أطلس (طوبولوجيا)

في الرياضيات ، وخاصة في علم الطوبولوجيا ، يُستخدم مصطلح "الأطلس" لوصف الفضاء المتشعب . يتألف الأطلس من مخططات منفصلة تصف، بشكل عام، مناطق محددة من الفضاء المتشعب. وبشكل عام، يُشكل مفهوم الأطلس أساس التعريف الرسمي للفضاء المتشعب والبنى ذات الصلة، مثل حزم المتجهات وحزم الألياف الأخرى .

يعتمد تعريف الأطلس على مفهوم المخطط . المخطط الخاص بالفضاء الطوبولوجي M هو تماثل طوبولوجي${\displaystyle \varphi }$من مجموعة جزئية مفتوحة U من M إلى مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء إقليدي . يُسجل المخطط تقليديًا على شكل زوج مرتب${\displaystyle (U,\varphi )}$[ ^{1 ]​}

عند اختيار نظام إحداثيات في الفضاء الإقليدي، فإن هذا يحدد الإحداثيات على${\displaystyle U}$إحداثيات نقطة${\displaystyle P}$ل${\displaystyle U}$تُعرَّف بأنها إحداثيات${\displaystyle \varphi (P).}$يُطلق على الزوج المتكون من مخطط ونظام إحداثيات كهذا اسم نظام إحداثيات محلي ، أو مخطط إحداثيات ، أو رقعة إحداثيات ، أو خريطة إحداثيات ، أو إطار محلي .

أطلس للفضاء الطوبولوجي​${\displaystyle M}$هي عائلة مفهرسة${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$من الرسوم البيانية على${\displaystyle M}$والذي يغطي${\displaystyle M}$(إنه،${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$إذا كانت صورة كل مخطط ، لبعض القيم الثابتة لـ n ، مجموعة جزئية مفتوحة من الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، فإن${\displaystyle M}$يقال إنها متعددة الأبعاد ذات n بُعد .

جمع كلمة أطلس هو أطالس ، على الرغم من أن بعض المؤلفين يستخدمون كلمة أطلانتس . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

أطلس${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$في${\displaystyle n}$متعدد الأبعاد${\displaystyle M}$يُطلق عليه اسم أطلس مناسب إذا تحققت الشروط التالية:

• صورة كل مخطط إما${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$، أين${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$هو نصف الفضاء المغلق ،
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$هو غطاء مفتوح محدود محليًا لـ${\displaystyle M}$، و
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$، أين${\displaystyle B_{1}}$هي الكرة المفتوحة ذات نصف القطر 1 والمتمركزة عند نقطة الأصل.

كل مشعب قابل للعد من الدرجة الثانية يقبل أطلسًا مناسبًا. ^{[ 4 ]} علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$هو غطاء مفتوح للمشعب الثاني القابل للعد${\displaystyle M}$إذن، يوجد أطلس مناسب.${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$على${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$هو تحسين لـ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$[ ^{4 ]​}

${\displaystyle M}$

${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\displaystyle U_{\beta }}$

${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

${\displaystyle \tau _{\beta ,\alpha }}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

مخططان على سطح متعدد الشعب، وخريطة الانتقال الخاصة بكل منهما

تُتيح خريطة الانتقال مقارنة خريطتين من أطلس. ولإجراء هذه المقارنة، ننظر في تركيب إحدى الخريطتين مع معكوس الأخرى. ولا يكون هذا التركيب مُحددًا بدقة إلا إذا قصرنا الخريطتين على تقاطع نطاق تعريفهما . (على سبيل المثال، إذا كانت لدينا خريطة لأوروبا وخريطة لروسيا، فيمكننا مقارنة هاتين الخريطتين بناءً على تقاطعهما، أي الجزء الأوروبي من روسيا).

بتعبير أدق، لنفترض أن${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$و${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$يوجد مخططان لمتشعب M بحيث${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$غير فارغة . خريطة الانتقال${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$هل الخريطة محددة بواسطة $${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta}=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

لاحظ ذلك منذ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$و${\displaystyle \varphi _{\beta }}$كلاهما تماثلات تماثلية، خريطة الانتقال${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$وهو أيضاً تماثل شكلي.

غالبًا ما يرغب المرء في بنية أكثر تعقيدًا على سطح متعدد الشعب تتجاوز مجرد البنية الطوبولوجية. على سبيل المثال، إذا رغب المرء في مفهوم واضح لا لبس فيه لتفاضل الدوال على سطح متعدد الشعب، فمن الضروري إنشاء أطلس تكون دوال انتقاله قابلة للتفاضل . يُسمى هذا السطح متعدد الشعب قابلًا للتفاضل . وبوجود سطح متعدد الشعب قابل للتفاضل، يمكن تعريف مفهوم متجهات المماس، ومن ثم المشتقات الاتجاهية ، تعريفًا واضحًا لا لبس فيه .

إذا كانت كل دالة انتقال عبارة عن دالة سلسة ، يُطلق على الأطلس اسم أطلس سلس ، ويُطلق على المتشعب نفسه اسم متشعب سلس . بدلاً من ذلك، يمكن اشتراط أن تحتوي دوال الانتقال على k مشتقة متصلة فقط، وفي هذه الحالة يُقال إن الأطلس${\displaystyle C^{k}}$.

بشكل عام، إذا كانت كل دالة انتقال تنتمي إلى مجموعة زائفة${\displaystyle {\mathcal {G}}}$إذا كان لدينا عدد من التشاكلات المتماثلة في الفضاء الإقليدي، فإن الأطلس يُسمى${\displaystyle {\mathcal {G}}}$-أطلس. إذا حافظت خرائط الانتقال بين مخططات الأطلس على تبسيط محلي ، فإن الأطلس يحدد بنية حزمة الألياف.

• أطلس سلس
• إطار أملس

• أطلس من تأليف رولاند، تود