التسطح

في الهندسة ، تكون مجموعة النقاط في الفضاء مستوية إذا كان هناك مستوى هندسي يحتوي عليها جميعًا. على سبيل المثال، تكون ثلاث نقاط مستوية دائمًا، وإذا كانت النقاط متميزة وغير متوازية ، فإن المستوى الذي تحدده يكون فريدًا. ومع ذلك، فإن مجموعة من أربع نقاط متميزة أو أكثر لن تقع بشكل عام في مستوى واحد.

يكون الخطان في الفضاء الثلاثي الأبعاد مستويين إذا كان هناك مستوى يشملهما معًا. ويحدث هذا إذا كان الخطان متوازيين أو متقاطعين . ويسمى الخطان غير المستويين بالخطين المائلين .

توفر هندسة المسافة تقنية حل لمشكلة تحديد ما إذا كانت مجموعة من النقاط متساوية المستوى، وذلك بمعرفة المسافات بينها فقط.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يحدد متجهان مستقلان خطيًا لهما نفس النقطة الأولية مستوى يمر عبر تلك النقطة. يكون حاصل ضربهما المتجهي متجهًا عموديًا على ذلك المستوى، وأي متجه متعامد على هذا الحاصل المتجهي عبر النقطة الأولية سوف يقع في المستوى. ^[1] وهذا يؤدي إلى اختبار التسطح التالي باستخدام حاصل ضرب ثلاثي قياسي :

أربع نقاط مميزة، x ₁ ، x ₂ ، x ₃ ، x ₄ ، تكون مستوية إذا وفقط إذا،

${\displaystyle [(x_{2}-x_{1})\times (x_{4}-x_{1})]\cdot (x_{3}-x_{1})=0.}$

وهو ما يعادل أيضا

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})\cdot [(x_{4}-x_{1})\times (x_{3}-x_{1})]=0.}$

إذا كانت ثلاثة متجهات a و b و c متعامدة، فإذا كانت a ⋅ b = 0 (أي أن a و b متعامدان)، فإن

${\displaystyle (\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {a}} )\mathbf {\hat {a}} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {\hat {b}} )\ mathbf {\hat {b}} =\mathbf {c} ,}$

حيث ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} }$ يشير إلى متجه الوحدة في اتجاه a . أي أن مجموع إسقاطات متجه c على a و c على b يعطي c الأصلي .

نظرًا لأن ثلاث نقاط أو أقل تكون دائمًا في مستوى واحد، فإن مشكلة تحديد متى تكون مجموعة من النقاط في مستوى واحد تكون ذات أهمية بشكل عام فقط عندما يكون هناك أربع نقاط على الأقل. في حالة وجود أربع نقاط بالضبط، يمكن استخدام العديد من الطرق المخصصة ، ولكن الطريقة العامة التي تعمل لأي عدد من النقاط تستخدم طرق المتجهات والخاصية التي تحدد المستوى بواسطة متجهين مستقلين خطيًا .

في فضاء ذي أبعاد n حيث n ≥ 3 ، تكون مجموعة من النقاط k مستوية إذا وفقط إذا كانت مصفوفة الاختلافات النسبية بينهما، أي المصفوفة التي تكون أعمدتها (أو صفوفها) عبارة عن متجهات، من الرتبة 2 أو أقل. ${\displaystyle \{p_{0},\p_{1},\ \dots ,\p_{k-1}\}}$${\overrightarrow {p_{0}p_{1}}}،\ {\overrightarrow {p_{0}p_{2}}}،\ \dots،\ {\overrightarrow {p_{0}p_{k-1}}}$

على سبيل المثال، إذا أعطيت أربع نقاط

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}),\\Y&=(y_{1},y_{2},\dots,y_{n}),\\Z&=(z_{1},z_{2},\dots,z_{n}),\\W&=(w_{1},w_{2},\dots,w_{n}),\end{aligned}}}$

إذا كانت المصفوفة

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}-w_{1}&x_{2}-w_{2}&\dots &x_{n}-w_{n}\\y_{1}-w_{1} &y_{2}-w_{2}&\dots &y_{n}-w_{n}\\z_{1}-w_{1}&z_{2}-w_{2}&\dots &z_{n}-w_{n}\\\end{bmatrix}}}$

إذا كان من الرتبة 2 أو أقل، فإن النقاط الأربع تكون في مستوى واحد.

في الحالة الخاصة للمستوى الذي يحتوي على الأصل، يمكن تبسيط الخاصية بالطريقة التالية: مجموعة من النقاط k والأصل تكون في مستوى واحد إذا وفقط إذا كانت مصفوفة إحداثيات النقاط k من الرتبة 2 أو أقل.

المضلع المائل هو مضلع لا تكون رؤوسه متساوية المستوى. يجب أن يحتوي هذا المضلع على أربعة رؤوس على الأقل؛ ولا توجد مثلثات مائلة.

يحتوي متعدد السطوح الذي له حجم موجب على رؤوس ليست كلها مستوية.

• التوازي الخطي
• مستوى السقوط

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المستوي". MathWorld .