مفارقة كاري

تُسمى الطريقة القياسية لإثبات الجمل الشرطية (الجمل التي على شكل "إذا كان أ ، فإن ب ") " الإثبات الشرطي ". في هذه الطريقة، لإثبات "إذا كان أ ، فإن ب "، يُفترض أولاً أن أ ، ثم يُثبت بناءً على هذا الافتراض أن ب صحيح.

لإثبات مفارقة كاري، كما هو موضح في الخطوتين السابقتين، نطبق هذه الطريقة على الجملة "إذا كانت هذه الجملة صحيحة، فإن ألمانيا تحد الصين". هنا ، يشير A ، "هذه الجملة صحيحة"، إلى الجملة ككل، بينما يشير B إلى "ألمانيا تحد الصين". لذا، فإن افتراض A هو نفسه افتراض "إذا كان A ، فإن B ". وبالتالي، بافتراض A ، نكون قد افترضنا كلاً من A و"إذا كان A ، فإن B ". لذلك، فإن B صحيحة، وفقًا لقاعدة القياس المنطقي ، وقد أثبتنا صحة "إذا كانت هذه الجملة صحيحة، فإن 'ألمانيا تحد الصين'" بالطريقة المعتادة، بافتراض الفرضية واستخلاص النتيجة.

الآن، بما أننا أثبتنا صحة العبارة "إذا كانت هذه الجملة صحيحة، فإن عبارة 'ألمانيا تجاور الصين' صحيحة"، فيمكننا تطبيق قاعدة الاستدلال المنطقي (modus pones) مرة أخرى، لأننا نعلم أن الادعاء "هذه الجملة صحيحة" صحيح. وبهذه الطريقة، نستنتج أن ألمانيا تجاور الصين.

استخدم المثال في القسم السابق استدلالًا غير رسمي بلغة طبيعية. وتظهر مفارقة كاري أيضًا في بعض أنواع المنطق الصوري . في هذا السياق، تُبين أنه إذا افترضنا وجود جملة صورية ( س → ص )، حيث س نفسها مكافئة لـ ( س → ص )، فإنه يُمكننا إثبات ص ببرهان صوري. فيما يلي مثال على هذا البرهان الصوري. للاطلاع على شرح رموز المنطق المستخدمة في هذا القسم، يُرجى الرجوع إلى قائمة رموز المنطق .

1. X  := ( X → Y )
   الافتراض ، نقطة البداية، يعادل "إذا كانت هذه الجملة صحيحة، فإن Y "
2. X → X
   قانون الهوية
3. X → ( X → Y )
   استبدل الطرف الأيمن من 2 ، لأن X مكافئ لـ X → Y بواسطة 1
4. X → Y
   من 3 عن طريق الانقباض
5. X
   استبدل 4 بـ 1
6. Y
   من 5 و 4 عن طريق القياس الاستدلالي

يُمكن تقديم برهان بديل عبر قانون بيرس . إذا كان X = X → Y ، فإن ( X → Y ) → X. هذا بالإضافة إلى قانون بيرس (( X → Y ) → X ) → X وقاعدة القياس المنطقي (modus ponens) يستلزم X وبالتالي Y (كما في البرهان أعلاه).

يُبين الاستنتاج السابق أنه إذا كانت Y عبارة غير قابلة للإثبات في نظام رسمي، فلا توجد عبارة X في ذلك النظام بحيث تكون X مكافئة للاستلزام ( X → Y ). بعبارة أخرى، تفشل الخطوة الأولى من البرهان السابق. في المقابل، يُبين القسم السابق أنه في اللغة الطبيعية (غير الرسمية)، لكل عبارة Y في اللغة الطبيعية، توجد عبارة Z في اللغة الطبيعية بحيث تكون Z مكافئة للاستلزام ( Z → Y ) في اللغة الطبيعية. أي أن Z هي "إذا كانت هذه الجملة صحيحة، فإن Y ".

حتى لو لم يسمح المنطق الرياضي الأساسي بأي جمل مرجعية ذاتية، فإن بعض أشكال نظرية المجموعات البسيطة لا تزال عرضة لمفارقة كاري. في نظريات المجموعات التي تسمح بفهم غير مقيد ، يمكننا إثبات أي عبارة منطقية Y من خلال فحص المجموعة $${\displaystyle X\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left\{x\mid (x\in x)\to Y\right\}.}$$ومن ثم يتبين بسهولة أن البيان${\displaystyle X\in X}$يعادل${\displaystyle (X\in X)\to Y}$ومن هذا،${\displaystyle Y}$يمكن استنتاج ذلك، على غرار البراهين الموضحة أعلاه. (${\displaystyle X\in X}$" تعني "هذه الجملة".)

لذلك، في نظرية المجموعات المتسقة، فإن المجموعة${\displaystyle \left\{x\mid (x\in x)\to Y\right\}}$لا يوجد حلٌّ لـ Y الخاطئة . يمكن اعتبار هذا صيغةً مختلفةً لمفارقة راسل ، ولكنه ليس مطابقًا لها. حاولت بعض المقترحات في نظرية المجموعات معالجة مفارقة راسل ليس بتقييد قاعدة الفهم، بل بتقييد قواعد المنطق بحيث تتسامح مع الطبيعة المتناقضة لمجموعة جميع المجموعات التي ليست أعضاءً في بعضها البعض. يُظهر وجود براهين مثل البرهان أعلاه أن هذه المهمة ليست بهذه البساطة، لأنه يجب حذف أو تقييد قاعدة استنتاج واحدة على الأقل من القواعد المستخدمة في البرهان أعلاه.

يمكن التعبير عن مفارقة كاري باستخدام حساب لامدا غير المصنف ، المدعوم بحساب القضايا الاستلزامي . ولمعالجة القيود النحوية لحساب لامدا،${\displaystyle m}$يشير إلى دالة الاستلزام التي تأخذ معلَمين، أي الحد لامدا${\displaystyle ((mA)B)}$يكون مكافئًا للتدوين الوسطي المعتاد${\displaystyle A\to B}$.

صيغة اعتباطية${\displaystyle Z}$يمكن إثبات ذلك بتعريف دالة لامدا${\displaystyle N:=\lambda p.((mp)Z)}$، و${\displaystyle X:=({\textsf {Y}}N)}$، أين${\displaystyle {\textsf {Y}}}$يرمز إلى مُركِّب كاري ذي النقطة الثابتة . ثم${\displaystyle X=(NX)=((mX)Z)}$بحسب تعريف${\displaystyle {\textsf {Y}}}$و${\displaystyle N}$وبالتالي، يمكن تكرار برهان المنطق الجملي المذكور أعلاه في حساب التفاضل والتكامل: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{cll}\vdash &((mX)X)&{\mbox{ حسب بديهية المنطق الأدنى }}A\to A\\\vdash &((mX)((mX)Z))&{\mbox{ بما أن }}X=((mX)Z)\\\vdash &((mX)Z)&{\mbox{ حسب نظرية }}(A\to (A\to B))\vdash (A\to B){\mbox{ للمنطق الأدنى }}\\\vdash &X&{\mbox{ بما أن }}X=((mX)Z)\\\vdash &Z&{\mbox{ حسب قاعدة الاستنتاج }}A,(A\to B)\vdash B{\mbox{ من }}X{\mbox{ و }}((mX)Z)\\\end{array}}}$$

في حساب التفاضل والتكامل اللامدا البسيط ، لا يمكن تحديد نوع المجموعات ذات النقطة الثابتة، وبالتالي فهي غير مقبولة.

يمكن التعبير عن مفارقة كاري أيضًا باستخدام المنطق التوافقي ، الذي يتمتع بقدرة تعبيرية مكافئة لحساب لامدا . يمكن ترجمة أي تعبير لامدا إلى المنطق التوافقي، لذا فإن ترجمة تطبيق مفارقة كاري باستخدام حساب لامدا ستكون كافية.

المصطلح المذكور أعلاه${\displaystyle X}$يترجم إلى${\displaystyle (r\ r)}$في المنطق التوافقي، حيث $${\displaystyle r={\textsf {S}}\ ({\textsf {S}}({\textsf {K}}m)({\textsf {S}}{\textsf {I}}{\textsf {I}}))\ ({\textsf {K}}Z);}$$ ومن ثم ^{[ 6 ]}$${\displaystyle (r\ r)=((m(rr))\ Z).}$$

في ثلاثينيات القرن العشرين، لعبت مفارقة كاري ومفارقة كلين-روسر ذات الصلة ، والتي تم تطوير مفارقة كاري منها، ^{[ 7 ] [ 1 ]} دورًا رئيسيًا في إظهار أن أنظمة المنطق الرسمي المختلفة التي تسمح بالتعبيرات المتكررة ذاتيًا غير متسقة .

إن بديهية الفهم غير المقيد لا تدعمها نظرية المجموعات الحديثة ، وبالتالي يتم تجنب مفارقة كاري.