مبدأ دالمبير

مبدأ دالمبير ، المعروف أيضًا بمبدأ لاغرانج-دالمبير ، هو بيانٌ للقوانين الكلاسيكية الأساسية للحركة. سُمّيَ نسبةً إلى مكتشفه، الفيزيائي والرياضي الفرنسي جان لو رون دالمبير ، والرياضي الإيطالي الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج . يُعمّم مبدأ دالمبير مبدأ الشغل الافتراضي من الأنظمة الساكنة إلى الأنظمة الديناميكية، وذلك بإدخال قوى القصور الذاتي التي، عند إضافتها إلى القوى المؤثرة في النظام، تُؤدي إلى حالة توازن ديناميكي . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يمكن تطبيق مبدأ دالمبير في حالات القيود الحركية التي تعتمد على السرعات. ^{[ 1 ] : 92} ولا ينطبق هذا المبدأ على الإزاحات غير العكوسة، مثل الاحتكاك الانزلاقي ، ويتطلب الأمر تحديدًا أكثر عمومية لعدم العكوسية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ينص مبدأ دالمبير على أن مجموع الفروق بين القوى المؤثرة على نظام من الجسيمات الضخمة والمشتقات الزمنية لزخم النظام نفسه، المسقطة على أي إزاحة افتراضية تتوافق مع قيود النظام، يساوي صفرًا. وبالتالي، يُكتب مبدأ دالمبير رياضيًا على النحو التالي: $${\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,}$$

أين:

• ${\displaystyle i}$هو عدد صحيح يُستخدم للإشارة (عبر الرمز السفلي) إلى متغير يتوافق مع جسيم معين في النظام،
• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$هي القوة الكلية المطبقة (باستثناء قوى التقييد) على${\displaystyle i}$الجسيم رقم -،
• ${\displaystyle m_{i}}$كتلة${\displaystyle i}$الجسيم رقم -،
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$هي سرعة${\displaystyle i}$الجسيم رقم -،
• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$هو الإزاحة الافتراضية لـ${\displaystyle i}$الجسيم رقم -، بما يتوافق مع القيود.

تُستخدم طريقة نيوتن النقطية لتمثيل المشتقة بالنسبة للزمن. تُعرف المعادلة أعلاه غالبًا باسم مبدأ دالمبير، ولكن جوزيف لويس لاغرانج هو من كتبها لأول مرة بهذا الشكل التغيري . ^{[ 5 ]} تمثلت مساهمة دالمبير في إثبات أن قوى القيد تتلاشى في مجمل النظام الديناميكي. أي أن القوى المعممة${\displaystyle \mathbf {Q} _{j}}$لا يشترط تضمين قوى التقييد. وهو يعادل مبدأ غاوس لأقل تقييد، وهو مبدأ أكثر تعقيداً نوعاً ما .

أثبت دالمبير أنه يمكن تحويل جسم صلب متسارع إلى نظام ساكن مكافئ بإضافة ما يُسمى " قوة القصور الذاتي " و"عزم القصور الذاتي". يجب أن تؤثر قوة القصور الذاتي عبر مركز الكتلة، بينما يمكن أن يؤثر عزم القصور الذاتي في أي مكان. عندئذٍ، يمكن تحليل النظام تمامًا كنظام ساكن خاضع لـ"قوة القصور الذاتي وعزم القصور الذاتي" والقوى الخارجية. تكمن الميزة في أنه في النظام الساكن المكافئ، يمكن حساب العزوم حول أي نقطة (وليس فقط مركز الكتلة). غالبًا ما يؤدي هذا إلى حسابات أبسط، لأنه يمكن (بالتالي) حذف أي قوة من معادلات العزم باختيار النقطة المناسبة لتطبيق معادلة العزم عليها (مجموع العزوم = صفر). حتى في مقرر أساسيات الديناميكا وحركة الآلات، يُساعد هذا المبدأ في تحليل القوى المؤثرة على وصلة آلية أثناء حركتها. في كتب الديناميكا الهندسية، يُشار إلى هذا أحيانًا باسم مبدأ دالمبير .

يحذر بعض التربويين من أن محاولات استخدام ميكانيكا دالمبير بالقصور الذاتي تؤدي إلى ارتكاب الطلاب أخطاءً متكررة في الإشارات. ^{[ 10 ]} أحد الأسباب المحتملة لهذه الأخطاء هو إشارة قوى القصور الذاتي . يمكن استخدام قوى القصور الذاتي لوصف قوة ظاهرية في إطار مرجعي غير قصوري له تسارع.${\displaystyle \mathbf {a} }$بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري . في إطار مرجعي غير قصوري كهذا، فإن الكتلة الساكنة التي يكون تسارعها صفراً في نظام مرجعي قصوري، لعدم وجود قوى تؤثر عليها، ستظل تمتلك تسارعاً.${\displaystyle -\mathbf {a} }$وقوة قصور ذاتي ظاهرة، أو قوة زائفة أو وهمية${\displaystyle -m\mathbf {a} }$سيبدو أنه يؤثر عليه: في هذه الحالة، تكون قوة القصور الذاتي ذات إشارة سالبة. ^{[ 10 ]}

ينص مبدأ دالمبير للعمل الافتراضي على أن نظامًا من الأجسام الصلبة يكون في حالة اتزان ديناميكي عندما يكون العمل الافتراضي الناتج عن مجموع القوى المؤثرة وقوى القصور الذاتي مساويًا للصفر لأي إزاحة افتراضية للنظام. وبالتالي، فإن الاتزان الديناميكي لنظام من${\displaystyle n}$الأجسام الصلبة مع${\displaystyle m}$تتطلب الإحداثيات المعممة $${\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,}$$ لأي مجموعة من الإزاحات الافتراضية${\displaystyle \delta q_{j}}$مع${\displaystyle Q_{j}}$كونها قوة تطبيقية معممة و ${\displaystyle Q_{j}^{*}}$باعتبارها قوة قصور ذاتي معممة. ينتج عن هذا الشرط${\displaystyle m}$المعادلات، $${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$ والتي يمكن كتابتها أيضاً على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$ والنتيجة هي مجموعة من m معادلات الحركة التي تحدد ديناميكيات نظام الجسم الصلب.

يمكن إعادة صياغة مبدأ دالمبير بدلالة لاغرانجيان${\displaystyle L=T-V}$للنظام كنسخة معممة من مبدأ هاميلتون لحالة الجسيمات النقطية، كما يلي: $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ أين:

• ${\displaystyle \mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})}$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$القوى المطبقة

• ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}}$هو الإزاحة الافتراضية لـ${\displaystyle i}$الجسيم رقم -، بما يتوافق مع القيود${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$
• المنحنى الحرج يفي بالقيود${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$

مع لاغرانجيان $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},}$$ يتم استعادة البيان السابق لمبدأ دالمبير.

يمكن استخدام امتداد لمبدأ دالمبير في الديناميكا الحرارية. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، بالنسبة لنظام ديناميكي حراري مغلق أديباتي موصوف بدالة لاغرانجية تعتمد على إنتروبيا واحدة S وكتل ثابتة${\displaystyle m_{i}}$، مثل $${\displaystyle L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),}$$ وقد كُتب على النحو التالي $${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,}$$ حيث القيود السابقة${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$و${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$يتم تعميمها لتشمل الإنتروبيا على النحو التالي:

• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0}$
• ${\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.}$

هنا${\displaystyle T=\partial V/\partial S}$هي درجة حرارة النظام،${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$هي القوى الخارجية،${\displaystyle \mathbf {C} _{i}}$وهي القوى الداخلية المبددة للطاقة. وينتج عن ذلك معادلات التوازن الميكانيكي والحراري: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.}$$ تشمل التطبيقات النموذجية لهذا المبدأ الأنظمة الحرارية الميكانيكية، ونقل الأغشية، والتفاعلات الكيميائية.

ل${\displaystyle \delta S={\dot {S}}=0}$تم استعادة مبدأ دالمبير الكلاسيكي ومعادلاته.