تمثيلات مشتركة للمجموعات الموحدة وغير الموحدة

ليكن G زمرة مع زمرة جزئية H ذات دليل 2. التمثيل المشترك هو تشاكل إلى زمرة من المؤثرات على فضاء متجهي فوق الأعداد المركبة حيث يكون لكل u في H صورة u مؤثرًا خطيًا ولكل a في المجموعة المشاركة GH صورة a مؤثرًا مضادًا للخطية (حيث '*' تعني المرافق المركب):

$\begin{aligned} \forall u \in H, D(u)(a x + b y) = a × D(u) x + b × D(u) y \end{aligned}$

بما أن هذا تشاكل

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u_{1}u_{2})=D(u_{1})D(u_{2})\\&D(ua)=D(u)D(a)\\&D(au)=D(a)D(u)^{*}\\&D(a_{1}a_{2})=D(a_{1})D(a_{2})^{*}\end{aligned}}}$

يكون التمثيلان المشتركان متكافئين إذا كانت هناك مصفوفة V

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall u,D'(u)=VD(u)V^{-1}\\&\forall a,D'(a)=VD(a)V^{*-1}\end{aligned}}}$

تمامًا مثل التمثيلات، يكون التمثيل المشترك قابلاً للاختزال إذا كان هناك فضاء جزئي ثابت مناسب تحت عمليات التمثيل المشترك. إذا كان التمثيل المشترك معطى بواسطة مصفوفات، فإنه يكون قابلاً للاختزال إذا كان مكافئًا لتمثيل مشترك تكون فيه كل مصفوفة في شكل قطري كتلي .

إذا لم يكن التمثيل المشترك قابلاً للاختزال، فإنه يكون غير قابل للاختزال .

تنصّ مبرهنة شور للتمثيلات غير القابلة للاختزال على الأعداد المركبة على أنه إذا كانت مصفوفة ما تتبادل مع جميع مصفوفات التمثيل، فإنها تكون مضاعفًا (مركبًا) لمصفوفة الوحدة ، أي أن مجموعة المصفوفات المتبادلة متماثلة مع الأعداد المركبة.${\displaystyle \mathbb {C} }$إن ما يعادل مبرهنة شور للتمثيلات المشتركة غير القابلة للاختزال هو أن مجموعة المصفوفات التبادلية متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {R} }$،${\displaystyle \mathbb {C} }$أو الرباعيات${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{2 ]} باستخدام العدد ^{المتشابك} بالنسبة للأعداد الحقيقية، يمكن التعبير عن ذلك كعدد متشابك من 1 أو 2 أو 4.

عادةً، ترتبط التمثيلات المشتركة غير القابلة للاختزال بالتمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعة الفرعية الخطية H. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ليكن${\displaystyle \Delta }$ليكن تمثيلاً غير قابل للاختزال (عادي) للمجموعة الفرعية الخطية H. شكّل مجموع مربع خاصية كل من هذه المؤثرات على جميع المؤثرات المضادة للخطية:

${\displaystyle S=\sum _{a}\chi _{\Delta }(a^{2})}$

وضبط${\displaystyle P=D(a_{0})}$لعنصر عشوائي${\displaystyle a_{0}}$.

توجد ثلاث حالات، يتم تمييزها بواسطة اختبار الشخصية eq 7.3.51 لكراكنيل وبرادلي. ^{[ 5 ]}

النوع (أ)

إذا كانت S = | H | (أي أن عدد التشابك يساوي واحدًا)، فإن D هو تمثيل مشترك غير قابل للاختزال له نفس البعد.${\displaystyle \Delta }$مع

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)=\Delta (u)\\&D(a)=D(aa_{0}^{-1}a_{0})=\Delta (aa_{0}^{-1})P\end{aligned}}}$

النوع (ب)

إذا كان S = -| H | (عدد التشابك هو أربعة)، فإن D هو تمثيل غير قابل للاختزال يتكون من نسختين من${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (u)\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})P\\-\Delta (aa_{0}^{-1})P&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

النوع (ج)

إذا كانت S = 0 (أي أن عدد التشابك يساوي اثنين)، فإن D هو تمثيل مشترك غير قابل للاختزال يتكون من تمثيلين غير متكافئين${\displaystyle \Delta }$و${\displaystyle \Delta '}$أين${\displaystyle \Delta '(u)=\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D(u)={\begin{pmatrix}\Delta (u)&0\\0&\Delta (a_{0}^{-1}ua_{0})^{*}\end{pmatrix}}\\&D(a)={\begin{pmatrix}0&\Delta (aa_{0}^{-1})\\\Delta (a_{0}^{-1}a)^{*}&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

يوضح كراكنيل وبرادلي ^{[ 5 ]} كيفية استخدام هذه لإنشاء تمثيلات مشتركة لمجموعات النقاط المغناطيسية، بينما يقدم كراكنيل وونغ ^{[ 6 ]} جداول أكثر وضوحًا للمجموعات المغناطيسية المزدوجة.

تعتمد نظرية التمثيل القياسية للمجموعات المنتهية على جدول خصائص مربع يتميز بخاصية تعامد الصفوف والأعمدة. وباستخدام تعريف مختلف قليلاً لفئات الترافق واستخدام عدد التشابك، يوجد أيضًا جدول خصائص مربع ذو خصائص تعامد مماثلة للتمثيلات المشتركة للمجموعات المغناطيسية المنتهية. ^{[ 2 ]}

استنادًا إلى جدول الخصائص هذا، تم تطوير نظرية للخصائص تعكس نظرية التمثيل. ^{[ 7 ]}

• موك، أ. (2016). "توصيف تناظر التكافؤ الزمني في الشبكات الفوتونية باستخدام نظرية مجموعة هيش-شوبنيكوف". أوبتكس إكسبرس . 24 (20): 22693-22707 . arXiv : 1606.05044 . Bibcode : 2016OExpr..2422693M . doi : 10.1364/OE.24.022693 . PMID: 27828339. S2CID : 24476384 .  
• شويزر، ج. (2005). "انعكاس الزمن في تحليل تمثيل نظرية الهياكل المغناطيسية" . CR Physique . 6 : 375-384 . doi : 10.1016/j.crhy.2005.01.009 .
• أنجيلوفال، إم إن؛ بويل، إل إل (2005). "حول تصنيف وتعداد التمثيلات المشتركة غير القابلة للاختزال لمجموعات الفضاء المغناطيسية". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 29 ( 5): 993-1010 . doi : 10.1088/0305-4470/29/5/014 .
• سكوريك، ر. (2004). "فهم مجموعة CPT في فيزياء الجسيمات: التمثيلات القياسية وغير القياسية". المجلة الأمريكية للفيزياء 75 ( 5): 638-643 . Bibcode : 2004AmJPh..72..638S . doi : 10.1119/1.1629087 .