التحويل المتغير

في الفيزياء ، التحويل المتغير هو قاعدة تحدد كيفية تغير كيانات معينة، مثل المتجهات أو الموترات ، عند تغيير الأساس . ^{[ 1 ]} يُعرَّف التحويل الذي يصف متجهات الأساس الجديدة كمزيج خطي من متجهات الأساس القديمة بأنه تحويل متغير . اصطلاحًا، تُوضع المؤشرات التي تُحدد متجهات الأساس كمؤشرات دنيا ، وكذلك جميع الكيانات التي تتحول بنفس الطريقة.

التحويل العكسي للتحويل المتغير هو التحويل المتغير عكسيًا . عندما يكون من المفترض أن يكون المتجه ثابتًا عند تغيير الأساس، أي أن يُمثل نفس الجسم الهندسي أو الفيزيائي بنفس المقدار والاتجاه السابقين، يجب أن تتحول مركباته وفقًا لقاعدة التحويل المتغير عكسيًا. اصطلاحًا، تُوضع المؤشرات التي تُحدد مركبات المتجه كمؤشرات عليا ، وكذلك جميع مؤشرات الكيانات التي تتحول بنفس الطريقة. يكون مجموع المؤشرات المتطابقة لمنتج له نفس المؤشرين السفلي والعلوي ثابتًا تحت التحويل.

المتجه نفسه كمية هندسية، من حيث المبدأ، مستقلة (ثابتة) عن الأساس المختار. يُعطى المتجه ^v ، على سبيل المثال، بمركباته vᵢ على أساس مختار eᵢ . _على أساس آخر، لنقل e′ⱼ _، يكون للمتجه v نفسه مركبات مختلفة v′ⱼ ^و$${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.}$$ باعتباره متجهًا، يجب أن يكون المتجه v ثابتًا بغض النظر عن نظام الإحداثيات المُختار، ومستقلًا عن أي أساس مُختار، أي أن اتجاهه ومقداره في الواقع العملي يجب أن يظلا كما هما بغض النظر عن متجهات الأساس. إذا أجرينا تغييرًا في الأساس بتحويل المتجهات eᵢ إلى متجهات الأساس e′ⱼ _، فيجب ^علينا أيضًا التأكد _من تحويل مركبات ^المتجه vᵢ إلى المركبات الجديدة v′ⱼ للتعويض .

يُطلق على التحويل المطلوب لـ v اسم قاعدة التحويل المتغير .

في المثال الموضح، متجه${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}}$يُوصَف هذا النظام بنظامي إحداثيات مختلفين: نظام إحداثيات مستطيل (الشبكة السوداء)، ونظام إحداثيات شعاعي (الشبكة الحمراء). تم اختيار متجهات أساسية لكلا النظامين: e_{_x} و e_{_y} لنظام الإحداثيات المستطيل، و e _{_r} و e _{_φ} لنظام الإحداثيات الشعاعي. تظهر متجهات الأساس الشعاعية e _{_r} و e_φ مُدَوَّرة عكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة لمتجهات الأساس المستطيلة e_{_x} و e_{_y} . وبالتالي، فإن التحويل المتغير، الذي يُجرى على متجهات الأساس، هو دوران عكس اتجاه عقارب الساعة، من متجهات الأساس الأولى إلى متجهات الأساس الثانية.

يجب تحويل إحداثيات المتجه v إلى نظام الإحداثيات الجديد، لكن المتجه v نفسه، ككائن رياضي ، يظل مستقلاً عن الأساس المُختار، إذ يبدو أنه يشير إلى نفس الاتجاه وبنفس المقدار، ثابتًا بغض النظر عن تغيير الإحداثيات. يضمن التحويل المتغاير هذا، من خلال تعويض الدوران بين الأسس المختلفة. إذا نظرنا إلى v من منظور نظام الإحداثيات الشعاعي، فسيبدو أنه يدور باتجاه عقارب الساعة أكثر من متجهي الأساس e _{_r} و e_{_φ} مقارنةً بكيفية ظهوره بالنسبة لمتجهي الأساس المستطيل e _{_x} و e_{_y} . وبالتالي، فإن التحويل المتغاير المطلوب لـ v في هذا المثال هو دوران باتجاه عقارب الساعة.

تتحول مركبات المتجه (المماسي) بطريقة مختلفة، تُسمى التحويل المتغاير. لنفترض متجهًا مماسيًا v ولنُسمِّ مركباته${\displaystyle v^{i}}$على أساس${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$على أساس آخر${\displaystyle \mathbf {e} '_{i}}$نسميها المكونات${\displaystyle {v'}^{i}}$، لذا $${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}}$$ في أي $${\displaystyle v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}}$$

إذا عبّرنا عن المكونات الجديدة بدلالة المكونات القديمة، فإن $${\displaystyle {v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}}$$ هذا هو الشكل الصريح لتحويل يُسمى التحويل المتغير عكسيًا، ونلاحظ أنه يختلف عن قاعدة التحويل المتغير معاكسًا لها، وهو ببساطة معكوسها. ولتمييزها عن متجهات التحويل المتغير معاكس (المماس)، يُوضع الفهرس في الأعلى.

الكيانات التي تتحول بشكل متغاير (مثل متجهات الأساس) وتلك التي تتحول بشكل معاكس (مثل مركبات المتجه والصيغ التفاضلية) "متشابهة تقريبًا" ومع ذلك فهي مختلفة. فهي تمتلك خصائص "مزدوجة". وما يكمن وراء ذلك، رياضيًا، يُعرف بالفضاء المزدوج الذي يرافق دائمًا أي فضاء متجهي خطي مُعطى .

لنأخذ أي فضاء متجهي T. تُسمى الدالة f على T خطية إذا كان، لأي متجهات v و ​​w وعدد قياسي α: $${\displaystyle {\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}}$$

من الأمثلة البسيطة على ذلك الدالة التي تُسند قيمة أحد مكونات متجه (وتُسمى دالة الإسقاط ). تأخذ هذه الدالة متجهًا كمعامل وتُسند إليه عددًا حقيقيًا، وهو قيمة أحد مكونات المتجه.

تشكل جميع هذه الدوال الخطية ذات القيم العددية معًا فضاءً متجهيًا يسمى الفضاء الثنائي لـ T. إن المجموع f+g هو أيضًا دالة خطية لـ f و g الخطيين ، وينطبق الشيء نفسه على الضرب القياسي α f .

بناءً على أساس${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$بالنسبة لـ T، يمكننا تعريف أساس يُسمى الأساس الثنائي للفضاء الثنائي بطريقة طبيعية عن طريق أخذ مجموعة الدوال الخطية المذكورة أعلاه: دوال الإسقاط. تُنتج كل دالة إسقاط (مفهرسة بـ ω) العدد 1 عند تطبيقها على أحد متجهات الأساس.${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \omega ^{0}}$يعطي درجة 1${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$وصفر في أي مكان آخر. بتطبيق هذه الدالة الخطية${\displaystyle {\omega }^{0}}$إلى متجه${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$، يعطي (باستخدام خطيته) $${\displaystyle \omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}}$$ لذا، فهي ببساطة قيمة الإحداثي الأول. ولهذا السبب تُسمى دالة الإسقاط .

يوجد عدد مماثل من متجهات الأساس المزدوج${\displaystyle \omega ^{i}}$حيث توجد متجهات أساسية${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$لذا، فإن الفضاء الثنائي له نفس بُعد الفضاء الخطي نفسه. إنه "فضاءٌ يكاد يكون نفسه"، باستثناء أن عناصر الفضاء الثنائي (المسماة بالمتجهات الثنائية ) تتحول بشكل متغاير، بينما تتحول عناصر فضاء المتجهات المماسية بشكل عكسي.

أحيانًا يتم إدخال رمز إضافي حيث تُعطى القيمة الحقيقية للدالة الخطية σ على متجه المماس u على النحو التالي:$${\displaystyle \sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$$ أين${\displaystyle \langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle }$هو عدد حقيقي. يؤكد هذا الترميز على الطبيعة الثنائية الخطية للصيغة. فهي خطية في σ لأنها دالة خطية، وخطية في u لأنها عنصر من فضاء متجهي.

• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات
• التغاير العام
• تباين لورنتز