قطع مكافئ نصف مكعب

أي قطع مكافئ نصف مكعب${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$يشبه القطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle (u^{2},u^{3})}$.

الدليل: التشابه${\displaystyle (x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)}$(التحجيم المنتظم) يرسم القطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$على المنحنى${\displaystyle ((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})}$مع${\displaystyle u=at}$.

التمثيل البارامتري${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$منتظم باستثناء النقطة​${\displaystyle (0,0)}$عند نقطة${\displaystyle (0,0)}$للمنحنى نقطة تفرد (قمة). ويستنتج البرهان من متجه المماس.${\displaystyle (2t,3t^{2})}$فقط لـ${\displaystyle t=0}$هذا المتجه طوله صفر.

تفاضل القطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle y=\pm x^{3/2}}$يصل المرء إلى نقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$معادلة المماس للفرع العلوي :

${\displaystyle y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).}$

يتقاطع هذا المماس مع الفرع السفلي عند نقطة أخرى بالضبط ذات إحداثيات ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).}$

(لإثبات هذه العبارة، ينبغي استخدام حقيقة أن المماس يتقاطع مع المنحنى عند${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$مرتين.)

تحديد طول قوس منحنى${\displaystyle (x(t),y(t))}$يجب حل التكامل${\textstyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt.}$للقطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle (t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b,}$يحصل المرء

$\displaystyle \int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.}$

(يمكن حل التكامل عن طريق التعويض)${\displaystyle u=4+9a^{2}t^{2}}$.)

مثال: بالنسبة لـ a = 1 (قطع مكافئ نصف مكعب) و b = 2، مما يعني طول القوس بين نقطة الأصل والنقطة (4،8)، نحصل على طول القوس 9.073.

المنحنى التطوري للقطع المكافئ${\displaystyle (t^{2},t)}$هو قطع مكافئ نصف مكعب تم إزاحته بمقدار 1/2 على طول المحور السيني :${\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}$

للحصول على تمثيل القطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$في الإحداثيات القطبية، يتم تحديد نقطة تقاطع الخط${\displaystyle y=mx}$مع المنحنى. لـ${\displaystyle m\neq 0}$هناك نقطة واحدة تختلف عن نقطة الأصل:${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right).}$هذه النقطة لها مسافة${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$من الأصل. مع${\displaystyle m=\tan \varphi }$و${\displaystyle \sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi }$(انظر قائمة الهويات ) يحصل المرء على ^{[ 4 ]}

${\displaystyle r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

رسم خريطة القطع المكافئ شبه المكعب${\displaystyle (t^{2},t^{3})}$بواسطة الخريطة الإسقاطية${\textstyle (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{y}},{\frac {1}{y}}\right)}$( المنظور الانطوائي مع المحور)${\displaystyle y=1}$والمركز${\displaystyle (0,-1)}$) ينتج${\textstyle \left({\frac {1}{t}},{\frac {1}{t^{3}}}\right),}$وبالتالي الدالة التكعيبية${\displaystyle y=x^{3}.}$يتم تبديل نقطة التقاء (أصل) القطع المكافئ شبه المكعب مع النقطة الموجودة عند اللانهاية على المحور y.

يمكن استنتاج هذه الخاصية أيضًا إذا مثلنا القطع المكافئ شبه المكعب بإحداثيات متجانسة : في المعادلة (أ) الاستبدال${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{3}}},\;y={\tfrac {x_{2}}{x_{3}}}}$(معادلة الخط عند اللانهاية${\displaystyle x_{3}=0}$.) والضرب في${\displaystyle x_{3}^{3}}$يتم إجراء العملية. نحصل على معادلة المنحنى

• في إحداثيات متجانسة :${\displaystyle x_{3}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}=0.}$

اختيار الخط${\displaystyle x_{\color {red}2}=0}$كخط عند اللانهاية وتقديم${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{2}}},\;y={\tfrac {x_{3}}{x_{2}}}}$ينتج عنه المنحنى (الخطي)${\displaystyle y=x^{3}.}$

من الخصائص المميزة الأخرى للقطع المكافئ شبه المكعب أنه منحنى متساوي الزمن ، أي أن الجسيم الذي يسير على مساره تحت تأثير الجاذبية يقطع مسافات رأسية متساوية في فترات زمنية متساوية. وبهذا يرتبط بمنحنى التزامن الزمني ، حيث تستغرق الجسيمات عند نقاط بداية مختلفة نفس الوقت للوصول إلى القاع، ومنحنى التسارع الزمني ، وهو المنحنى الذي يقلل الزمن اللازم لسقوط الجسيم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.