قانون كوري

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة

بالنسبة للعديد من المواد البارامغناطيسية ، تتناسب مغنطة المادة طرديًا مع المجال المغناطيسي المطبق ، وذلك عند درجات حرارة عالية كافية ومجالات صغيرة. ومع ذلك، إذا تم تسخين المادة، فإن هذه النسبة تقل. عند قيمة ثابتة للمجال، تكون القابلية المغناطيسية عكسية مع درجة الحرارة، أي

م=χح،χ=جتي،{\displaystyle M=\chi H,\quad \chi ={\frac {C}{T}},}

أين

χ>0{\displaystyle \chi >0}هي قابلية التمغنط (الحجمية)،
م{\displaystyle M}يمثل مقدار المغنطة الناتجة ( A / m ).
ح{\displaystyle H}يمثل مقدار المجال المغناطيسي المطبق (أمبير/متر)،
تي{\displaystyle T}هي درجة الحرارة المطلقة ( كلفن )،
ج{\displaystyle C}هو ثابت كوري خاص بالمادة (K).

اكتشف بيير كوري هذه العلاقة، المعروفة الآن بقانون كوري، من خلال مطابقة البيانات التجريبية. وهي تنطبق فقط عند درجات الحرارة المرتفعة والمجالات المغناطيسية الضعيفة. وكما توضح الاشتقاقات أدناه، فإن المغنطة تصل إلى حد التشبع في الحالة المعاكسة عند درجات الحرارة المنخفضة والمجالات القوية. إذا كان ثابت كوري معدومًا، فإن تأثيرات مغناطيسية أخرى تسود، مثل المغناطيسية المعاكسة لانجفين أو المغناطيسية المسايرة لفان فليك .

الاشتقاق باستخدام ميكانيكا الكم

مغنطة مادة مغناطيسية مسايرة كدالة لعكس درجة الحرارة

يركز نموذج بسيط للمادة البارامغناطيسية على الجسيمات التي تُكوّنها والتي لا تتفاعل مع بعضها البعض. لكل جسيم عزم مغناطيسي يُعطى بالعلاقة التالية:μ→{\displaystyle {\vec {\mu }}}تُعطى طاقة العزم المغناطيسي في المجال المغناطيسي بالعلاقة التالية :

هـ=-μ⋅ب،{\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}

أينب=μ0(ح+م){\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}هي كثافة المجال المغناطيسي، مقاسة بالتسلا (T).

جسيمات ثنائية الحالة (لف مغزلي 1/2)

لتبسيط الحساب، سنتعامل مع جسيم ثنائي الحالة : إما أن يوجه عزمه المغناطيسي مع المجال المغناطيسي أو ضده. وبالتالي، فإن القيم الممكنة الوحيدة للعزم المغناطيسي هيμ{\displaystyle \mu }و-μ{\displaystyle -\mu }إذا كان الأمر كذلك، فإن مثل هذا الجسيم لا يملك سوى طاقتين محتملتين.-μب{\displaystyle -\mu B}عندما يكون متوافقًا مع المجال و+μب{\displaystyle +\mu B}عندما يكون اتجاهه معاكساً لاتجاه المجال.

يمكن حساب مدى توافق العزوم المغناطيسية مع المجال من دالة التوزيع . بالنسبة لجسيم واحد، يكون هذا

Z1=∑ن=0،1هـ-هـنβ=هـμبβ+هـ-μبβ=2ضرب بالعصا⁡(μبβ).{\displaystyle Z_{1}=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh(\mu B\beta ).}

دالة التوزيع لمجموعة من N جسيمًا من هذا النوع، إذا لم تتفاعل مع بعضها البعض، هي

Z=Z1شمال،{\displaystyle Z=Z_{1}^{N},}

وبالتالي فإن الطاقة الحرة هي

جي=-1βسجل⁡Z=-شمالكبتيسجل⁡Z1.{\displaystyle G=-{\frac {1}{\beta }}\log Z=-Nk_{\rm {B}}T\log Z_{1}.}

المغنطة هي المشتق السالب للطاقة الحرة بالنسبة للمجال المطبق، وبالتالي فإن المغنطة لكل وحدة حجم هي

م=نμtanh⁡μبكبتي،{\displaystyle M=n\mu \tanh {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}},}

حيث n هي كثافة عدد العزوم المغناطيسية. [ 1 ] : 117 تُعرف الصيغة أعلاه بمعادلة لانجفين البارامغناطيسية . وقد وجد بيير كوري تقريبًا لهذا القانون ينطبق على درجات الحرارة العالية نسبيًا والمجالات المغناطيسية المنخفضة المستخدمة في تجاربه . مع ارتفاع درجة الحرارة وانخفاض المجال المغناطيسي، تتناقص زاوية الظل الزائدي . في نظام كوري ،

μبكبتي≪1.{\displaystyle {\frac {\mu B}{k_{\rm {B}}T}}\ll 1.}

علاوة على ذلك، إذا|x|≪1{\displaystyle |x|\ll 1}، ثم

tanh⁡x≈x،{\displaystyle \tanh x\approx x,}

لذا فإن المغنطة صغيرة، ويمكننا كتابةب≈μ0ح{\displaystyle B\approx \mu _{0}H}وبالتالي

م≈μ0μ2نكبحتي.{\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k_{\rm {B}}}}{\frac {H}{T}}.}

في هذا النظام، تُعطى القابلية المغناطيسية بواسطة

χ=∂م∂ح≈مح{\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}

العائد

χ(تي→∞)=جتي،{\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},}

مع ثابت كوري المعطى بواسطةج=μ0نμ2/كب{\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k_{\rm {B}}}، بالكلفن (K). [ 2 ]

في ظل درجات الحرارة المنخفضة أو المجالات العالية،م{\displaystyle M}يميل إلى قيمة قصوى مننμ{\displaystyle n\mu }، وهو ما يتوافق مع اصطفاف جميع الجسيمات تمامًا مع المجال. ولأن هذه الحسابات لا تصف الإلكترونات الموجودة في أعماق سطح فيرمي ، والتي يمنعها مبدأ استبعاد باولي من قلب دورانها، فإنها لا تُجسد الإحصاء الكمي للمسألة عند درجات الحرارة المنخفضة. وباستخدام توزيع فيرمي-ديراك ، سيجد المرء أنه عند درجات الحرارة المنخفضةم{\displaystyle M}يعتمد خطيًا على المجال المغناطيسي، بحيث تتشبع القابلية المغناطيسية إلى قيمة ثابتة.

الحالة العامة

عندما تمتلك الجسيمات دورانًا عشوائيًا (أي عدد من حالات الدوران)، تصبح الصيغة أكثر تعقيدًا بعض الشيء. في المجالات المغناطيسية المنخفضة أو درجات الحرارة العالية، يتبع الدوران قانون كوري، مع [ 3 ]

ج=μ0μب23كبنز2ج(ج+1)،{\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}

أينج{\displaystyle J}يمثل العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي ، وز{\displaystyle g}هو عامل g (بحيثμ=زجμب{\displaystyle \mu =gJ\mu _{\text{B}}}(العزم المغناطيسي). بالنسبة لنظام ثنائي المستوى ذي عزم مغناطيسيμ{\displaystyle \mu }، وتتبسط الصيغة إلى ج=1كبنμ0μ2،{\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu _{0}\mu ^{2},}كما سبق، بينما تكون التعبيرات المقابلة بوحدات غاوسيةج=μب23كبنز2ج(ج+1)،{\displaystyle C={\frac {\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k_{\rm {B}}}}ng^{2}J(J+1),}ج=1كبنμ2.{\displaystyle C={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}n\mu ^{2}.}

للاطلاع على هذه الصيغة العامة واشتقاقها (بما في ذلك المجال العالي ودرجة الحرارة المنخفضة)، انظر مقالة دالة بريلوين . عندما يقترب اللف المغزلي من اللانهاية، تقترب صيغة المغنطة من القيمة الكلاسيكية المشتقة في القسم التالي.

الاشتقاق باستخدام الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية

يُطبَّق علاج بديل عندما يُتصوَّر أن المواد البارامغناطيسية هي عزم مغناطيسي كلاسيكي يدور بحرية. في هذه الحالة، يُحدَّد موضعها بزواياها في الإحداثيات الكروية ، وتكون طاقة إحداها كما يلي:

هـ=-μبكوس⁡θ،{\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}

أينθ{\displaystyle \theta }هي الزاوية بين العزم المغناطيسي والمجال المغناطيسي (الذي نفترض أنه يشير إلىz{\displaystyle z} (الإحداثيات.) دالة التقسيم المقابلة هي

Z=∫02πدϕ∫0πدθالخطيئة⁡θخبرة⁡(μبβكوس⁡θ).{\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}

نلاحظ عدم وجود اعتماد علىϕ{\displaystyle \phi }الزاوية، ويمكننا أيضًا تغيير المتغيرات إلىy=كوس⁡θ{\displaystyle y=\cos \theta }للحصول على

Z=2π∫-11دyخبرة⁡(μبβy)=2πخبرة⁡(μبβ)-خبرة⁡(-μبβ)μبβ=4πسينه⁡(μبβ)μبβ.{\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}

والآن، القيمة المتوقعة لـz{\displaystyle z}مكون المغنطة (يُلاحظ أن المكونين الآخرين معدومان (بسبب التكامل علىϕ{\displaystyle \phi }(كما ينبغي) سيتم تقديمها بواسطة

⟨μz⟩=1Z∫02πدϕ∫0πدθالخطيئة⁡θخبرة⁡(μبβكوس⁡θ)[μكوس⁡θ].{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}

لتبسيط الحساب، نرى أنه يمكن كتابة ذلك على شكل تفاضل لـZ{\displaystyle Z}:

⟨μz⟩=1Zβ∂Z∂ب=1β∂ln⁡Z∂ب{\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}

(يمكن استخدام هذا النهج أيضًا للنموذج أعلاه، ولكن الحساب كان بسيطًا للغاية لدرجة أنه ليس مفيدًا جدًا.)

بإجراء عملية الاشتقاق، نجد

م=ن⟨μz⟩=نμل(μبβ)،{\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}

أينل{\displaystyle L}دالة لانجفين :

ل(x)=ملابس⁡x-1x.{\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}

يبدو أن هذه الدالة شاذة بالنسبة للقيم الصغيرةx{\displaystyle x}لكن الأمر ليس كذلك، لأن الحدين المفردين يلغيان بعضهما البعض. في الواقع، يكون سلوكه بالنسبة للقيم الصغيرة هو ل(x)≈x/3{\displaystyle L(x)\approx x/3}لذا ينطبق حد كوري أيضًا، ولكن بثابت كوري أصغر بثلاث مرات في هذه الحالة. وبالمثل، تصل الدالة إلى حد التشبع عند1{\displaystyle 1}بالنسبة للقيم الكبيرة لمتغيرها، يتم استعادة الحد المعاكس بالمثل.

تاريخ

لاحظ بيير كوري في عام 1895 أن قابلية الأكسجين للتمغنط تتناسب عكسياً مع درجة الحرارة. وقدّم بول لانجفين اشتقاقاً كلاسيكياً لهذه العلاقة بعد عشر سنوات. [ 4 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كاردار، مهران (2007). الفيزياء الإحصائية للجسيمات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-87342-0. OCLC 860391091 . 
  2. ↑ كوي، جيه إم دي؛ كوي، جيه إم دي (25-03-2010). المغناطيسية والمواد المغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-81614-4.
  3. ↑ كيتل ، تشارلز (11 نوفمبر 2004). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة). وايلي. ص 304. ISBN   0-471-41526-X.
  4. ↑ فان فليك، جيه إتش (14 يوليو 1978). "ميكانيكا الكم: مفتاح فهم المغناطيسية". مجلة ساينس . 201 (4351): 113-120 . doi : 10.1126/science.201.4351.113 .