السرعة السطحية

في الميكانيكا الكلاسيكية ، السرعة المساحية ( وتسمى أيضًا سرعة القطاع ) هي متجه زائف يساوي طوله معدل تغير المساحة التي يمسحها جسيم أثناء تحركه على طول منحنى . ووحدتها في النظام الدولي للوحدات هي متر مربع لكل ثانية (م² ^/ ث) وطولها هو مربع الطول لكل وحدة زمن (ل² ^/ ت⁻¹ ⁾ .

في الشكل المجاور، لنفترض أن جسيمًا يتحرك على طول المنحنى الأزرق. عند لحظة زمنية معينة t ، يكون الجسيم عند النقطة B ، وبعد فترة وجيزة، عند اللحظة الزمنية t + Δt، ينتقل الجسيم إلى النقطة C. المنطقة التي يقطعها الجسيم مظللة باللون الأخضر في الشكل، ومحددة بالقطعتين المستقيمتين AB و AC والمنحنى الذي يتحرك عليه الجسيم. مقدار السرعة السطحية (أي السرعة السطحية ) هو مساحة هذه المنطقة مقسومة على الفترة الزمنية Δt عندما تصبح Δt صغيرة جدًا. يُفترض أن يكون اتجاه المتجه عموديًا على المستوى الذي يحتوي على متجهي الموضع والسرعة للجسيم، وفقًا لقاعدة اليد اليمنى .

إن حفظ السرعة السطحية هو خاصية عامة لحركة القوة المركزية ، ^{[ 1 ]} وفي سياق الميكانيكا الكلاسيكية، فهو يعادل حفظ الزخم الزاوي .

العلاقة مع الزخم الزاوي

توضيح لقانون كبلر الثاني. يتحرك الكوكب بسرعة أكبر بالقرب من الشمس، لذا يتم مسح نفس المساحة في فترة زمنية معينة كما هو الحال عند المسافات الأكبر، حيث يتحرك الكوكب ببطء أكبر.

ترتبط السرعة السطحية ارتباطًا وثيقًا بالزخم الزاوي . يمتلك أي جسم زخمًا زاويًا مداريًا حول نقطة الأصل، وهذا الزخم يساوي، حتى ثابت قياسي ضربي، السرعة السطحية للجسم حول نفس نقطة الأصل. من الخصائص الأساسية للزخم الزاوي أنه محفوظ تحت تأثير القوى المركزية (أي القوى المؤثرة شعاعيًا باتجاه نقطة الأصل أو بعيدًا عنها). تاريخيًا، كان قانون حفظ الزخم الزاوي يُصاغ بالكامل بدلالة السرعة السطحية.

يُعد قانون كبلر الثاني حالة خاصة من هذا القبيل ، إذ ينص على أن السرعة السطحية لكوكب ما، مع اعتبار الشمس نقطة الأصل، ثابتة مع الزمن. ولأن قوة الجاذبية المؤثرة على الكوكب تُعتبر قوة مركزية تقريبًا (نظرًا لصغر كتلة الكوكب مقارنةً بكتلة الشمس)، فإن الزخم الزاوي للكوكب (وبالتالي سرعته السطحية) يجب أن يبقى ثابتًا (تقريبًا). كان إسحاق نيوتن أول عالم يُدرك الأهمية الديناميكية لقانون كبلر الثاني. فباستخدام قوانينه للحركة، أثبت في عام 1684 أن أي كوكب ينجذب إلى مركز ثابت يمسح مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية. ولهذا السبب، سُمي قانون حفظ الزخم الزاوي تاريخيًا بـ"مبدأ المساحات المتساوية". وقد تم توسيع قانون حفظ الزخم الزاوي وتعميمه لاحقًا ليشمل حالات أكثر تعقيدًا يصعب وصفها باستخدام مفهوم السرعة السطحية. بما أن الشكل الحديث لقانون حفظ الزخم الزاوي يتضمن أكثر بكثير من مجرد قانون كبلر الثاني، فقد تم إسقاط تسمية "مبدأ المساحات المتساوية" في الأعمال الحديثة.

مدارات الكواكب ذات الانحرافات المدارية المتفاوتة. يدور الشعاع الأحمر بسرعة زاوية ثابتة وبنفس الفترة الزمنية المدارية للكوكب. $T=1$ .
S: الشمس في البؤرة الرئيسية، C: مركز القطع الناقص، S': البؤرة الثانوية.
في كل حالة، تكون مساحة جميع القطاعات المصورة متطابقة.
قليل	عالي
كوكب يدور حول الشمس في مدار دائري (e=0.0)	كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي انحراف معياري e=0.5
كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي انحراف معياري e=0.2	كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي انحراف معياري e=0.8

اشتقاق العلاقة مع الزخم الزاوي

في الحالة الموضحة في الشكل الأول، تكون المساحة التي يمسحها الجسيم خلال الفترة الزمنية Δt مساوية تقريبًا لمساحة المثلث ABC . وعندما تقترب Δt من الصفر، تصبح هذه المعادلة شبه تامة في النهاية .

لنفترض أن النقطة D هي الركن الرابع لمتوازي الأضلاع ABDC الموضح في الشكل، بحيث يكون مجموع المتجهين AB و AC وفقًا لقاعدة متوازي الأضلاع هو المتجه AD . عندئذٍ، تكون مساحة المثلث ABC نصف مساحة متوازي الأضلاع ABDC ، ومساحة ABDC تساوي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين AB و AC . يمكن أيضًا اعتبار هذه المساحة متجهًا (شبه متجه) بهذا المقدار، ويتجه في اتجاه عمودي على متوازي الأضلاع (وفقًا لقاعدة اليد اليمنى )؛ وهذا المتجه هو حاصل الضرب الاتجاهي نفسه. ${\text{مساحة متجه متوازي الأضلاع }}ABCD=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t).$

لذلك ${\text{مساحة المثلث ABC}} = {\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}.$

السرعة السطحية هي مساحة المتجه مقسومة على Δt في حالة كون Δt صغيرًا جدًا لدرجة التلاشي: ${\begin{aligned}{\text{السرعة المساحة}}&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\bigl (}\mathbf {r} (t)+\mathbf {r} \,'(t)\Delta t{\bigr )}}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}\left({\Delta t \over \Delta t}\right)\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} \,'(t)}{2}}.\end{aligned}}$

لكن، $\mathbf {r} \,'(t)$ هو متجه السرعة $\mathbf {v} (t)$ من الجسيم المتحرك، بحيث ${\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}.$

من ناحية أخرى، فإن الزخم الزاوي للجسيم هو

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} ,$

وبالتالي فإن الزخم الزاوي يساوي 2 متر مضروبًا في السرعة السطحية.

العلاقة مع ثنائيات الأقطاب المغناطيسية

ترتبط السرعة السطحية ارتباطًا وثيقًا بمفهوم ثنائيات الأقطاب المغناطيسية في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية. يمتلك كل تيار كهربائي كمية (شبه) متجهة تُسمى عزم ثنائي القطب المغناطيسي حول نقطة أصل معينة. في الحالة الخاصة التي يتكون فيها التيار من شحنة نقطية متحركة واحدة، يكون عزم ثنائي القطب المغناطيسي حول أي نقطة أصل معينة، حتى عامل قياسي، مساويًا للسرعة السطحية للشحنة حول نفس نقطة الأصل. في الحالة الأكثر عمومية حيث يتكون التيار من عدد كبير ولكنه محدود من الشحنات النقطية المتحركة، يكون عزم ثنائي القطب المغناطيسي هو مجموع عزوم ثنائيات الأقطاب لكل شحنة، وبالتالي، يتناسب مع مجموع السرعات السطحية لجميع الشحنات. في حالة استمرارية التيار حيث يصبح عدد الشحنات فيه لانهائيًا، يصبح المجموع تكاملًا؛ أي أن عزم ثنائي القطب المغناطيسي لتيار مستمر حول نقطة أصل معينة يكون، حتى عامل قياسي، مساويًا لتكامل السرعة السطحية على طول مسار التيار. إذا كان المسار الحالي عبارة عن حلقة مغلقة وإذا كان التيار هو نفسه في جميع النقاط في الحلقة، فإن هذا التكامل يصبح مستقلاً عن الأصل المختار، بحيث يصبح عزم ثنائي القطب المغناطيسي ثابتًا أساسيًا مرتبطًا بحلقة التيار.

انظر أيضاً

مراجع

↑ هود، مارتن (10 نوفمبر 2005). "الفصل 6. حركة القوة المركزية" (ملف PDF) . فيزياء 350/رياضيات تطبيقية 353 الميكانيكا الكلاسيكية 1. جامعة ويسترن . تم الاطلاع عليه في 15 أكتوبر 2021 .

للمزيد من القراءة

مولتون، ف. ر. (1970) [1914]. مقدمة في الميكانيكا السماوية . دوفر. رقم ISBN 978-0-486-64687-9.
جولدشتاين، هـ. (1980). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-486-68063-7.
كيسي، ج. (2007). "السرعة السطحية والزخم الزاوي للمسائل غير المستوية في ميكانيكا الجسيمات" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 75 (8): 677-685 . Bibcode : 2007AmJPh..75..677C . doi : 10.1119/1.2735630 .
براكنريدج، جيه بي (1995). مفتاح ديناميكا نيوتن: مسألة كبلر وكتاب الأصول الرياضية . بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنيا. ISBN 978-0-520-20217-7JSTOR 10.1525 / j.ctt1ppn2m .

[1] هود، مارتن (10 نوفمبر 2005). "الفصل 6. حركة القوة المركزية" (ملف PDF) . فيزياء 350/رياضيات تطبيقية 353 الميكانيكا الكلاسيكية 1. جامعة ويسترن . تم الاطلاع عليه في 15 أكتوبر 2021 .

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗