سيكلويد

في الهندسة ، يُعرف المنحنى الدائري بأنه المنحنى الذي يرسمه نقطة على دائرة أثناء تدحرجها على خط مستقيم دون انزلاق. وهو شكل محدد من المنحنى الحلقي ، ومثال على منحنى الروليت ، وهو منحنى يتولد من تدحرج منحنى على منحنى آخر.

المنحنى الدائري، ذو الرؤوس المدببة المتجهة للأعلى، هو منحنى أسرع هبوط تحت تأثير جاذبية منتظمة ( منحنى براكيستوكرون ). وهو أيضاً شكل منحنى لا يعتمد فيه زمن دورة جسم يتحرك حركة توافقية بسيطة (يتدحرج صعوداً وهبوطاً بشكل متكرر) على موضع انطلاقه ( منحنى توتوكرون ). في الفيزياء، عندما يُعرَّض جسيم مشحون ساكن لحقل كهربائي ومغناطيسي منتظمين متعامدين، فإن مسار الجسيم يرسم منحنى دائرياً.

يُطلق على المنحنى الدائري اسم "هيلين علماء الهندسة" لأنه، مثل هيلين طروادة ، تسبب في خلافات متكررة بين علماء الرياضيات في القرن السابع عشر، بينما ترى سارة هارت أن تسميته بهذا الاسم تعود إلى "جمال خصائص هذا المنحنى". ^{[ 1 ] [ 2 ]}

اقترح مؤرخو الرياضيات عدة مرشحين لاكتشاف المنحنى الدائري. تكهن المؤرخ الرياضي بول تانيري بأن هذا المنحنى البسيط كان معروفًا لدى القدماء ، مستشهدًا بعمل مشابه لكاربوس الأنطاكي وصفه يامبليخوس . ^{[ 3 ]} نسب عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس، في كتاباته عام 1679، الاكتشاف إلى نيكولاس الكوزاني ، ^{[ 4 ]} لكن تشير الدراسات اللاحقة إلى أن واليس إما كان مخطئًا أو أن الأدلة التي استخدمها قد فُقدت. ^{[ 5 ]} طُرح اسم غاليليو غاليلي في نهاية القرن التاسع عشر، ^{[ 6 ]} ويذكر مؤلف واحد على الأقل أن الفضل يُنسب إلى مارين ميرسين . ^{[ 7 ]} بدءًا من أعمال موريتز كانتور ^{[ 8 ]} وسيغموند غونتر ، ^{[ 9 ]} يُعطي الباحثون الآن الأولوية لعالم الرياضيات الفرنسي شارل دي بوفيل ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} استنادًا إلى وصفه للدائرة في كتابه " مقدمة في الهندسة" ، الذي نُشر عام 1503. ^{[ 13 ]} في هذا العمل، أخطأ بوفيل في اعتبار القوس الذي ترسمه عجلة دوارة جزءًا من دائرة أكبر نصف قطرها أكبر بنسبة 125% من نصف قطر العجلة الأصغر. ^{[ 5 ]}

ابتكر غاليليو مصطلح "المنحنى الدائري" وكان أول من أجرى دراسة جادة لهذا المنحنى. ^{[ 5 ]} ووفقًا لتلميذه إيفانجيليستا توريتشيلي ، ^{[ 14 ]} في عام 1599، حاول غاليليو إيجاد مساحة المنحنى الدائري (تحديد المساحة تحته) باستخدام منهج تجريبي غير مألوف تضمن رسم كل من الدائرة المولدة والمنحنى الدائري الناتج على صفيحة معدنية، ثم قصهما ووزنهما. اكتشف أن النسبة تقريبًا 3:1، وهي القيمة الحقيقية، لكنه استنتج خطأً أن النسبة كسر غير نسبي، مما كان سيجعل إيجاد المساحة مستحيلاً. ^{[ 7 ]} في حوالي عام 1628، من المرجح أن جيل بيرسون دي روبرفال قد علم بمسألة المساحة من الأب مارين ميرسين، ونجح في إيجاد المساحة في عام 1634 باستخدام نظرية كافالييري . ^{[ 5 ]} ومع ذلك، لم يُنشر هذا العمل حتى عام 1693 (في كتابه Traité des Indivisibles ). ^{[ 15 ]}

يعود تاريخ بناء مماس المنحنى الدائري إلى أغسطس 1638، عندما تلقى ميرسين أساليب فريدة من روبرفال، وبيير دي فيرما ، ورينيه ديكارت . نقل ميرسين هذه النتائج إلى غاليليو، الذي بدوره نقلها إلى تلميذيه توريتشيلي وفيفياني، اللذين تمكنا من إنتاج تكامل عددي. نُشرت هذه النتيجة وغيرها بواسطة توريتشيلي عام 1644، ^{[ 14 ]} وهو أول عمل مطبوع عن المنحنى الدائري. أدى ذلك إلى اتهام روبرفال لتوريتشيلي بالسرقة الأدبية، وانتهى الجدل بوفاة توريتشيلي المبكرة عام 1647. ^{[ 15 ]}

في عام ١٦٥٨، تخلى بليز باسكال عن الرياضيات واتجه إلى اللاهوت، لكنه، بينما كان يعاني من ألم في أسنانه، بدأ بالتفكير في عدة مسائل تتعلق بالمنحنى الدائري. اختفى ألم أسنانه، فاعتبر ذلك إشارة سماوية لمواصلة بحثه. بعد ثمانية أيام، أنجز مقالته، ولنشر النتائج، اقترح مسابقة. طرح باسكال ثلاثة أسئلة تتعلق بمركز ثقل المنحنى الدائري ومساحته وحجمه، على أن يحصل الفائز أو الفائزون على جوائز قدرها ٢٠ و٤٠ دوبلونًا إسبانيًا . كان باسكال وروبرفال والسيناتور كاركافي هم الحكام، ولم يُعتبر أي من الحلّين المقدمين (من جون واليس وأنطوان دي لالوفر ) ​​كافيًا. ^{[ ١٦ ] : ١٩٨} أثناء المسابقة، أرسل كريستوفر رين إلى باسكال اقتراحًا لإثبات تصحيح المنحنى الدائري؛ وادعى روبرفال على الفور أنه كان على علم بالإثبات منذ سنوات. نشر واليس برهان رين (مع الإشارة إلى رين) في كتاب واليس Tractatus Duo ، مما منح رين الأولوية لأول برهان منشور. ^{[ 15 ]}

بعد خمسة عشر عامًا، استخدم كريستيان هويغنز البندول الدائري لتحسين الساعات، واكتشف أن الجسيم يقطع جزءًا من قوس دائري مقلوب في نفس المدة الزمنية، بغض النظر عن نقطة انطلاقه. في عام 1686، استخدم غوتفريد فيلهلم لايبنتز الهندسة التحليلية لوصف المنحنى بمعادلة واحدة. وفي عام 1696، طرح يوهان برنولي مسألة منحنى السرعة القصيرة ، وحلها هو منحنى دائري. ^{[ 15 ]}

يتكون المنحنى الدائري المار بنقطة الأصل، والناتج عن دائرة نصف قطرها r تدور حول المحور x على الجانب الموجب ( y ≥ 0 )، من النقاط ( x , y ) ، مع $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$ حيث t هو مُعامل حقيقي يُقابل الزاوية التي دارت بها الدائرة المتدحرجة. بالنسبة لقيمة مُعطاة لـ t ، يقع مركز الدائرة عند ( x , y ) = ( rt , r ) . ^{[ 17 ]}

يتم الحصول على المعادلة الديكارتية عن طريق حل معادلة y لإيجاد قيمة t والتعويض بها في معادلة x :$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$أو، بحذف دالة جيب التمام العكسية متعددة القيم:

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

عندما يُنظر إلى y كدالة لـ x ، يكون المنحنى الدائري قابلاً للتفاضل في كل مكان باستثناء نقاط الانعطاف على المحور x ، حيث تميل المشتقة نحو${\displaystyle \infty }$أو${\displaystyle -\infty }$بالقرب من نقطة انعطاف (حيث y=0 ). إن التطبيق من t إلى ( x , y ) قابل للتفاضل، في الواقع من الفئة C∞ ^، مع مشتقة تساوي 0 عند نقاط الانعطاف.

ميل المماس للمنحنى الدائري عند النقطة${\displaystyle (x,y)}$يُعطى بواسطة${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$.

يُطلق على الجزء الدائري الممتد من قمة إلى أخرى اسم قوس دائري، على سبيل المثال النقاط ذات${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$و${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$.

باعتبار المنحنى الدائري بمثابة رسم بياني لدالة${\displaystyle y=f(x)}$، فهي تحقق المعادلة التفاضلية : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

إذا عرّفنا${\displaystyle h=2r-y=r(1+\cos t)}$باعتباره فرق الارتفاع من رأس المنحنى الدائري (النقطة ذات المماس الأفقي و${\displaystyle \cos t=-1}$ثم لدينا:

${\displaystyle \left({\frac {dx}{dh}}\right)^{2}={\frac {2r}{h}}-1.}$

يكون شكل المنحنى الحلزوني للسيكلويد مطابقًا تمامًا لشكل السيكلويد الذي نشأ منه. ويمكن تصور ذلك على أنه المسار الذي يرسمه طرف سلك موضوع في البداية على نصف قوس السيكلويد: فبينما ينفرد السلك مع بقائه مماسًا للسيكلويد الأصلي، فإنه يرسم سيكلويدًا جديدًا (انظر أيضًا البندول السيكلويدي وطول القوس ).

توضيح

تستخدم هذه التجربة تعريف المنحنى الدائري باستخدام العجلة الدوارة، بالإضافة إلى متجه السرعة اللحظية لنقطة متحركة، مماسًا لمسارها. في الصورة المجاورة،${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$نقطتان تنتميان إلى دائرتين متحركتين، حيث تقع قاعدة الأولى فوق قمة الثانية مباشرةً. في البداية، ${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$تتطابق الدائرتان عند نقطة تقاطعهما. وعندما تتدحرج الدائرتان أفقياً بنفس السرعة،${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$اقطع منحنيين دائريين. مع الأخذ في الاعتبار الخط الأحمر الذي يربط بينهما${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$في وقت معين، يثبت المرء أن الخط يكون دائمًا مماسًا للقوس السفلي عند${\displaystyle P_{2}}$وعمودي على القوس العلوي عند${\displaystyle P_{1}}$. يترك${\displaystyle Q}$لتكن النقطة المشتركة بين الدائرتين العلوية والسفلية في الوقت المحدد. إذن:

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$هي متوازية: في الواقع، سرعة التدحرج المتساوية تعطي زوايا متساوية${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$وبالتالي${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$النقطة${\displaystyle Q}$يقع على الخط${\displaystyle O_{1}O_{2}}$لذلك${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$وبالمثل${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$انطلاقاً من مساواة${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$و${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$يمتلك المرء ذلك أيضًا ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ويتبع ذلك${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$.
• لو${\displaystyle A}$هي نقطة التقاء العمودي من${\displaystyle P_{1}}$إلى قطعة الخط${\displaystyle O_{1}O_{2}}$والمماس للدائرة عند${\displaystyle P_{2}}$ثم المثلث${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$وهو متساوي الساقين، كما يتضح بسهولة من طريقة بنائه:${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$و${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$بالنسبة للمساواة المذكورة سابقاً بين${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$و${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ثم${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$و${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$هو متساوي الساقين.
• الرسم من${\displaystyle P_{2}}$القطعة المتعامدة إلى${\displaystyle O_{1}O_{2}}$، من${\displaystyle P_{1}}$الخط المستقيم المماس للدائرة العلوية، ويسمى${\displaystyle B}$عند نقطة الالتقاء، يرى المرء أن${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$هو معين باستخدام نظريات الزوايا بين الخطوط المتوازية
• والآن لننظر إلى السرعة${\displaystyle V_{2}}$ل${\displaystyle P_{2}}$يمكن اعتبارها مجموع عنصرين، وهما سرعة التدحرج.${\displaystyle V_{a}}$وسرعة الانجراف${\displaystyle V_{d}}$، والتي تتساوى في المعامل لأن الدوائر تتدحرج دون انزلاق.${\displaystyle V_{d}}$موازٍ لـ${\displaystyle P_{1}A}$، بينما${\displaystyle V_{a}}$يكون مماساً للدائرة السفلية عند${\displaystyle P_{2}}$وبالتالي فهو موازٍ لـ${\displaystyle P_{2}A}$المعين المكون من المكونات${\displaystyle V_{d}}$و${\displaystyle V_{a}}$وبالتالي فهو مشابه (نفس الزوايا) للمعين${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$لأن لهما أضلاعاً متوازية. إذن${\displaystyle V_{2}}$، السرعة الكلية لـ${\displaystyle P_{2}}$، موازية لـ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$لأن كليهما قطران لمعينين متوازيين الأضلاع، ويشتركان في${\displaystyle P_{1}P_{2}}$نقطة الاتصال${\displaystyle P_{2}}$وبالتالي، فإن متجه السرعة${\displaystyle V_{2}}$يكمن الأمر في إطالة أمد${\displaystyle P_{1}P_{2}}$. لأن${\displaystyle V_{2}}$يكون مماساً للمنحنى الدائري عند${\displaystyle P_{2}}$ويترتب على ذلك أيضاً${\displaystyle P_{1}P_{2}}$يتطابق مع المماس للمنحنى الدائري السفلي عند${\displaystyle P_{2}}$.
• وبالمثل، يمكن إثبات ذلك بسهولة.${\displaystyle P_{1}P_{2}}$متعامد مع${\displaystyle V_{1}}$(القطر الآخر للمعين).
• يثبت هذا أن طرف السلك كان ممتدًا في البداية على نصف قوس من المنحنى الدائري السفلي ومثبتًا في الدائرة العلوية عند${\displaystyle P_{1}}$سيتبع السلك النقطة على طول مساره دون تغيير طوله، لأن سرعة طرفه تكون في كل لحظة عمودية على السلك (لا يوجد تمدد أو انضغاط). وسيكون السلك في الوقت نفسه مماسًا عند النقطة.${\displaystyle P_{2}}$إلى القوس السفلي بسبب التوتر والحقائق الموضحة أعلاه. (لو لم يكن مماسًا، لكانت هناك انقطاعية عند${\displaystyle P_{2}}$وبالتالي قوى توتر غير متوازنة.

إذا عُلِّق بندول بسيط من رأس منحنى دائري مقلوب، بحيث يكون الخيط مماسًا لأحد أقواسه، وكان طول البندول (L) مساويًا لنصف طول قوس المنحنى الدائري (أي ضعف قطر الدائرة المولدة، L = 4r )، فإن ثقل البندول يرسم مسارًا دائريًا أيضًا. هذا البندول متزامن ، أي أن تأرجحه متساوٍ بغض النظر عن سعته. وبإدخال نظام إحداثيات مركزه موضع الرأس، تُعطى معادلة الحركة كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية التي يصنعها الجزء المستقيم من الخيط مع المحور الرأسي، وتُعطى بواسطة $${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$ حيث A < 1 هي "السعة"،${\displaystyle \omega }$يمثل التردد الزاوي للبندول و g تسارع الجاذبية الأرضية.

اكتشف عالم الرياضيات الهولندي كريستيان هويغنز في القرن السابع عشر هذه الخصائص للدائرة وأثبتها أثناء بحثه عن تصميمات أكثر دقة لساعات البندول لاستخدامها في الملاحة . ^{[ 20 ]}

ترتبط عدة منحنيات بالمنحنى الدائري.

• Trochoid : تعميم للدائرة الدائرية حيث يمكن أن تكون النقطة التي ترسم المنحنى داخل الدائرة المتدحرجة (curtate) أو خارجها (prolate).
• المنحنى تحت الدائري : شكل مختلف من المنحنى الدائري حيث تتدحرج دائرة داخل دائرة أخرى بدلاً من خط.
• الإبيسكلويد : نوع من أنواع السيكلويد حيث تتدحرج دائرة على الجانب الخارجي لدائرة أخرى بدلاً من خط مستقيم.
• Hypotrochoid : تعميم للمنحنى الهايبوسيكلويد حيث قد لا تكون نقطة التوليد على حافة الدائرة المتدحرجة.
• Epitrochoid : تعميم لـ epicycloid حيث قد لا تكون نقطة التوليد على حافة الدائرة المتدحرجة.

جميع هذه المنحنيات عبارة عن عجلات دائرية تدور حول منحنى آخر ذي انحناء منتظم . تتميز المنحنيات الدائرية، والمنحنيات فوق الدائرية، والمنحنيات تحت الدائرية بخاصية تشابه كل منها مع منحنى تطورها . إذا كان q هو حاصل ضرب هذا الانحناء في نصف قطر الدائرة، موجبًا للمنحنيات فوق الدائرية وسالبًا للمنحنيات تحت الدائرية، فإن نسبة التشابه بين المنحنى ومنحنى التطور هي 1  +  2q .

تقوم لعبة سبيروغراف الكلاسيكية برسم منحنيات الهيبوتروكويد والإبيتروكويد .

استخدم المهندس المعماري لويس كان القوس الدائري في تصميمه لمتحف كيمبل للفنون في فورت وورث، تكساس . كما استخدمه والاس ك. هاريسون في تصميم مركز هوبكنز في كلية دارتموث في هانوفر، نيو هامبشاير . ^{[ 21 ]}

أشارت الأبحاث المبكرة إلى أن بعض المنحنيات المقوسة العرضية لصفائح الكمان في العصر الذهبي تُحاكى بدقة بواسطة منحنيات دائرية قصيرة. ^{[ 22 ]} وتشير الدراسات اللاحقة إلى أن المنحنيات الدائرية القصيرة لا تُعد نماذج عامة لهذه المنحنيات، ^{[ 23 ]} التي تختلف اختلافًا كبيرًا.

• سايكلوجون
• تروس حلقية
• قائمة الدوال الدورية
• منحنى التوتوكرون
• منحنى تروكويد (للنقاط الواقعة خارج الدائرة)

• تطبيق من الفيزياء : غاتاك، أ. وماهاديفان، ل. شارع الشقوق: الأثر الدائري لأسطوانة تخترق صفيحة. رسائل المراجعة الفيزيائية، 91، (2003). link.aps.org
• إدوارد كاسنر وجيمس نيومان (1940) الرياضيات والخيال ، الصفحات 196-200 ، سيمون وشوستر .
• ويلز د (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . نيويورك: كتب بنغوين. ص 445-447 . ISBN  0-14-011813-6.

• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "سيكلويد" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• وايسشتاين، إريك دبليو. "الدائرة" . عالم الرياضيات .تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أبريل 2007.
• الحلقات عند قطع العقدة
• دراسة حول المنحنى الدائري وجميع أشكال المنحنيات الدائرية ، دراسة من تأليف ريتشارد أ. بروكتور، الحاصل على درجة البكالوريوس، منشورة بواسطة مكتبة جامعة كورنيل .
• منحنيات السيكلويد من تأليف شون مادسن بمساهمات من ديفيد فون سيجيرن، مشروع عروض وولفرام .
• Cycloid على PlanetPTC (Mathcad)
• مدخل بصري لمسائل التفاضل والتكامل بقلم توم أبوستول