التوازي

في الهندسة ، تُعتبر مجموعة من النقاط في الفضاء متحدة المستوى إذا وُجد مستوى هندسي يحتويها جميعًا. على سبيل المثال، ثلاث نقاط تكون دائمًا متحدة المستوى، وإذا كانت هذه النقاط متميزة وغير واقعة على استقامة واحدة ، فإن المستوى الذي تحدده يكون فريدًا. مع ذلك، فإن مجموعة من أربع نقاط متميزة أو أكثر، بشكل عام، لا تقع في مستوى واحد.

يكون خطان في الفضاء ثلاثي الأبعاد متوازيين إذا كان هناك مستوى واحد يشملهما. ويحدث هذا إذا كان الخطان متوازيين ، أو إذا تقاطعا . أما الخطان غير المتوازيين فيسميان خطين متخالفين .

توفر هندسة المسافة أسلوب حل لمشكلة تحديد ما إذا كانت مجموعة من النقاط تقع في مستوى واحد، مع العلم فقط بالمسافات بينها.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يُحدد متجهان مستقلان خطيًا لهما نفس النقطة الابتدائية مستوىً يمر بتلك النقطة. ويُمثل حاصل ضربهما الاتجاهي متجهًا عموديًا على ذلك المستوى، وأي متجه عمودي على هذا الضرب الاتجاهي ويمر بالنقطة الابتدائية يقع في المستوى. ^{[ 1 ]} ويؤدي هذا إلى اختبار التسطح التالي باستخدام الضرب الثلاثي القياسي :

تكون النقاط الأربع المتميزة، _x1 ، _x2 ، _x3 ، x4 ، _متحدة المستوى إذا وفقط إذا ،

${\displaystyle [(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.}$

وهو ما يعادل أيضًا

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.}$

إذا كانت ثلاثة متجهات a و b و c تقع في مستوى واحد، فإذا كان a ⋅ b = 0 (أي أن a و b متعامدان)

${\displaystyle (\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c} ,}$

أين​${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }$يرمز إلى متجه الوحدة في اتجاه a . أي أن إسقاطات المتجه cعلى a و cعلى b تتجمعلتعطي المتجه الأصلي c .

بما أن ثلاث نقاط أو أقل تقع دائمًا في مستوى واحد، فإن مسألة تحديد ما إذا كانت مجموعة من النقاط تقع في مستوى واحد لا تُصبح ذات أهمية إلا عندما يكون هناك أربع نقاط على الأقل. في حالة وجود أربع نقاط بالضبط، يمكن استخدام عدة طرق مخصصة ، ولكن هناك طريقة عامة تُناسب أي عدد من النقاط، وهي تعتمد على طرق المتجهات وخاصية تحديد المستوى بواسطة متجهين مستقلين خطيًا .

في فضاء ذي n بُعد حيث n ≥ 3 ، مجموعة من k نقطة${\displaystyle \{p_{0},\ p_{1},\ \dots ,\ p_{k-1}\}}$تكون المتجهات متحدة المستوى إذا وفقط إذا كانت مصفوفة الفروق النسبية بينها مصفوفة متطابقة، أي المصفوفة التي أعمدتها (أو صفوفها) هي المتجهات.${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}},\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}},\ \dots ,\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$رتبته 2 أو أقل.

على سبيل المثال، بالنظر إلى أربع نقاط

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}),\end{aligned}}}$

إذا كانت المصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1}&y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bmatrix}}}$

إذا كانت الرتبة 2 أو أقل، فإن النقاط الأربع تقع في مستوى واحد.

في الحالة الخاصة للمستوى الذي يحتوي على نقطة الأصل، يمكن تبسيط الخاصية بالطريقة التالية: مجموعة من k نقطة ونقطة الأصل تقع في نفس المستوى إذا وفقط إذا كانت مصفوفة إحداثيات النقاط k من الرتبة 2 أو أقل.

المضلع المائل هو مضلع لا تقع رؤوسه في مستوى واحد. يجب أن يحتوي هذا المضلع على أربعة رؤوس على الأقل؛ ولا توجد مثلثات مائلة.

المجسم متعدد السطوح ذو الحجم الموجب له رؤوس ليست جميعها في مستوى واحد.

• الاستقامة الخطية
• مستوى السقوط

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مستوي" . عالم الرياضيات .