بونيه الانحناء الكلي على النحو التالي:${\displaystyle 2\pi }$مضروبة في خاصية أويلر${\displaystyle \chi =2}$لذا، بالنسبة لمجسم متعدد السطوح محدب، يكون مجموع العيوب هو${\displaystyle 4\pi }$بينما يمتلك متعدد السطوح الحلقي${\displaystyle \chi =0}$ونسبة العيوب الإجمالية صفر.

بالنسبة للمجسم متعدد السطوح ، يساوي النقص عند أي رأس 2π ناقص مجموع جميع الزوايا عند ذلك الرأس (بما في ذلك جميع الأوجه عند الرأس). إذا كان المجسم محدبًا، فإن النقص عند كل رأس يكون دائمًا موجبًا. أما إذا تجاوز مجموع الزوايا دورة كاملة ، كما يحدث في بعض رؤوس العديد من المجسمات غير المحدبة، فإن النقص يكون سالبًا.

يمتد مفهوم العيب إلى أبعاد أعلى باعتباره المقدار الذي يقل به مجموع الزوايا ثنائية السطوح للخلايا عند الذروة عن دائرة كاملة.

يبلغ عيب أي رأس من رؤوس المجسم الاثني عشري المنتظم (الذي تلتقي فيه ثلاثة أشكال خماسية منتظمة عند كل رأس) 36 درجة، أو π/5 راديان، أو 1/10 من الدائرة. قياس كل زاوية من زواياه 108 درجات؛ وتلتقي ثلاث من هذه الزوايا عند كل رأس، لذا فإن العيب هو 360 درجة - (108 درجات + 108 درجات + 108 درجات) = 36 درجة.

يمكن اتباع الإجراء نفسه بالنسبة للأجسام الأفلاطونية الأخرى :

شكل	عدد الرؤوس	تلتقي المضلعات عند كل رأس	عيب عند كل رأس	عيب كامل
رباعي الأوجه	4	ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع	${\displaystyle \pi \ \ (180^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
المجسم الثماني	6	أربعة مثلثات متساوية الأضلاع	${\displaystyle {2\pi \over 3}\ (120^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
مكعب	8	ثلاثة مربعات	${\displaystyle {\pi \over 2}\ \ (90^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
المجسم العشري الوجوه	12	خمسة مثلثات متساوية الأضلاع	${\displaystyle {\pi \over 3}\ \ (60^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$
مجسم ذو اثني عشر وجهًا	20	ثلاثة أشكال خماسية منتظمة	${\displaystyle {\pi \over 5}\ \ (36^{\circ })}$	${\displaystyle 4\pi \ \ (720^{\circ })}$

تنص نظرية ديكارت حول "النقص الكلي" للمجسم متعدد السطوح على أنه إذا كان المجسم متعدد السطوح متماثلًا طوبولوجيًا مع كرة (أي مكافئًا طوبولوجيًا للكرة، بحيث يمكن تشويهه إلى كرة عن طريق التمدد دون تمزق)، فإن "النقص الكلي"، أي مجموع عيوب جميع الرؤوس، يساوي دائرتين كاملتين (أو 720 درجة أو 4π راديان ). ولا يشترط أن يكون المجسم متعدد السطوح محدبًا. ^{[ 1 ]}

ينص تعميم على أن عدد الدوائر في العيب الكلي يساوي خاصية أويلر للمجسم متعدد السطوح. هذه حالة خاصة من نظرية غاوس-بونيه ، التي تربط تكامل انحناء غاوس بخاصية أويلر. هنا، يتركز انحناء غاوس عند الرؤوس: أما على الأوجه والحواف فيكون الانحناء صفراً (السطح متساوي القياس محلياً مع مستوى إقليدي)، ويكون تكامل الانحناء عند رأس ما مساوياً للعيب الموجود عنده (بحسب التعريف).

يمكن استخدام هذا لحساب عدد رؤوس متعدد السطوح V عن طريق جمع زوايا جميع الأوجه، وإضافة النقص الكلي (وهو${\displaystyle 2\pi }$مضروبة في خاصية أويلر). سيحتوي هذا المجموع على دائرة كاملة واحدة لكل رأس في المجسم متعدد السطوح.

يُقدّم عكس نظرية ديكارت من خلال نظرية ألكسندروف على المجسمات ، والتي تنص على أن الفضاء المتري الذي يكون إقليديًا محليًا (وبالتالي انحناءه صفري) باستثناء عدد محدود من النقاط ذات النقص الزاوي الموجب، يُضاف إلى${\displaystyle 4\pi }$يمكن تحقيق ذلك بشكل فريد كسطح متعدد السطوح محدب. ^{[ 2 ]}

من المغري الاعتقاد بأن كل متعدد السطوح غير محدب يجب أن يحتوي على بعض الرؤوس التي يكون عيبها سالبًا، ولكن هذا ليس بالضرورة هو الحال إذا كانت خاصية أويلر موجبة (كرة طوبولوجية).

متعددات السطوح ذات العيوب الموجبة

يُقدّم مثالٌ مضادٌّ مكعبًا استُبدل أحد أوجهه بهرمٍ مربّع : هذا الهرم المربّع المُطوّل محدب، والعيوب عند كل رأسٍ فيه موجبة. الآن، لننظر إلى المكعب نفسه حيثُ يُوضع الهرم المربّع داخله: هذا المكعب مُقعّر، لكن العيوب تبقى كما هي، وبالتالي فهي جميعها موجبة.

من الأمثلة المضادة التي تمثل متعددات الوجوه المتقاطعة ذاتيًا، المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا والمجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا ، مع اثني عشر وعشرين نقطة محدبة على التوالي، وكلها ذات عيوب موجبة.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العيب الزاوي" . عالم الرياضيات .