دوال بريلوين ولانجفين

تُعدّ دالتا بريلوين ولانجفين زوجًا من الدوال الخاصة التي تظهر عند دراسة مادة مغناطيسية مثالية في الميكانيكا الإحصائية . سُمّيت هاتان الدالتان نسبةً إلى الفيزيائيين الفرنسيين بول لانجفين وليون بريلوين ، اللذين أسهما في الفهم المجهري للخواص المغناطيسية للمادة.

تُشتق دالة لانجفين باستخدام الميكانيكا الإحصائية، وتصف كيفية اصطفاف ثنائيات الأقطاب المغناطيسية بفعل مجال كهربائي مُطبق. ^{[ 1 ]} طُوّرت دالة بريلوين لاحقًا لتقديم تفسير يأخذ في الاعتبار فيزياء الكم. ^{[ 2 ]} يمكن اعتبار دالة لانجفين حالة خاصة من دالة بريلوين الأكثر عمومية إذا كان العدد الكمي $J$ كان لانهائيًا ( $J\to \infty$ ). ^{[ 3 ]}

دالة بريلوين للمغناطيسية البارامغناطيسية

تظهر دالة بريلوين ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 2 ]}^{[ 6 ]} عند دراسة مغنطة مادة مغناطيسية مثالية . وعلى وجه الخصوص، فهي تصف اعتماد المغنطة $M$ على المجال المغناطيسي المطبق $B$ ، كما هو محدد بالمعادلة التالية:

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

الوظيفة $B_{J}$ يُستخدم عادةً في السياق الذي $x$ هو متغير حقيقي ودالة للمجال المطبق $B$ في هذه الحالة، تتراوح قيمة الدالة من -1 إلى 1، وتقترب من +1 عندما $x\to +\infty$ و-1 كـ $x\to -\infty$ .

العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي $J$ هو عدد صحيح موجب أو نصف عدد صحيح . مع الأخذ في الاعتبار العزوم المغناطيسية المجهرية للمادة، فإن المغنطة تُعطى بالعلاقة التالية: ^{[ 4 ]} $M=Ng\mu _{\text{B}}JB_{J}(x)$

أين

$N$ يمثل عدد الذرات لكل وحدة حجم،
$g$ عامل الجاذبية ( g-factor )،
$\mu _{\text{B}}$ مغنيتون بور ،
$x$ هي نسبة طاقة زيمان للعزم المغناطيسي في المجال الخارجي إلى الطاقة الحرارية $k_{\text{B}}T$ [ ⁴^] $x=J{\frac {g\mu _{\text{B}}B}{k_{\text{B}}T}}$
$k_{\text{B}}$ هو ثابت بولتزمان و $T$ درجة الحرارة.

لاحظ أنه في نظام الوحدات الدولي (SI) $B$ يشير مصطلح "تسلا" إلى المجال المغناطيسي . $B=\mu _{0}H$ ، أين $H$ المجال المغناطيسي المساعد معطى بوحدة أمبير/متر و $\mu _{0}$ هي نفاذية الفراغ .

انقر على "عرض" للاطلاع على اشتقاق هذا القانون:

يُشتق هذا القانون الذي يصف مغنطة مادة مغناطيسية مثالية على النحو التالي. ^{[ 4 ]} ليكن z اتجاه المجال المغناطيسي. يمكن أن يأخذ المركب z للزخم الزاوي لكل عزم مغناطيسي (المعروف أيضًا بالعدد الكمي السمتي ) إحدى القيم الممكنة 2 ^J + 1، وهي: -J ، -J + 1، ...، + J . لكل قيمة من هذه القيم طاقة مختلفة، نتيجة للمجال الخارجي B : الطاقة المرتبطة بالعدد الكمي m هي

$E_{m}=-mg\mu _{\text{B}}B=-k_{\text{B}}Txm/J$ (حيث g هو عامل g ، $و$ $μB$ هو مغنيتون بور ، و x كما هو مُعرَّف في النص أعلاه). يُعطى الاحتمال النسبي لكلٍّ من هذه الاحتمالات بواسطة عامل بولتزمان : $P(m)={\frac {1}{Z}}e^{-E_{m}/(k_{\text{B}}T)}={\frac {1}{Z}}e^{xm/J}$ حيث Z ( دالة التقسيم ) هو ثابت تطبيع بحيث يكون مجموع الاحتمالات مساوياً للواحد. بحساب Z ، تكون النتيجة كالتالي: $P(m)={\frac {e^{xm/J}}{\sum \limits _{m'=-J}^{J}e^{xm'/J}}}.$ بالمجمل، فإن القيمة المتوقعة للعدد الكمي السمتي m هي ${\begin{aligned}\langle m\rangle &=(-J)\times P(-J)+\cdots +J\times P(J)\\[1ex]&={\frac {\displaystyle \sum _{m=-J}^{J}me^{xm/J}}{\displaystyle \sum _{m=-J}^{J}e^{xm/J}}}.\end{aligned}}$ المقام عبارة عن متسلسلة هندسية ، والبسط عبارة عن نوع من المتسلسلات الحسابية الهندسية ، لذا يمكن جمع المتسلسلة بشكل صريح. بعد بعض العمليات الجبرية، تكون النتيجة هي $\langle m\rangle =JB_{J}(x)$ مع وجود N من العزوم المغناطيسية لكل وحدة حجم، فإن كثافة المغنطة هي $M=Ng\mu _{\text{B}}\langle m\rangle =NgJ\mu _{\text{B}}B_{J}(x).$

حد التشبع في المجال العالي

متى $x\to \infty$ ، تؤول دالة بريلوين إلى 1. ويصل التمغنط إلى التشبع مع اصطفاف العزوم المغناطيسية تمامًا مع المجال المطبق:

$M=Ng\mu _{\text{B}}J$

حد المجال المنخفض/حد درجة الحرارة العالية

في المجالات المغناطيسية المنخفضة، يبدو المنحنى خطيًا تقريبًا، ويمكن استبداله بميل خطي كما في قانون كوري للمغناطيسية المسايرة. عندما $x\ll 1$ (أي عندما) $x=\mu _{\text{B}}B/k_{\text{B}}T$ (إذا كانت صغيرة) يمكن تقريب تعبير المغنطة بما يلي:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

وهو مكافئ لقانون كوري مع الثابت المعطى بواسطة $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{\text{B}}^{2}}{3k_{\text{B}}}}={\frac {N\mu _{\text{eff}}^{2}}{3k_{\text{B}}}}$

استخدام ${\textstyle \mu _{\text{eff}}=g{\sqrt {J(J+1)}}\mu _{\text{B}}}$ باعتباره العدد الفعال لمغنيتونات بور.

لاحظ أن هذا ينطبق فقط على المجالات المنخفضة في المغناطيسية المسايرة . ^{[ 7 ]} لا تزال المواد المغناطيسية الحديدية تتمتع بتمغنط تلقائي عند المجالات المنخفضة (أقل من درجة حرارة كوري)، ويجب حينها تفسير القابلية المغناطيسية بقانون كوري-فايس .

حالة ثنائية الحالة (الدوران 1/2)

أبسط حالة لدالة بريلوين هي حالة $J=1/2$ عندما تُبسط الدالة إلى شكل دالة الظل الزائدي (tanh). ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} ثم تُكتب على النحو التالي:

$M=Ng\mu _{\text{B}}J\tanh {\frac {gJ\mu _{\text{B}}B}{k_{\text{B}}T}},$

قد يرتبط هذا بنموذج إيزينغ، في حالة وجود دورانين محتملين: إما لأعلى أو لأسفل. ^{[ 11 ]} موجه بالتوازي أو عكس التوازي مع المجال المطبق.

وهذا يُعادل جسيمًا ثنائي الحالة : إذ يُمكنه إما أن يُحاذي عزمه المغناطيسي مع المجال المغناطيسي أو ضده. وبالتالي، فإن القيم الممكنة الوحيدة للعزم المغناطيسي هي $\mu _{\text{B}}$ و $-\mu _{\text{B}}$ إذا كان الأمر كذلك، فإن مثل هذا الجسيم لا يملك سوى طاقتين محتملتين. $-\mu _{\text{B}}B$ عندما يكون متوافقًا مع المجال و $+\mu _{\text{B}}B$ عندما يكون اتجاهه معاكساً لاتجاه المجال.

دالة لانجفين للمغناطيسية البارامغناطيسية الكلاسيكية

{\displaystyle \tanh(x/3)} — دالة لانجفين (الخط الأزرق)، مقارنةً بـ $\tanh(x/3)$ (خط أرجواني).

دالة لانجفين ( $L(x)$ سُميت هذه الدالة نسبةً إلى بول لانجفين الذي نشر ورقتين بحثيتين باستخدامها عام 1905 ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} لوصف المغناطيسية البارامغناطيسية باستخدام الميكانيكا الإحصائية. وتُكتب على النحو التالي:

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

يمكن استنتاج ذلك من خلال وصف كيفية اصطفاف العزوم المغناطيسية بواسطة مجال مغناطيسي، مع الأخذ في الاعتبار الديناميكا الحرارية الإحصائية. ^{[ 1 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} ويمكن الاطلاع على أحد هذه الاشتقاقات هنا:

انقر على "إظهار" للاطلاع على اشتقاق هذه الدالة:

ستكون الطاقة لكل لحظة مغناطيسية

$E=-\mu H\cos \theta ,$

أين $\theta$ هي الزاوية بين العزم المغناطيسي والمجال المغناطيسي (الذي نفترض أنه يشير إلى $z$ (الإحداثيات.) دالة التقسيم المقابلة هي

$Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta e^{(\mu H\cos \theta /k_{\text{B}}T)}.$

هنا يمكننا التبسيط للاستبدال $x=\mu H/k_{\text{B}}T$ نلاحظ عدم وجود اعتماد على $\phi$ الزاوية، ويمكننا أيضًا تغيير المتغيرات إلى $a=\cos \theta$ للحصول على

$Z=2\pi \int _{-1}^{1}da\cdot e^{xa}=2\pi {\frac {e^{x}-e^{-x}}{x}}={\frac {4\pi \sinh(x)}{x.}}$

والآن، القيمة المتوقعة لـ $z$ مكون المغنطة (يُلاحظ أن المكونين الآخرين معدومان (بسبب التكامل على $\phi$ (كما ينبغي) سيتم تقديمها بواسطة

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={\frac {1}{Z}}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(x\cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].$

لتبسيط الحساب، نرى أنه يمكن كتابة ذلك على شكل تفاضل لـ $Z$ :

$\left\langle \mu _{z}\right\rangle ={\frac {k_{\text{B}}T}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial B}}=k_{\text{B}}T{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}$

بإجراء عملية الاشتقاق، نجد

$M=N\left\langle \mu _{z}\right\rangle =N\mu \cdot L(\mu H/k_{\text{B}}T),$

أين $L$ دالة لانجفين :

$L(x)=\coth x-{\frac {1}{x}}.$

يمكن أيضًا اشتقاق دالة لانجفين كحد كلاسيكي لدالة بريلوين، إذا أمكن محاذاة العزوم المغناطيسية بشكل مستمر في المجال والعدد الكمي $J$ سيكون قادراً على افتراض جميع القيم ( $J\to \infty$ ثم يتم تبسيط دالة بريلوين إلى دالة لانجفين.

النهج الكلاسيكي أم النهج الكمي؟

تُعتبر دالة لانجفين في كثير من الأحيان النظرية الكلاسيكية للمغناطيسية المسايرة، ^{[ 1 ]} بينما تُعتبر دالة بريلوين النظرية الكمية للمغناطيسية المسايرة. ^{[ 3 ]} عندما نشر لانجفين نظرية المغناطيسية المسايرة عام 1905 ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} كان ذلك قبل تبني الفيزياء الكمية، مما يعني أن لانجفين استخدم مفاهيم الفيزياء الكلاسيكية فقط . ^{[ 17 ]}

أظهر نيلز بور في أطروحته أن الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية لا يمكن استخدامها لتفسير المغناطيسية المسايرة، وأنه يجب استخدام نظرية الكم. ^{[ 17 ]} عُرف هذا لاحقًا باسم نظرية بور-فان ليوين . وتم تفسير العزم المغناطيسي لاحقًا في نظرية الكم بواسطة مغنيتون بور ( $\mu _{\text{B}}$ )، والتي تستخدم في دالة بريلوين.

تجدر الإشارة إلى وجود اختلاف في مناهج لانجفين وبور، حيث يفترض لانجفين وجود استقطاب مغناطيسي. $\mu$ بينما بدأ بور اشتقاقه من حركات الإلكترونات ونموذج الذرة، ^{[ 17 ]} لا يزال لانجفين يفترض وجود عزم مغناطيسي ثنائي القطب ثابت. ويمكن التعبير عن ذلك كما قال جيه إتش فان فليك : "عندما افترض لانجفين أن العزم المغناطيسي للذرة أو الجزيء له قيمة ثابتة $\mu$ كان يُكمّم النظام دون أن يُدرك ذلك ^{[ 17 ]} . وهذا يجعل دالة لانجفين تقع على الحدود بين الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية ونظرية الكم (سواء كانت شبه كلاسيكية أو شبه كمية). ^{[ 17 ]}

دالة لانجفين للاستقطاب الكهربائي

يمكن أيضًا استخدام دالة لانجفين لوصف الاستقطاب الكهربائي، في الحالة الخاصة التي يُفسَّر فيها الاستقطاب بتوجيه ثنائيات الأقطاب (المستقطبة كهربائيًا). ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} وبالتالي يُعطى الاستقطاب الكهربائي بالمعادلة التالية: ^{[ 20 ]}

$P=P_{s}\cdot L(x)$

لكن هنا للحظة ثنائية القطب الكهربائي $p$ ومجال كهربائي $E_{L}$ (بدلاً من المكافئات المغناطيسية)، أي $x={\frac {pE_{L}}{k_{\text{B}}T}}$

وظائف مبسطة

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ $x$ ، يمكن تقريب دالة لانجفين عن طريق اقتطاع متسلسلة تايلور الخاصة بها : $L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$ الحد الأول من متسلسلة التوسع هذه يكافئ قانون كوري ، ^{[ 1 ]} عند كتابته على النحو التالي

$L(x)\approx {\frac {x}{3}}$

يمكن اشتقاق تقريب بديل وأفضل سلوكًا من توسيع لامبرت للكسور المستمرة لـ $tanh(x)$ : $L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$ $بالنسبة لقيم x$ الصغيرة بما يكفي ، يكون كلا التقريبين أفضل عدديًا من التقييم المباشر للتعبير التحليلي الفعلي، لأن الأخير يعاني من إلغاء كارثي لـ $x\approx 0$ أين $\coth(x)\approx 1/x$ .

دالة لانجفين العكسية

دالة لانجفين العكسية $L^{-1}(x)$ لا يوجد لها شكل تحليلي صريح، ولكن توجد عدة تقريبات. ^{[ 21 ]}

دالة لانجفين العكسية $L^{-1}(x)$ تُعرَّف على الفترة المفتوحة (−1، 1). بالنسبة للقيم الصغيرة لـ $x$ ، ويمكن تقريبها عن طريق اقتطاع سلسلة تايلور الخاصة بها ^{[ 22 ]}

$L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots$

وبواسطة تقريب باديه

$L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7}).$

بما أن هذه الدالة ليس لها صيغة مغلقة، فمن المفيد الحصول على تقريبات صالحة لقيم عشوائية لـ $x$ . تم نشر أحد التقريبات الشائعة، الصالحة على النطاق الكامل (−1، 1)، بواسطة أ. كوهين: ^{[ 23 ]} $L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}}.$

يبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي 4.9% في محيط $x=\pm 0.8$ . يمكن تحقيق دقة أكبر باستخدام الصيغة التي قدمها ر. جيديناك: ^{[ 24 ]}

$L^{-1}(x)\approx x{\frac {3.0-2.6x+0.7x^{2}}{(1-x)(1+0.1x)}},$

صالحة لـ $x \geq 0.$ يبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي لهذا التقريب 1.5% في جوار $x=0.85$ ويمكن تحقيق دقة أكبر باستخدام الصيغة التي قدمها م. كروجر: ^{[ 25 ]}

$L^{-1}(x)\approx {\frac {3x-x(6x^{2}+x^{4}-2x^{6})/5}{1-x^{2}}}$

يبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي لهذا التقريب أقل من 0.28%. وقد أبلغ ر. بتروسيان عن تقريب أكثر دقة: ^{[ 26 ]}

$L^{-1}(x)\approx 3x+{\frac {x^{2}}{5}}\sin \left({\frac {7x}{2}}\right)+{\frac {x^{3}}{1-x}},$

صالحة لـ $x \geq 0.$ الحد الأقصى للخطأ النسبي للصيغة المذكورة أعلاه أقل من 0.18%. ^{[ 26 ]}

التقريب الجديد الذي قدمه ر. جيديناك، ^{[ 27 ]} هو أفضل تقريب تم الإبلاغ عنه عند مستوى تعقيد 11:

$L^{-1}(x)\approx {\frac {x(3-1.00651x^{2}-0.962251x^{4}+1.47353x^{6}-0.48953x^{8})}{(1-x)(1+1.01524x)}},$

صالحة لـ $x \geq 0.$ يبلغ الحد الأقصى للخطأ النسبي أقل من 0.076%. ^{[ 27 ]}

يوضح الشكل أدناه أحدث مخطط لتقريبات دالة لانجفين العكسية. وهو صالح لتقريبات الدوال الكسرية/باديه، ^{[ 25 ]}^{[ 27 ]}

مخطط حديث لأحدث التقنيات لتقريبات دالة لانجفين العكسية، ^{[ 25 ]}^{[ 27 ]}

تُقدّم ورقة بحثية نُشرت مؤخرًا بقلم ر. جيدناك ^{[ 28 ]} سلسلة من التقريبات المثلى لدالة لانجفين العكسية. يعرض الجدول أدناه النتائج مع السلوكيات التقاربية الصحيحة. ^{[ 25 ]}^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

مقارنة الأخطاء النسبية للتقريبات العقلانية المثلى المختلفة، والتي تم حسابها مع القيود (الملحق 8 الجدول 1) ^{[ 28 ]}

تعقيد	التقريب الأمثل	أقصى خطأ نسبي [%]
3	$R_{2,1}(y)={\frac {-2y^{2}+3y}{1-y}}$	13
4	$R_{3,1}(y)={\frac {0.88y^{3}-2.88y^{2}+3y}{1-y}}$	0.95
5	$R_{3,2}(y)={\frac {1.1571y^{3}-3.3533y^{2}+3y}{(1-y)(1-0.1962y)}}$	0.56
6	$R_{5,1}(y)={\frac {0.756y^{5}-1.383y^{4}+1.5733y^{3}-2.9463y^{2}+3y}{1-y}}$	0.16
7	$R_{3,4}(y)={\frac {2.14234y^{3}-4.22785y^{2}+3y}{(1-y)\left(0.71716y^{3}-0.41103y^{2}-0.39165y+1\right)}}$	0.082

في الآونة الأخيرة أيضًا، تم اقتراح تقريب فعال قريب من دقة الآلة، يعتمد على استيفاءات الخطوط التكعيبية، بواسطة بينيتيز ومونتانس، ^{[ 29 ]} حيث يتم أيضًا تقديم كود MATLAB لإنشاء التقريب القائم على الخطوط التكعيبية ومقارنة العديد من التقريبات المقترحة سابقًا في جميع مجالات الدالة.

دالة بريلوين العكسية

يمكن أيضًا استخدام التقريبات للتعبير عن دالة بريلوين العكسية ( $B_{J}(x)^{-1}$ اقترح تاكاكس [ ^{30 ] التقريب} التالي لمعكوس دالة بريلوين: $B_{J}(x)^{-1}={\frac {axJ^{2}}{1-bx^{2}}}$ حيث الثوابت $a$ و $b$ تُعرَّف بأنها

$a={\frac {0.5(1+2J)(1-0.055)}{(J-0.27)2J}}+{\frac {0.1}{J^{2}}}$
$b=0.8$

انظر أيضاً

مراجع

1 2 3 4 ب. د. كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية (الطبعة الثانية) . وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 91-99 . ISBN 978-0471-47741-9.
1 2 ج. ر. هوك؛ هـ. ف. هول (2010). فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثانية). وايلي. الصفحات 200-206 . ISBN 978-0471-92805-8.
1 2 ب. د. كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية (الطبعة الثانية) . وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 99-113 . ISBN 978-0471-47741-9.
1 2 3 4 كيتل، سي. (11 نوفمبر 2004). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة). وايلي. الصفحات 303-304 . ISBN 978-0-471-41526-8.
↑ داربي، إم آي (1967). "جداول دالة بريلوين والدالة المرتبطة بها للمغنطة التلقائية". المجلة البريطانية للفيزياء التطبيقية . 18 (10): 1415-1417 . Bibcode : 1967BJAP...18.1415D . doi : 10.1088/0508-3443/18/10/307 .
↑ "المغناطيسية العامة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ "4.2.2 المغناطيسية المسايرة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ بي دي كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية ( الطبعة الثانية). وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 99-113 و122. ISBN 978-0471-47741-9.
↑ "فيزياء الحالة الصلبة المتقدمة، المغناطيسية المسايرة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ ر. فاينمان. "محاضرات فاينمان في الفيزياء، الجزء الثاني - 35 المغناطيسية البارامغناطيسية والرنين المغناطيسي" . معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.
↑ "مقدمة في الميكانيكا الإحصائية 6. التحولات الطورية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
1 2 بول لانجفين (1905). "حول نظرية المغناطيسية" . جي فيز. النظرية. تطبيق . 4 (1): 678–693 . دوى : 10.1051/jphystap:019050040067800 .
1 2 بول لانجفين (1905). "المغناطيسية ونظرية الإلكترونات" . حوليات الكيمياء والفيزياء . 8 (5): 68-125 .
↑ "نظرية لانجفين الكلاسيكية للمغناطيسية البارامغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ "فيزياء 4750: فيزياء المواد الحديثة، الفصل 8: المواد المغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ "الفصل 6 الجزء 3 - النظرية الكلاسيكية (لانجفين) للمغناطيسية البارامغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
1 2 3 4 5 نافيندر سينغ (2018). "قصة المغناطيسية: من هايزنبرغ وسلاتر وستونر إلى فان فليك، وقضايا التبادل والترابط". arXiv : 1807.11291 [ cond-mat.str-el ].
↑ ريشرت، رانكو (9 أغسطس/آب 2017). "التأثيرات العازلة غير الخطية في السوائل: جولة إرشادية". مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 29 (36). دار نشر IOP: 363001. رمز Bibcode : 2017JPCM...29J3001R . doi : 10.1088/1361-648X/aa7cc4 . PMID 28665294 .
↑ "3.2.4 استقطاب التوجيه" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .
↑ جيه آر هوك؛ إتش إف هول (2010). فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثانية). وايلي. الصفحات 260-262 . ISBN 978-0471-92805-8.
↑ هوارد، آر إم (2020). "تقريبات تحليلية لدالة لانجفين العكسية عبر التخطيط الخطي، وتقريب الخطأ، والتكرار" . مجلة ريولوجيا أكتا . 59 (8). سبرينغر: 521-544 . رمز Bibcode : 2020AcRhe..59..521H . doi : 10.1007/s00397-020-01195-8 .
↑ جوهال، أ.س.؛ دنستان، د.ج. (2007). "دوال الطاقة للمطاط من الكمونات المجهرية" . مجلة الفيزياء التطبيقية . 101 (8): 084917–084917–5. Bibcode : 2007JAP...101h4917J . doi : 10.1063/1.2723870 .
↑ كوهين، أ. (1991). "تقريب باديه لدالة لانجفين العكسية". مجلة ريولوجيكا أكتا . 30 (3): 270-273 . Bibcode : 1991AcRhe..30..270C . doi : 10.1007/BF00366640 . S2CID 95818330 .
↑ جيدناك، ر. (2015). "إعادة النظر في تقريب دالة لانجفين العكسية" . مجلة ريولوجيكا أكتا . 54 (1): 29-39 . Bibcode : 2015AcRhe..54...29J . doi : 10.1007/s00397-014-0802-2 .
1 2 3 4 كروجر، م. (2015). "تقريبات بسيطة ومقبولة ودقيقة لدالتي لانجفين وبريلوين العكسيتين، ذات صلة بتشوهات وتدفقات البوليمر القوية" . مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 223 : 77-87 . Bibcode : 2015JNNFM.223...77K . doi : 10.1016/j.jnnfm.2015.05.007 . hdl : 20.500.11850/102747 .
1 2 بتروسيان، ر. (2016). "تقريبات محسّنة لبعض نماذج امتداد البوليمر". مجلة ريولوجيكا أكتا . 56 : 21-26 . arXiv : 1606.02519 . doi : 10.1007/s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .
1 2 3 4 5 جيديناك، ر. (2017). “حقائق جديدة تتعلق بتقريب دالة لانجفين العكسية”. مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 249 : 8 – 25. بيب كود : 2017JNNFM.249....8J . دوى : 10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 .
1 2 3 جيدناك، ر. (2018). "دراسة شاملة للطرق الرياضية المستخدمة لتقريب دالة لانجفين العكسية". الرياضيات وميكانيكا المواد الصلبة . 24 (7): 1-25 . doi : 10.1177/1081286518811395 . S2CID 125370646 .
↑ بينيتيز، جيه إم؛ مونتانس، إف جيه (2018). "إجراء عددي بسيط وفعال لحساب دالة لانجفين العكسية بدقة عالية". مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 261 : 153-163 . arXiv : 1806.08068 . Bibcode : 2018JNNFM.261..153B . doi : 10.1016/j.jnnfm.2018.08.011 . S2CID 119029096 .
↑ تاكاكس، جينو (2016). "تقريبات لدالة بريلوين ودالتها العكسية". مجلة COMPEL - المجلة الدولية للحوسبة والرياضيات في الهندسة الكهربائية والإلكترونية . 35 (6): 2095. doi : 10.1108/COMPEL-06-2016-0278 .

[CullityGraham91-1] 1 2 3 4 ب. د. كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية (الطبعة الثانية) . وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 91-99 . ISBN 978-0471-47741-9.

[HookHall200-2] 1 2 ج. ر. هوك؛ هـ. ف. هول (2010). فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثانية). وايلي. الصفحات 200-206 . ISBN 978-0471-92805-8.

[CullityGraham99-3] 1 2 ب. د. كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية (الطبعة الثانية) . وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 99-113 . ISBN 978-0471-47741-9.

[Kittel-4] 1 2 3 4 كيتل، سي. (11 نوفمبر 2004). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة). وايلي. الصفحات 303-304 . ISBN 978-0-471-41526-8.

[5] داربي، إم آي (1967). "جداول دالة بريلوين والدالة المرتبطة بها للمغنطة التلقائية". المجلة البريطانية للفيزياء التطبيقية . 18 (10): 1415-1417 . Bibcode : 1967BJAP...18.1415D . doi : 10.1088/0508-3443/18/10/307 .

[6] "المغناطيسية العامة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[7] "4.2.2 المغناطيسية المسايرة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[CullityGraham122-8] بي دي كوليتي؛ سي دي غراهام (2009). مقدمة في المواد المغناطيسية ( الطبعة الثانية). وايلي (مطبعة IEEE). الصفحات 99-113 و122. ISBN 978-0471-47741-9.

[9] "فيزياء الحالة الصلبة المتقدمة، المغناطيسية المسايرة" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[Feynman-10] ر. فاينمان. "محاضرات فاينمان في الفيزياء، الجزء الثاني - 35 المغناطيسية البارامغناطيسية والرنين المغناطيسي" . معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا.

[11] "مقدمة في الميكانيكا الإحصائية 6. التحولات الطورية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[Langevin1-12] 1 2 بول لانجفين (1905). "حول نظرية المغناطيسية" . جي فيز. النظرية. تطبيق . 4 (1): 678–693 . دوى : 10.1051/jphystap:019050040067800 .

[Langevin2-13] 1 2 بول لانجفين (1905). "المغناطيسية ونظرية الإلكترونات" . حوليات الكيمياء والفيزياء . 8 (5): 68-125 .

[14] "نظرية لانجفين الكلاسيكية للمغناطيسية البارامغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[15] "فيزياء 4750: فيزياء المواد الحديثة، الفصل 8: المواد المغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[16] "الفصل 6 الجزء 3 - النظرية الكلاسيكية (لانجفين) للمغناطيسية البارامغناطيسية" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[Singh2018-17] 1 2 3 4 5 نافيندر سينغ (2018). "قصة المغناطيسية: من هايزنبرغ وسلاتر وستونر إلى فان فليك، وقضايا التبادل والترابط". arXiv : 1807.11291 [ cond-mat.str-el ].

[Richert2017-18] ريشرت، رانكو (9 أغسطس/آب 2017). "التأثيرات العازلة غير الخطية في السوائل: جولة إرشادية". مجلة الفيزياء: المادة المكثفة . 29 (36). دار نشر IOP: 363001. رمز Bibcode : 2017JPCM...29J3001R . doi : 10.1088/1361-648X/aa7cc4 . PMID 28665294 .

[19] "3.2.4 استقطاب التوجيه" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 18-12-2024 .

[HookHall260-20] جيه آر هوك؛ إتش إف هول (2010). فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثانية). وايلي. الصفحات 260-262 . ISBN 978-0471-92805-8.

[Howard2020-21] هوارد، آر إم (2020). "تقريبات تحليلية لدالة لانجفين العكسية عبر التخطيط الخطي، وتقريب الخطأ، والتكرار" . مجلة ريولوجيا أكتا . 59 (8). سبرينغر: 521-544 . رمز Bibcode : 2020AcRhe..59..521H . doi : 10.1007/s00397-020-01195-8 .

[Johal-22] جوهال، أ.س.؛ دنستان، د.ج. (2007). "دوال الطاقة للمطاط من الكمونات المجهرية" . مجلة الفيزياء التطبيقية . 101 (8): 084917–084917–5. Bibcode : 2007JAP...101h4917J . doi : 10.1063/1.2723870 .

[Cohen-23] كوهين، أ. (1991). "تقريب باديه لدالة لانجفين العكسية". مجلة ريولوجيكا أكتا . 30 (3): 270-273 . Bibcode : 1991AcRhe..30..270C . doi : 10.1007/BF00366640 . S2CID 95818330 .

[Jedynak-24] جيدناك، ر. (2015). "إعادة النظر في تقريب دالة لانجفين العكسية" . مجلة ريولوجيكا أكتا . 54 (1): 29-39 . Bibcode : 2015AcRhe..54...29J . doi : 10.1007/s00397-014-0802-2 .

[M._Kröger-25] 1 2 3 4 كروجر، م. (2015). "تقريبات بسيطة ومقبولة ودقيقة لدالتي لانجفين وبريلوين العكسيتين، ذات صلة بتشوهات وتدفقات البوليمر القوية" . مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 223 : 77-87 . Bibcode : 2015JNNFM.223...77K . doi : 10.1016/j.jnnfm.2015.05.007 . hdl : 20.500.11850/102747 .

[Petrosyan-26] 1 2 بتروسيان، ر. (2016). "تقريبات محسّنة لبعض نماذج امتداد البوليمر". مجلة ريولوجيكا أكتا . 56 : 21-26 . arXiv : 1606.02519 . doi : 10.1007/s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .

[Jedynak1-27] 1 2 3 4 5 جيديناك، ر. (2017). “حقائق جديدة تتعلق بتقريب دالة لانجفين العكسية”. مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 249 : 8 – 25. بيب كود : 2017JNNFM.249....8J . دوى : 10.1016/j.jnnfm.2017.09.003 .

[Jedynak2-28] 1 2 3 جيدناك، ر. (2018). "دراسة شاملة للطرق الرياضية المستخدمة لتقريب دالة لانجفين العكسية". الرياضيات وميكانيكا المواد الصلبة . 24 (7): 1-25 . doi : 10.1177/1081286518811395 . S2CID 125370646 .

[Benitez_Montans-29] بينيتيز، جيه إم؛ مونتانس، إف جيه (2018). "إجراء عددي بسيط وفعال لحساب دالة لانجفين العكسية بدقة عالية". مجلة ميكانيكا الموائع غير النيوتونية . 261 : 153-163 . arXiv : 1806.08068 . Bibcode : 2018JNNFM.261..153B . doi : 10.1016/j.jnnfm.2018.08.011 . S2CID 119029096 .

[30] تاكاكس، جينو (2016). "تقريبات لدالة بريلوين ودالتها العكسية". مجلة COMPEL - المجلة الدولية للحوسبة والرياضيات في الهندسة الكهربائية والإلكترونية . 35 (6): 2095. doi : 10.1108/COMPEL-06-2016-0278 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

30 ] التقريب

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗