متجه داربو

في الهندسة التفاضلية ، وخاصةً في نظرية المنحنيات الفضائية، يُعرف متجه داربو بأنه متجه السرعة الزاوية لإطار فرينيه لمنحنى فضائي. ^{[ 1 ]} وقد سُمي نسبةً إلى غاستون داربو الذي اكتشفه. ^{[ 2 ]} ويُطلق عليه أيضًا متجه الزخم الزاوي ، لأنه يتناسب طرديًا مع الزخم الزاوي .

فيما يتعلق بجهاز فرينيه-سيريه، يمكن التعبير عن متجه داربوكس ω على النحو التالي ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)}$

وله الخصائص المتناظرة التالية : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {T} =\mathbf {T'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} =\mathbf {N'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B} =\mathbf {B'} ,}$

والتي يمكن استنتاجها من المعادلة (1) عن طريق نظرية فرينيه-سيريه (أو العكس).

لنفترض أن جسمًا صلبًا يتحرك على طول منحنى منتظم موصوف بارامتريًا بالدالة β ( t ). يمتلك هذا الجسم نظام إحداثيات داخليًا خاصًا به . أثناء تحرك الجسم على طول المنحنى، يجب أن يظل نظام إحداثياته ​​الداخلي متوافقًا مع إطار فرينيه الخاص بالمنحنى. عندئذٍ، ستُوصَف حركة الجسم بمتجهين: متجه إزاحة، ومتجه دوران ω ، وهو متجه سرعة سطحية : متجه داربو.

لاحظ أن هذا الدوران حركي وليس فيزيائيًا، لأنه عادةً عندما يتحرك جسم صلب بحرية في الفضاء، يكون دورانه مستقلًا عن انتقاله. ويُستثنى من ذلك حالة تقييد دوران الجسم فيزيائيًا ليتوافق مع انتقاله، كما هو الحال في عربة قطار الملاهي .

لنفترض جسماً صلباً يتحرك بسلاسة على طول منحنى منتظم. بمجرد استبعاد الحركة الانتقالية، يُلاحظ أن الجسم يدور بنفس طريقة دوران إطار فرينيه الخاص به. الدوران الكلي لإطار فرينيه هو مجموع دورانات كل متجه من متجهات فرينيه الثلاثة.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }.}$

يتحرك كل متجه فرينيه حول "نقطة الأصل" التي تمثل مركز الجسم الصلب (اختر نقطة ما داخل الجسم وسمّها مركزه). السرعة السطحية للمتجه المماسي هي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t) \over 2\,\Delta t}}$

${\displaystyle ={\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T'} (t) \over 2}.}$

على نفس المنوال،

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\ \mathbf {N} (t)\times \mathbf {N'} (t),}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\ \mathbf {B} (t)\times \mathbf {B'} (t).}$

والآن قم بتطبيق نظرية فرينيه-سيريه لإيجاد مركبات السرعة السطحية:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={1 \over 2}\mathbf {T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {B'} =-{1 \over 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\tau \mathbf {T} }$

لهذا السبب.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} ,}$

كما هو مزعوم.

يوفر متجه داربو طريقة موجزة لتفسير الانحناء κ والالتواء τ هندسيًا: الانحناء هو مقياس دوران إطار فرينيه حول متجه الوحدة ثنائي العمودي ، بينما الالتواء هو مقياس دوران إطار فرينيه حول متجه الوحدة المماسي ^{. [ 2} ]