مخطط المواصفات البديهي

في العديد من النسخ الشائعة لنظرية المجموعات البديهية ، يُعد مخطط بديهية التحديد [ ^{1 ] ،} المعروف أيضًا باسم مخطط بديهية الفصل ( Aussonderungsaxiom ) ^{[ 2 ] [ 3 ]} ، أو بديهية المجموعة الجزئية ^{[ 4 ]} ، أو بديهية بناء الأصناف ^{[ 5 ]،} أو مخطط بديهية الفهم المقيد ^{[ 6 ]} ، مخططًا بديهيًا . وينص هذا المخطط أساسًا على أن أي صنف فرعي قابل للتعريف من مجموعة ما هو مجموعة.

يُشير بعض علماء الرياضيات إلى هذه البديهية باسم مخطط بديهيات الفهم ، بينما يقتصر آخرون على استخدام هذا المصطلح للفهم غير المقيد ؛ وهذه البديهية هي نسخة "مقيدة" من الفهم غير المقيد. ولأن تقييد الفهم يتجنب مفارقة راسل ، فقد اعتبرها العديد من علماء الرياضيات ، بمن فيهم زيرميلو وفرينكل وغودل ، أهم بديهيات نظرية المجموعات. ^{[ 7 ]}

يتم تضمين نسخة واحدة من المخطط لكل صيغة${\displaystyle \varphi }$بلغة نظرية المجموعات مع المتغيرات الحرة بين${\displaystyle x,w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n},A}$إذن ، المجموعة${\displaystyle B}$⁠ ، الذي يؤكد وجوده البديهية، لا يظهر بشكل حر في ⁠${\displaystyle \varphi }$. في اللغة الرسمية لنظرية المجموعات، يكون مخطط البديهيات كما يلي:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

أو بالكلمات:

لأي مجموعة A ، توجد مجموعة B (مجموعة جزئية من A ) بحيث، لأي مجموعة x ، تكون x عنصرًا من B إذا وفقط إذا كانت x عنصرًا من A و${\displaystyle \varphi }$ينطبق ذلك على x .

لاحظ أن هناك بديهية واحدة لكل محمول من هذا القبيل .${\displaystyle \varphi }$; وبالتالي، فهذا مخطط بديهي .

لفهم مخطط البديهية هذا، لاحظ أن المجموعة B يجب أن تكون مجموعة جزئية من A. وبالتالي، فإن ما يقوله مخطط البديهية في الواقع هو أنه، بالنظر إلى مجموعة A ومسند ⁠${\displaystyle \varphi }$، يمكننا إيجاد مجموعة جزئية B من A تكون عناصرها هي بالضبط عناصر A التي تحقق ⁠${\displaystyle \varphi }$. وفقًا لمبدأ الامتداد، فإن هذه المجموعة فريدة. عادةً ما نرمز لهذه المجموعة باستخدام ترميز بناء المجموعة كـ ⁠${\displaystyle B=\{x\in A\mid \varphi (x)\}}$وبالتالي فإن جوهر البديهية هو:

كل فئة فرعية من مجموعة يتم تعريفها بواسطة مسند هي نفسها مجموعة.

طُوِّر الشكل السابق للفصل عام 1930 على يد ثورالف سكوليم كتحسين لشكل سابق غير من الدرجة الأولى ^{[ 8 ]} وضعه زيرميلو. ^{[ 9 ]} يُعد مخطط التحديد البديهي سمة مميزة لأنظمة نظرية المجموعات البديهية المرتبطة بنظرية المجموعات ZFC المعتادة ، ولكنه لا يظهر عادةً في أنظمة نظرية المجموعات البديلة المختلفة جذريًا . على سبيل المثال، تستخدم الأسس الجديدة ونظرية المجموعات الموجبة قيودًا مختلفة على بديهية فهم نظرية المجموعات البسيطة . تُشير نظرية المجموعات البديلة لفوبينكا تحديدًا إلى السماح بفئات فرعية مناسبة من المجموعات، تُسمى أنصاف المجموعات . حتى في الأنظمة المرتبطة بـ ZFC، يقتصر هذا المخطط أحيانًا على الصيغ ذات المُكمِّمات المحدودة، كما هو الحال في نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك ذات العناصر الأولية .

يُستنتج مخطط بديهية التحديد من مخطط بديهية الاستبدال بالإضافة إلى بديهية المجموعة الفارغة . ^{[ 10 ] [ أ ]}

ينص مخطط البديهيات للاستبدال على أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$يمكن تعريفها بواسطة صيغة${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ثم لأي مجموعة${\displaystyle A}$توجد مجموعة${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$[ ^{10 ]​}

لاستخلاص مخطط بديهيات التحديد، دع${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$كن صيغة و${\displaystyle z}$مجموعة، وتعريف الدالة${\displaystyle f}$بحيث${\displaystyle f(x)=x}$لو${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$صحيح و${\displaystyle f(x)=u}$لو${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$هذا خطأ، حيث${\displaystyle u\in z}$بحيث${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$صحيح. إذن المجموعة${\displaystyle y}$إن المجموعة التي يضمنها مخطط البديهيات للاستبدال هي بالضبط${\displaystyle y}$مطلوب في مخطط البديهيات للمواصفات. إذا${\displaystyle u}$غير موجود، إذن${\displaystyle f(x)}$في مخطط بديهيات التحديد توجد المجموعة الفارغة، والتي يلزم وجودها (أي بديهية المجموعة الفارغة). ^{[ 10 ]}

لهذا السبب، يُستثنى مخطط بديهيات التحديد من بعض بديهيات نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ( ZF ) ^{[ 11 ]} ، مع أن بعض المؤلفين، رغم التكرار، يدرجون كليهما ^{[ 12 ]} . على أي حال، يُعد مخطط بديهيات التحديد جديرًا بالذكر لأنه كان ضمن قائمة بديهيات زيرميلو الأصلية لعام 1908، قبل أن يبتكر فرانكل بديهية الاستبدال عام 1922 ^{[ 11 ].} إضافةً إلى ذلك، إذا أخذنا نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (أي ZF مع بديهية الاختيار)، وأزلنا بديهية الاستبدال وبديهية التجميع ، مع الإبقاء على مخطط بديهيات التحديد، نحصل على نظام بديهيات أضعف يُسمى ZC (أي بديهيات زيرميلو، بالإضافة إلى بديهية الاختيار) ^{[ 13 ] .}

ينص مخطط البديهيات للفهم غير المقيد على ما يلي :

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

إنه:

هذه المجموعة B فريدة مرة أخرى، وعادة ما يُشار إليها بـ { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

على مستوى غير رسمي، يمكن وصف مخطط البديهية هذا بأنه يقول إنه لأي خاصية أو شرط φ ( مسند المجموعة )، توجد مجموعة${\displaystyle \{x|\varphi (x)\}}$تتألف من جميع العناصر التي تحقق φ فقط . ^{[ 14 ] [ 15 ]} على سبيل المثال، عندما تكون φ عبارة عن تحصيل حاصل ، فإن المجموعة الناتجة B هي المجموعة الشاملة .

استُخدم مخطط البديهيات هذا ضمنيًا في بدايات نظرية المجموعات البسيطة ، قبل اعتماد نظام بديهيات صارم. إلا أنه اكتُشف لاحقًا أنه يؤدي مباشرةً إلى مفارقة راسل ، وذلك باعتبار φ ( x ) هي ¬( x  ∈ x )  (أي أن المجموعة x ليست عنصرًا في نفسها). لذا، لا يمكن لأي نظام بديهيات مفيد لنظرية المجموعات أن يستخدم الفهم غير المقيد. ولا يُجدي الانتقال من المنطق الكلاسيكي إلى المنطق الحدسي نفعًا، لأن برهان مفارقة راسل صحيح حدسيًا.

يمكن اعتبار مخطط بديهية التحديد نسخةً "مُقيدة" من مخطط البديهية هذا، حيث لا يمكن أن تكون φ صحيحة إلا لعناصر مجموعة أخرى A ، مما يمنع إنشاء مجموعات "كبيرة جدًا" مثل المجموعة الشاملة. كان قبول مخطط بديهية التحديد فقط بدايةً لنظرية المجموعات البديهية. ثم أصبحت معظم بديهيات زيرميلو-فرانكل الأخرى (باستثناء بديهية الامتداد ، وبديهية الانتظام ، وبديهية الاختيار ) ضروريةً لتعويض بعض ما فُقد بتغيير مخطط بديهية الفهم إلى مخطط بديهية التحديد - تنص كل بديهية من هذه البديهيات على وجود مجموعة معينة، وتُعرّف تلك المجموعة بإعطاء محمول يجب أن تُحققه عناصرها، أي أنها حالة خاصة من مخطط بديهية الفهم.

من الممكن أيضًا منع تناقض المخطط بتقييد الصيغ التي يمكن تطبيقه عليها، مثل اقتصاره على الصيغ الطبقية في نظرية الأسس الجديدة (انظر أدناه)، أو اقتصاره على الصيغ الموجبة (الصيغ التي تتضمن فقط الاقتران، والفصل، والتكميم، والصيغ الذرية) في نظرية المجموعات الموجبة . مع ذلك، عادةً ما تعجز الصيغ الموجبة عن التعبير عن بعض الأمور التي تستطيع معظم النظريات التعبير عنها؛ فعلى سبيل المثال، لا يوجد مفهوم المكمل أو المكمل النسبي في نظرية المجموعات الموجبة.

في نظرية فون نيومان-بيرنايز-غودل للمجموعات ، يُفرَّق بين المجموعات والفئات . تُعتبر الفئة C مجموعةً إذا وفقط إذا كانت تنتمي إلى فئة E. في هذه النظرية، يوجد مخطط نظري ينص على ما يلي: $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

إنه،

بشرط أن تكون المحددات الكمية في المسند P مقيدة بالمجموعات.

يُعدّ مخطط هذه النظرية بحد ذاته شكلاً مقيداً من أشكال الفهم، يتجنب مفارقة راسل بسبب اشتراط أن تكون C مجموعة. عندئذٍ، يمكن كتابة مواصفات المجموعات نفسها كمسلّمة واحدة. $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

إنه،

أو ببساطة أكثر من ذلك

في هذه البديهية، يُستبدل المسند P بالفئة D ، التي يمكن تحديدها كميًا. وهناك بديهية أخرى أبسط تحقق نفس التأثير وهي $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

إنه،

في لغة مُنمّطة حيث يُمكننا تحديد الكميات على المسندات، يصبح مخطط التحديد البديهي بديهية بسيطة. هذه الحيلة تُشبه إلى حد كبير تلك المُستخدمة في بديهيات NBG في القسم السابق، حيث تم استبدال المسند بفئة ثم تحديد الكميات عليها.

في منطق الرتبة الثانية ومنطق الرتبة العليا مع دلالات الرتبة العليا، فإن بديهية التحديد هي صحة منطقية ولا تحتاج إلى تضمينها بشكل صريح في النظرية.

في منهج الأسس الجديدة لنظرية المجموعات، الذي ابتكره دبليو في أو كواين ، تأخذ بديهية الفهم لمسند معين شكلاً غير مقيد، لكن المسندات التي يمكن استخدامها في المخطط تكون مقيدة. المسند ( C ليس في C ) ممنوع، لأن الرمز نفسه C يظهر على جانبي رمز الانتماء (وبالتالي في "أنواع نسبية" مختلفة)؛ وبالتالي، يتم تجنب مفارقة راسل. مع ذلك، باعتبار P ( C ) هو ( C = C ) ، وهو أمر مسموح به، يمكننا تكوين مجموعة جميع المجموعات. لمزيد من التفاصيل، انظر التصنيف الطبقي . ^{[ 16 ]}