إسقاط متجهي

الإسقاط القياسي لـ a على b هو كمية قياسية تساوي $${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$ حيث θ هي الزاوية بين a و b .

يمكن استخدام الإسقاط القياسي كعامل قياس لحساب الإسقاط المتجهي المقابل.

المسقط المتجهي للمتجه a على المتجه b هو متجه مقداره يساوي المسقط القياسي للمتجه a على المتجه b ، وله نفس اتجاه المتجه b . أي أنه يُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$ أين${\displaystyle a_{1}}$وهو الإسقاط القياسي المقابل، كما هو مُعرَّف أعلاه، و${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$هو متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه b : $${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

بحسب التعريف، فإن رفض المتجه a على b هو: $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

لذلك، $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

وبناءً على الخاصية المذكورة أعلاه للضرب النقطي، يصبح تعريف الإسقاط القياسي كما يلي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}}$$

في بعدين، يصبح هذا $${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

وبالمثل، يصبح تعريف الإسقاط المتجهي لـ a على b كما يلي: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$ وهو ما يعادل إما $${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$ أو ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

في بُعدين، يكون رفض الكمية القياسية مكافئًا لإسقاط a على${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$، وهو${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$تم تدويرها 90 درجة إلى اليسار. ومن ثم، $${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

يُطلق على هذا النوع من الضرب النقطي اسم "الضرب النقطي الجاني".

بحسب التعريف، $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

لذلك، $${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

باستخدام رفض الكميات القياسية باستخدام الضرب النقطي العمودي، ينتج عن ذلك

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

الإسقاط القياسي a على b هو كمية قياسية ذات إشارة سالبة إذا كانت 90  درجة < θ ≤ 180  درجة . ويتطابق مع طول الإسقاط المتجهي ‖ c ‖ إذا كانت الزاوية أصغر من 90 درجة. بتعبير أدق:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ إذا كانت 0° ≤ θ ≤ 90° ،
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ إذا كان 90° < θ ≤ 180° .

الإسقاط المتجهي للمتجه a على المتجه b هو متجه a ₁ يكون إما معدومًا أو موازيًا للمتجه b . بتعبير أدق:

• a ₁ = 0 إذا كانت θ = 90° ،
• _{يكون للزاويتين} a و b نفس الاتجاه إذا كانت 0° ≤ θ < 90° ،
• _{يكون للـ a} و b اتجاهان متعاكسان إذا كانت 90° < θ ≤ 180° .

_رفض المتجه a على b هو متجه a² يكون إما معدومًا أو متعامدًا مع b . بتعبير أدق:

• a ₂ = 0 إذا كانت θ = 0° أو θ = 180° ،
• _{يكون المتجه a2} متعامدًا مع المتجه b إذا كانت 0 < θ < 180° ،

في بعض الحالات، يتطابق الضرب الداخلي مع الضرب النقطي. وعندما لا يتطابقان، يُستخدم الضرب الداخلي بدلاً من الضرب النقطي في التعريفات الرسمية للإسقاط والرفض. بالنسبة لفضاء الضرب الداخلي ثلاثي الأبعاد ، يمكن تعميم مفهومي إسقاط متجه على آخر ورفض متجه من آخر ليشمل إسقاط متجه على مستوى ورفض متجه من مستوى. ^{[ 4 ]} إسقاط متجه على مستوى هو إسقاطه العمودي على ذلك المستوى. ورفض متجه من مستوى هو إسقاطه العمودي على خط مستقيم متعامد مع ذلك المستوى. كلاهما متجهان. الأول موازٍ للمستوى، والثاني متعامد معه.

بالنسبة لمتجه ومستوى معينين، يكون مجموع الإسقاط والرفض مساويًا للمتجه الأصلي. وبالمثل، بالنسبة لفضاءات الضرب الداخلي ذات الأبعاد التي تزيد عن ثلاثة، يمكن تعميم مفهومي الإسقاط على متجه والرفض منه إلى مفهومي الإسقاط على مستوى فائق والرفض منه . وفي الجبر الهندسي ، يمكن تعميمهما أيضًا إلى مفهومي إسقاط ورفض متجه متعدد عام على/من أي شفرة قابلة للعكس من الرتبة k .