التفرد (رياضيات)

في الرياضيات ، التفرد هو نقطة لا يتم عندها تعريف كائن رياضي معين، أو نقطة يتوقف عندها الكائن الرياضي عن التصرف بشكل جيد بطريقة معينة، مثل الافتقار إلى القدرة على التفاضل أو التحليل . ^{[1] [2] [3]}

على سبيل المثال، تحتوي الدالة المعكوسة على مفردة عند ، حيث لا يتم تعريف قيمة الدالة ، لأنها تنطوي على قسمة على الصفر . تحتوي دالة القيمة المطلقة أيضًا على مفردة عند ، لأنها غير قابلة للاشتقاق هناك. ^[4]${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle g(x)=|x|}$${\displaystyle x=0}$

المنحنى الجبري المحدد بواسطة في نظام الإحداثيات له تفرد (يسمى قمة ) عند . للتفردات في الهندسة الجبرية ، انظر النقطة المفردة لمجموعة جبرية . للتفردات في الهندسة التفاضلية ، انظر نظرية التفرد . ${\displaystyle \left\{(x,y):y^{3}-x^{2}=0\right\}}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (0,0)}$

في التحليل الحقيقي ، تكون التفردات إما انقطاعات أو انقطاعات للمشتقة ( وأحيانًا انقطاعات لمشتقات من مرتبة أعلى). هناك أربعة أنواع من الانقطاعات: النوع الأول ، الذي يحتوي على نوعين فرعيين، والنوع الثاني ، والذي يمكن تقسيمه أيضًا إلى نوعين فرعيين (رغم أنه ليس كذلك عادةً).

لوصف الطريقة التي يتم بها استخدام هذين النوعين من الحدود، افترض أن هي دالة لحجة حقيقية ، ولأي قيمة لحجتها، على سبيل المثال ، فإن الحد الأيسر ، والحد الأيمن ،، يتم تعريفهما بواسطة: ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$

${\displaystyle f(c^{-})=\lim _{x\to c}f(x)}$، مقيدة بـ و${\displaystyle x<c}$

${\displaystyle f(c^{+})=\lim _{x\to c}f(x)}$، مقيد بـ .${\displaystyle x>c}$

القيمة هي القيمة التي تتجه إليها الدالة عندما تقترب القيمة من الأسفل ، والقيمة هي القيمة التي تتجه إليها الدالة عندما تقترب القيمة من الأعلى ، بغض النظر عن القيمة الفعلية التي تمتلكها الدالة عند النقطة التي  . ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x=c}$

هناك بعض الوظائف التي لا توجد لها هذه الحدود على الإطلاق. على سبيل المثال، الوظيفة

${\displaystyle g(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

لا يميل نحو أي شيء كنهج . الحدود في هذه الحالة ليست لانهائية، بل غير محددة : لا توجد قيمة تستقر عليها. واستعارة من التحليل المركب، يُطلق على هذا أحيانًا اسم التفرد الأساسي . ${\displaystyle x}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle g(x)}$

الحالات المحتملة عند قيمة معينة للحجة هي كما يلي. ${\displaystyle c}$

• نقطة الاستمرارية هي قيمة حيث ، كما هو متوقع لدالة سلسة. يجب أن تكون جميع القيم محدودة. إذا لم تكن نقطة استمرارية، فإن عدم الاستمرارية يحدث عند .${\displaystyle c}$${\displaystyle f(c^{-})=f(c)=f(c^{+})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$
• يحدث انقطاع النوع الأول عندما يوجد كل من و ويكونان محدودين، ولكن ينطبق أيضًا على الأقل أحد الشروط الثلاثة التالية: ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • ${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$؛
  • ${\displaystyle f(x)}$لم يتم تعريفه لحالة ؛ أو${\displaystyle x=c}$
  • ${\displaystyle f(c)}$لها قيمة محددة، ولكنها لا تتطابق مع قيمة الحدين.

  يمكن تمييز انقطاعات النوع الأول على أنها أحد الأنواع الفرعية التالية:

  • يحدث انقطاع القفزة عندما ، بغض النظر عما إذا كان محددًا أم لا، وبغض النظر عن قيمته إذا كان محددًا.${\displaystyle f(c^{-})\neq f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$
  • يحدث انقطاع غير قابل للإزالة عندما ، بغض النظر عما إذا كان محددًا أم لا، وبغض النظر عن قيمته إذا كان محددًا (ولكن لا يتطابق مع قيمة الحدين).${\displaystyle f(c^{-})=f(c^{+})}$${\displaystyle f(c)}$
• يحدث انقطاع النوع الثاني عندما لا يوجد أي منهما أو لا يوجد (ربما كلاهما). يحتوي هذا على نوعين فرعيين، لا يتم النظر إليهما بشكل منفصل عادةً: ${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$
  • عدم الاستمرارية اللانهائي هو الحالة الخاصة عندما لا يوجد حد اليد اليسرى أو اليمنى، على وجه التحديد لأنه لانهائي، والحد الآخر إما لانهائي أيضًا، أو هو عدد محدود محدد جيدًا. بعبارة أخرى، يكون للدالة عدم استمرارية لانهائي عندما يكون رسمها البياني مقاربًا رأسيًا .
  • التفرد الأساسي هو مصطلح مستعار من التحليل المركب (انظر أدناه). هذه هي الحالة عندما يكون أحد الحدين أو الآخر غير موجود، ولكن ليس لأنه انقطاع لا نهائي . التفرد الأساسي لا يقترب من أي حد، حتى لو تم توسيع الإجابات الصحيحة لتشمل .${\displaystyle f(c^{-})}$${\displaystyle f(c^{+})}$${\displaystyle \pm \infty }$

في التحليل الحقيقي، تعتبر التفرد أو عدم الاستمرارية خاصية للدالة وحدها. وتعتبر أي تفردات قد توجد في مشتقة الدالة تابعة للمشتقة، وليس للدالة الأصلية.

تحدث تفردات الإحداثيات عندما تحدث تفردات أو انقطاعات ظاهرة في إطار إحداثيات واحد، ويمكن إزالتها باختيار إطار مختلف. ومن الأمثلة على ذلك التفردات الظاهرة عند خط عرض 90 درجة في الإحداثيات الكروية . فالجسم الذي يتحرك باتجاه الشمال (على سبيل المثال، على طول خط طول 0 درجة) على سطح كرة سوف يتعرض فجأة لتغير فوري في خط الطول عند القطب (في حالة المثال، القفز من خط الطول 0 إلى خط الطول 180 درجة). ومع ذلك، فإن هذا الانقطاع ظاهري فقط؛ فهو من صنع نظام الإحداثيات المختار، والذي يكون متفردًا عند القطبين. ومن شأن نظام إحداثيات مختلف أن يلغي الانقطاعات الظاهرة (على سبيل المثال، عن طريق استبدال تمثيل خط العرض/خط الطول بتمثيل متجه n ).

في التحليل المركب ، هناك عدة فئات من التفردات. وتشمل هذه التفردات المعزولة، والتفردات غير المعزولة، ونقاط التفرع.

افترض أن دالة معقدة قابلة للاشتقاق في مكمل نقطة في مجموعة مفتوحة من الأعداد المركبة ، إذن: ${\displaystyle f}$${\displaystyle أ}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• النقطة هي مفردة قابلة للإزالة إذا كانت هناك دالة هولومورفية محددة على كل من مثل أن لكل في الدالة هي استبدال مستمر للدالة ^[3]${\displaystyle أ}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(z)=g(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}.}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f.}$
• النقطة هي قطب أو مفردة غير أساسية إذا كان هناك دالة هولومورفية معرفة على مع غير صفر، وعدد طبيعي بحيث لجميع في يسمى هذا العدد على الأقل رتبة القطب . المشتقة في مفردة غير أساسية نفسها لها مفردة غير أساسية، مع زيادة بمقدار 1 (باستثناء إذا كانت 0 بحيث تكون المفردة قابلة للإزالة).${\displaystyle أ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle U}$${\displaystyle g(a)}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{(za)^{n}}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle U\smallsetminus \{a\}.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$
• النقطة هي مفردة جوهرية إذا لم تكن مفردة قابلة للإزالة ولا قطبًا. النقطة هي مفردة جوهرية إذا وفقط إذا كانت سلسلة لوران تحتوي على عدد لا نهائي من قوى الدرجة السالبة. ^[1]${\displaystyle أ}$${\displaystyle f}$${\displaystyle أ}$

بخلاف التفردات المعزولة، قد تظهر الدوال المعقدة لمتغير واحد سلوكًا مفردًا آخر. وتسمى هذه التفردات بالتفردات غير المعزولة، والتي يوجد منها نوعان:

• نقاط التجمع : نقاط حدية للمفردات المعزولة. إذا كانت جميعها أقطابًا، على الرغم من السماح بتوسعات سلسلة لوران على كل منها، فلن يكون من الممكن حدوث مثل هذا التوسع عند حدها.
• الحدود الطبيعية : أي مجموعة غير معزولة (مثل المنحنى) لا يمكن الاستمرار في تحليل الوظائف حولها (أو خارجها إذا كانت منحنيات مغلقة في مجال ريمان ).

نقاط التفرع هي عمومًا نتيجة لدالة متعددة القيم ، مثل أو والتي يتم تعريفها ضمن نطاق محدود معين بحيث يمكن جعل الدالة ذات قيمة واحدة ضمن النطاق. القطع هو خط أو منحنى مستبعد من النطاق لتقديم فصل فني بين القيم غير المتصلة للدالة. عندما يكون القطع مطلوبًا حقًا، سيكون للدالة قيم مختلفة تمامًا على كل جانب من قطع الفرع. شكل قطع الفرع هو مسألة اختيار، على الرغم من أنه يجب أن يربط بين نقطتي فرع مختلفتين (مثل و لـ ) مثبتتين في مكانهما. ${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\displaystyle \log(z),}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=\infty }$${\displaystyle \log(z)}$

تحدث تفردات الزمن المحدود عندما يكون أحد متغيرات الإدخال هو الزمن، ويزداد متغير الإخراج نحو اللانهاية في وقت محدود. هذه مهمة في علم الحركة والمعادلات التفاضلية الجزئية - لا تحدث اللانهاية جسديًا، ولكن السلوك بالقرب من التفرد غالبًا ما يكون موضع اهتمام. رياضيًا، أبسط تفردات الزمن المحدود هي قوانين قوة لأسس مختلفة من الشكل الذي يكون أبسطها هو النمو الزائدي ، حيث يكون الأس (سلبيًا) 1: بتعبير أدق، من أجل الحصول على تفرد في وقت موجب مع تقدم الوقت (لذلك ينمو الإخراج إلى ما لا نهاية)، يستخدم المرء بدلاً من ذلك (باستخدام t للوقت، وعكس الاتجاه إلى بحيث يزداد الوقت إلى ما لا نهاية، وتحويل التفرد للأمام من 0 إلى وقت ثابت ). ${\displaystyle x^{-\alpha },}$${\displaystyle x^{-1}}$${\displaystyle (t_{0}-t)^{-\alpha }}$${\displaystyle -t}$${\displaystyle t_{0}}$

ومن الأمثلة على ذلك الحركة الارتدادية للكرة غير المرنة على سطح مستو. وإذا ما وضعنا في الحسبان الحركة المثالية، حيث يفقد نفس الجزء من الطاقة الحركية في كل ارتداد، فإن تردد الارتدادات يصبح لانهائياً، حيث تتوقف الكرة في زمن محدود. ومن الأمثلة الأخرى على التفردات ذات الزمن المحدود الأشكال المختلفة لمفارقة بينليف (على سبيل المثال، ميل الطباشير إلى القفز عند سحبها عبر السبورة)، وكيف يتسارع معدل تقدم العملة المعدنية التي تدور على سطح مستو نحو اللانهائي ـ قبل أن تتوقف فجأة (كما درسنا باستخدام لعبة قرص أويلر ).

وتشمل الأمثلة الافتراضية " معادلة يوم القيامة " الساخرة التي وضعها هاينز فون فورستر (حيث تنتج النماذج التبسيطية عددا لا نهائيا من السكان البشريين في وقت محدود).

في الهندسة الجبرية ، تفرد التعدد الجبري هو نقطة التعدد حيث قد لا يكون الفضاء المماس محددًا بانتظام. أبسط مثال على التفردات هي المنحنيات التي تتقاطع مع بعضها البعض. ولكن هناك أنواع أخرى من التفردات، مثل القمم . على سبيل المثال، تحدد المعادلة y ² − x ³ = 0 منحنى له قمة عند الأصل x = y = 0. يمكن للمرء تعريف المحور x على أنه مماس عند هذه النقطة، ولكن هذا التعريف لا يمكن أن يكون هو نفسه التعريف عند نقاط أخرى. في الواقع، في هذه الحالة، يكون المحور x "مماسًا مزدوجًا".

بالنسبة للأصناف الأفينية والإسقاطية ، فإن التفردات هي النقاط التي تكون فيها مصفوفة جاكوبي ذات رتبة أقل من النقاط الأخرى للصنف.

يمكن تقديم تعريف مكافئ من حيث الجبر التبادلي ، والذي يمتد إلى الأصناف والمخططات المجردة : تكون النقطة مفردة إذا لم تكن الحلقة المحلية في هذه النقطة حلقة محلية منتظمة .

• نظرية الكارثة
• محدد وغير محدد
• الانحطاط (الرياضيات)
• النمو الزائدي
• مفردة متحركة
• مرضي (رياضيات)
• مفردة منتظمة
• الحل المفرد