مقدار

مقدار
يمكن استخدام كوب القياس لقياس أحجام السوائل . يقيس هذا الكوب الحجم بوحدات الكؤوس والأونصات السائلة والمليلترات .
الرموز الشائعة	الخامس
وحدة النظام الدولي للوحدات	متر مكعب
وحدات أخرى	لتر ، أونصة سائلة ، جالون ، كوارت ، باينت ، ملعقة صغيرة ، درام سائل ، في 3 ، ياردة 3 ، برميل
في وحدات النظام الدولي للوحدات الأساسية	م 3
شاسِع ؟	نعم
كثيف ؟	لا
محفوظ ؟	نعم للمواد الصلبة والسائلة ، لا للغازات والبلازما [ أ]
السلوك تحت التحول الإحداثي	محفوظ
البعد	ل 3

الحجم هو مقياس للمناطق في الفضاء ثلاثي الأبعاد . ^{[1] غالبًا} ما يتم قياسه عدديًا باستخدام وحدات مشتقة من النظام الدولي للوحدات (مثل المتر المكعب واللتر ) أو من خلال وحدات إمبراطورية أو وحدات أمريكية تقليدية مختلفة ( مثل الجالون والربع جالون والبوصة المكعبة ) . يرتبط تعريف الطول والارتفاع (مكعب) بالحجم. يُفهم حجم الحاوية عمومًا على أنه سعة الحاوية؛ أي كمية السائل (الغاز أو السائل) التي يمكن أن تحتويها الحاوية، وليس مقدار المساحة التي تزيحها الحاوية نفسها. من خلال المجاز ، يُستخدم مصطلح "الحجم" أحيانًا للإشارة إلى المنطقة المقابلة (على سبيل المثال، الحجم المحدد ). ^{[2] [3]}

في العصور القديمة، كان الحجم يقاس باستخدام حاويات طبيعية متشابهة الشكل. وفي وقت لاحق، تم استخدام حاويات موحدة. يمكن حساب حجم بعض الأشكال البسيطة ثلاثية الأبعاد بسهولة باستخدام الصيغ الحسابية . يمكن حساب أحجام الأشكال الأكثر تعقيدًا باستخدام حساب التكامل إذا كانت هناك صيغة لحدود الشكل. ليس للأجسام ذات الصفر والأحادية والثنائية الأبعاد أي حجم؛ في الأبعاد الأربعة وما فوق، هناك مفهوم مماثل للحجم الطبيعي وهو الحجم الفائق.

تتراوح دقة قياسات الحجم في الفترة القديمة عادةً بين 10-50 مل (0.3-2 أونصة سائلة أمريكية؛ 0.4-2 أونصة سائلة إمبراطوري). [ ^{4] : 8} جاء أقدم دليل على حساب الحجم من مصر القديمة وبلاد ما بين النهرين كمسائل رياضية، تقريب حجم الأشكال البسيطة مثل المكعبات والأسطوانات والمخروط الناقص والمخاريط . وقد كُتبت هذه المسائل الرياضية في بردية موسكو الرياضية (حوالي 1820 قبل الميلاد). ^{[5] : 403} في بردية ريسنر ، كتب المصريون القدماء وحدات حجم ملموسة للحبوب والسوائل، بالإضافة إلى جدول للطول والعرض والعمق والحجم لكتل ​​المواد. ^{[4] : 116} يستخدم المصريون وحدات الطول (الذراع ، الكف ، الإصبع ) لابتكار وحدات الحجم، مثل الذراع الحجمي ^{[4] : 117} أو ينفي ^{[5] : 396} (1 ذراع × 1 ذراع × 1 ذراع)، والحجم الكفي (1 ذراع × 1 ذراع × 1 كف)، والحجم الإصبعي (1 ذراع × 1 ذراع × 1 إصبع). ^{[4] : 117}

آخر ثلاثة كتب من كتاب العناصر لإقليدس ، والتي كتبت في حوالي 300 قبل الميلاد، وصفت الصيغ الدقيقة لحساب حجم متوازي السطوح والمخاريط والأهرامات والأسطوانات والكرات . وقد حدد علماء الرياضيات السابقون الصيغة باستخدام شكل بدائي من التكامل ، عن طريق تقسيم الأشكال إلى قطع أصغر وأبسط. ^{[5] : 403} بعد قرن من الزمان، ابتكر أرخميدس ( حوالي  287 - 212 قبل الميلاد ) صيغة حجم تقريبية لعدة أشكال باستخدام طريقة نهج الاستنفاد ، مما يعني استنباط حلول من الصيغ المعروفة السابقة من أشكال مماثلة. كما اكتشف التكامل البدائي للأشكال بشكل مستقل من قبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي، وزو تشونغ تشي في القرن الخامس الميلادي، والشرق الأوسط والهند . ^{[5] : 404}

كما ابتكر أرخميدس طريقة لحساب حجم جسم غير منتظم، وذلك بغمره تحت الماء وقياس الفرق بين حجم الماء الأولي والنهائي. الفرق في حجم الماء هو حجم الجسم. ^{[5] : 404} على الرغم من شعبيته الكبيرة، فمن المحتمل أن أرخميدس لم يغمر التاج الذهبي لإيجاد حجمه، وبالتالي كثافته ونقائه، بسبب الدقة الشديدة المتضمنة. ^[6] بدلاً من ذلك، من المحتمل أنه ابتكر شكلًا بدائيًا لميزان هيدروستاتيكي . هنا، يتم وضع التاج وقطعة من الذهب الخالص بوزن مماثل على طرفي ميزان مغمور تحت الماء، والذي سينقلب وفقًا لذلك بسبب مبدأ أرخميدس . ^[7]

في العصور الوسطى ، تم صنع العديد من وحدات قياس الحجم، مثل السستر ، والعنبر، والكومب ، والسيم . دفعت الكمية الهائلة من هذه الوحدات الملوك البريطانيين إلى توحيدها، وبلغت ذروتها في قانون قياس الخبز والبيرة في عام 1258 من قبل هنري الثالث ملك إنجلترا . قام القانون بتوحيد الوزن والطول والحجم بالإضافة إلى تقديم البنس والأونصة والرطل والغالون والبوشل. ^{[4] : 73-74} في عام 1618، تبنى دستور الأدوية اللندني (كتالوج المركبات الطبية) الجالون الروماني ^[8] أو الكونجيوس ^[9] كوحدة أساسية للحجم وأعطى جدول تحويل لوحدات الوزن لدى الصيادلة. ^[8] في هذا الوقت تقريبًا، أصبحت قياسات الحجم أكثر دقة وانحصر عدم اليقين بين 1-5 مل (0.03-0.2 أونصة سائلة أمريكية؛ 0.04-0.2 أونصة سائلة إمبراطوري). ^{[4] : 8}

في أوائل القرن السابع عشر، طبق بونافينتورا كافالييري فلسفة حساب التكامل الحديث لحساب حجم أي جسم. وقد ابتكر مبدأ كافالييري ، الذي ينص على أن استخدام شرائح أرق وأرق من الشكل من شأنه أن يجعل الحجم الناتج أكثر دقة. ثم تم توسيع هذه الفكرة لاحقًا بواسطة بيير دي فيرما وجون واليس وإسحاق بارو وجيمس جريجوري وإسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز وماريا جيتانا أجنيزي في القرنين السابع عشر والثامن عشر لتشكيل حساب التكامل الحديث، والذي لا يزال قيد الاستخدام في القرن الحادي والعشرين. ^{[5] : 404}

في 7 أبريل 1795، تم تعريف النظام المتري رسميًا في القانون الفرنسي باستخدام ست وحدات. ثلاث منها مرتبطة بالحجم: ستير  (1 م ³ ) لحجم الحطب؛ واللتر  (1 ديسيمتر ^مكعب ) لحجم السائل؛ والجرام ، للكتلة - والتي تعرف بأنها كتلة سنتيمتر مكعب واحد من الماء عند درجة حرارة الجليد الذائب. ^[10] بعد ثلاثين عامًا في عام 1824، تم تعريف الجالون الإمبراطوري بأنه الحجم الذي تشغله عشرة أرطال من الماء عند 17 درجة مئوية (62 درجة فهرنهايت). ^{[5] : 394} تم تحسين هذا التعريف بشكل أكبر حتى قانون الأوزان والمقاييس في المملكة المتحدة لعام 1985 ، والذي يجعل الجالون الإمبراطوري واحدًا يساوي تمامًا 4.54609 لترًا دون استخدام الماء. ^[11]

أدى إعادة تعريف المتر في عام 1960 من المتر النموذجي الدولي إلى خط الانبعاث البرتقالي والأحمر لذرات الكريبتون-86 إلى إلغاء حدود المتر والمتر المكعب واللتر من الأشياء المادية. وهذا يجعل أيضًا المتر ووحدات الحجم المشتقة من المتر مرنة للتغييرات في المتر النموذجي الدولي. ^[12] أعيد تعريف تعريف المتر مرة أخرى في عام 1983 لاستخدام سرعة الضوء والثانية (المشتقة من معيار السيزيوم ) وأعيدت صياغته من أجل الوضوح في عام 2019. [ ¹³ ]

كمقياس للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، لا يمكن قياس الحجم فعليًا كقيمة سالبة، على غرار الطول والمساحة . مثل جميع المقاييس الرتيبة المستمرة (المحافظة على الترتيب)، يمكن مقارنة أحجام الأجسام ببعضها البعض وبالتالي يمكن ترتيبها. يمكن أيضًا إضافة الحجم معًا وتفكيكه إلى ما لا نهاية؛ الخاصية الأخيرة متكاملة مع مبدأ كافالييري وحساب التفاضل والتكامل اللانهائي للأجسام ثلاثية الأبعاد. ^{[14] "} وحدة " الحجم الصغير للغاية في حساب التفاضل والتكامل التكاملي هي عنصر الحجم ؛ هذه الصيغة مفيدة عند العمل مع أنظمة إحداثيات ومساحات ومتعددات مختلفة .

الطريقة الأقدم لقياس حجم جسم ما تقريبًا هي استخدام جسم الإنسان، مثل استخدام حجم اليد والقرص . ومع ذلك، فإن الاختلافات في جسم الإنسان تجعله غير موثوق به للغاية. تتمثل الطريقة الأفضل لقياس الحجم في استخدام حاويات متماسكة ومتينة تقريبًا موجودة في الطبيعة، مثل القرع ومعدة الأغنام أو الخنازير والمثانات . في وقت لاحق، مع تحسن علم المعادن وإنتاج الزجاج ، يتم قياس الأحجام الصغيرة في الوقت الحاضر عادةً باستخدام حاويات من صنع الإنسان موحدة. ^{[5] : 393} هذه الطريقة شائعة لقياس حجم صغير من السوائل أو المواد الحبيبية ، باستخدام مضاعف أو جزء من الحاوية. بالنسبة للمواد الحبيبية، يتم رج الحاوية أو تسويتها لتشكيل سطح مستوٍ تقريبًا. هذه الطريقة ليست الطريقة الأكثر دقة لقياس الحجم ولكنها غالبًا ما تستخدم لقياس مكونات الطهي . ^{[5] : 399}

تُستخدم ماصة إزاحة الهواء في علم الأحياء والكيمياء الحيوية لقياس حجم السوائل على نطاق مجهري. [ ^{15] تعتبر} أكواب وملاعق القياس المعايرة مناسبة للطهي وتطبيقات الحياة اليومية، ومع ذلك ، فهي ليست دقيقة بدرجة كافية للمختبرات . هناك، يتم قياس حجم السوائل باستخدام أسطوانات مدرجة وقطارات وقوارير حجمية . أكبر هذه الحاويات المعايرة هي خزانات تخزين البترول ، حيث يمكن لبعضها أن تستوعب ما يصل إلى 1،000،000  برميل (160،000،000 لتر) من السوائل. ^{[5] : 399} حتى على هذا النطاق، من خلال معرفة كثافة البترول ودرجة حرارته، لا يزال من الممكن إجراء قياس دقيق للغاية للحجم في هذه الخزانات. ^{[5] : 403}

بالنسبة لأحجام أكبر مثل تلك الموجودة في الخزان ، يتم تصميم حجم الحاوية من خلال الأشكال وحسابه باستخدام الرياضيات. ^{[5] : 403}

لتسهيل الحسابات، وحدة الحجم تساوي الحجم الذي يشغله مكعب الوحدة (بطول ضلع واحد). ولأن الحجم يشغل ثلاثة أبعاد، فإذا تم اختيار المتر (م) كوحدة طول، فإن وحدة الحجم المقابلة هي المتر المكعب (م ³ ). المتر المكعب هو أيضًا وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات . [ ^16] لذلك، فإن الحجم له بعد وحدة L ^{3. [17]}

تستخدم وحدات القياس المترية للحجم بادئات مترية ، بصيغة قوى العشرة فقط . وعند تطبيق البادئات على وحدات الحجم، والتي يتم التعبير عنها بوحدات الطول المكعبة، يتم تطبيق عوامل المكعب على وحدة الطول بما في ذلك البادئة. ومن الأمثلة على تحويل السنتيمتر المكعب إلى متر مكعب: 2.3 سم ^مكعب = 2.3 (سم) ³ = 2.3 (0.01 م) ³ = 0.0000023 م ^مكعب (خمسة أصفار). ^{[18] : 143}

البادئات المستخدمة بشكل شائع لوحدات الطول المكعب هي المليمتر المكعب (مم ³ )، والسنتيمتر المكعب (سم ³ )، والديسيمتر المكعب (دسم ³ )، والمتر المكعب (م ³ ) والكيلومتر المكعب (كم ³ ). التحويل بين وحدات البادئة هو كما يلي: 1000 مم ³ = 1 سم ³ ، 1000 سم ³ = 1 دسم ³ ، و1000 دسم ³ = 1 م ^{3. [1]} يتضمن النظام المتري أيضًا اللتر ( لتر ) كوحدة للحجم، حيث 1 لتر = 1 دسم ³ = 1000 سم ³ = 0.001 م ³ . ^{[18] : 145} بالنسبة لوحدة اللتر، فإن البادئات المستخدمة بشكل شائع هي المليلتر (mL)، والسنتيلتر (cL)، واللتر (L)، حيث 1000 مل = 1 لتر، و10 مل = 1 سنتيلتر، و10 سنتيلتر = 1 ديسيلتر، و10 ديسيلتر = 1 لتر. ^[1]

تُستخدم أيضًا وحدات قياس إمبراطورية أو أمريكية أخرى مختلفة للحجم، بما في ذلك: ^{[5] : 396–398}

• بوصة مكعبة ، قدم مكعبة ، ياردة مكعبة ، فدان قدم ، ميل مكعب ؛
• مينيم ، دراخما ، أونصة سائلة ، باينت ؛
• ملعقة صغيرة ، ملعقة كبيرة ؛
• خيشوم ، ربع جالون ، جالون ، برميل ؛
• حبل ، منقار ، مكيال ، برميل .

السعة هي الحد الأقصى لكمية المواد التي يمكن للحاوية أن تستوعبها، مقاسة بالحجم أو الوزن . ومع ذلك، لا يلزم ملء الحجم الموجود نحو سعة الحاوية، أو العكس. يمكن للحاويات أن تستوعب فقط كمية محددة من الحجم المادي، وليس الوزن (باستثناء المخاوف العملية). على سبيل المثال، لن يتمكن خزان سعة 50000 برميل (7900000 لتر) والذي يمكنه فقط استيعاب 7200 طن (15900000 رطل) من زيت الوقود من احتواء نفس 7200 طن (15900000 رطل) من النفتا ، بسبب كثافة النفتا المنخفضة وبالتالي حجمها الأكبر. ^{[5] : 390-391}

بالنسبة للعديد من الأشكال مثل المكعب والمستطيل والأسطوانة ، فإن لها أساسًا نفس صيغة حساب الحجم الخاصة بالمنشور : قاعدة الشكل مضروبة في ارتفاعه .

حساب الحجم هو جزء حيوي من حساب التكامل . أحدها حساب حجم الأجسام ذات الدوران ، عن طريق تدوير منحنى مستوي حول خط على نفس المستوى. تُستخدم طريقة التكامل الغسالة أو القرص عند التكامل بواسطة محور موازٍ لمحور الدوران. يمكن كتابة المعادلة العامة على النحو التالي: حيث و هما حدود المنحنى المستوي. ^{[19] : 1، 3} تُستخدم طريقة التكامل القشري عند التكامل بواسطة محور عمودي على محور الدوران. يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي: ^{[19] : 6} يُعطى حجم المنطقة D في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالتكامل الثلاثي أو الحجمي للدالة الثابتة على المنطقة. وعادةً ما يُكتب على النحو التالي: ^{[20] : القسم 14.4}$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx}$$${\textstyle f(x)}$${\textstyle g(x)}$$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}$$ ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ $${\displaystyle \iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

في الإحداثيات الأسطوانية ، يكون التكامل الحجمي هو $${\displaystyle \iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,}$$

في الإحداثيات الكروية (باستخدام الاتفاقية الخاصة بالزوايا مع السمت والقياس من المحور القطبي؛ راجع المزيد حول الاتفاقيات )، يكون تكامل الحجم هو ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$$${\displaystyle \iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$

الشبكة متعددة الأضلاع هي تمثيل لسطح الكائن باستخدام مضلعات . تحدد الشبكة الحجمية خصائص الحجم والسطح بشكل صريح.

• الكثافة هي كتلة المادة لكل وحدة حجم، أو الكتلة الكلية مقسومة على الحجم الكلي. ^[21]
• الحجم النوعي هو الحجم الإجمالي مقسومًا على الكتلة، أو معكوس الكثافة. ^[22]
• معدل التدفق الحجمي أو التفريغ هو حجم السائل الذي يمر عبر سطح معين لكل وحدة زمنية.
• السعة الحرارية الحجمية هي السعة الحرارية للمادة مقسومة على حجمها.

• مفارقة باناخ-تارسكي
• الوزن الأبعادي
• تحديد الأبعاد

• المحيطات والمساحات والأحجام في ويكيبيديا
• المجلد في ويكي الكتب