التماسك من الدرجة الأعلى

تُكتب دالة الارتباط من الدرجة الأولى المعيارية على النحو التالي: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{\frac {1}{2}}}},}$

أين${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$يشير إلى متوسط ​​إحصائي للمجموعة. في الحالات غير المستقرة، مثل النبضات، تتكون المجموعة من العديد من النبضات. عند التعامل مع العمليات الإرجودية، يمكن استبدال متوسط ​​المجموعة بمتوسط ​​زمني ^{[ 6 ]} . إذا اقتصرنا على الموجات المستوية المتوازية، فإن${\displaystyle \mathbf {r} =z}$.

في هذه الحالة، لن تعتمد نتيجة الحالات المستقرة على${\displaystyle t_{1}}$لكن فيما يتعلق بتأخير الوقت${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$(أو${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}+{\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$لو${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$).

وهذا يسمح لنا بكتابة صيغة مبسطة

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

حيث قمنا الآن بحساب المتوسط ​​على مدى t .

في مقاييس التداخل الضوئية، مثل مقياس تداخل ميكلسون ، ومقياس تداخل ماخ-زيندر ، ومقياس تداخل ساغناك ، يُقسّم المجال الكهربائي إلى مُركّبتين، ويُضاف تأخير زمني إلى إحداهما، ثم يُعاد تجميعهما. تُقاس شدة المجال الناتج كدالة للتأخير الزمني. في هذه الحالة تحديدًا، التي تتضمن شدتين متساويتين، تُعطى وضوح نمط التداخل الناتج بالمعادلة التالية: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\tau )\right|\\\nu &=\left|\gamma ^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|\end{aligned}}}$

حيث يتضمن التعبير الثاني دمج نقطتين في الزمكان من حقل. تتراوح درجة الوضوح من الصفر، بالنسبة للحقول الكهربائية غير المتماسكة، إلى واحد، بالنسبة للحقول الكهربائية المتماسكة. أي شيء بينهما يُوصف بأنه متماسك جزئيًا.

عمومًا،${\displaystyle \gamma ^{(1)}(0)=1}$و${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=\gamma ^{(1)}(-\tau )^{*}}$.

بالنسبة للضوء ذي التردد الواحد (لمصدر نقطي):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }}$

بالنسبة للضوء الفوضوي اللورنتزي (على سبيل المثال، الضوء المتسع نتيجة التصادم):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {|\tau |}{\tau _{c}}}}}$

بالنسبة للضوء الفوضوي الغاوسي (مثل الضوء المتسع دوبلر):

${\displaystyle \gamma ^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {\tau }{\tau _{c}}}\right)^{2}}}$

هنا،${\displaystyle \omega _{0}}$هو التردد المركزي للضوء و${\displaystyle \tau _{c}}$هو زمن تماسك الضوء.

الوصف الكلاسيكي لتجربة الشق المزدوج

في تجربة الشق المزدوج، التي أجراها توماس يونغ عام ١٨٠١، يُسمح للضوء الصادر من مصدر ضوئي بالمرور عبر فتحتين صغيرتين تفصل بينهما مسافة معينة، وتوضع شاشة على مسافة معينة من الفتحتين حيث يُرصد التداخل بين الموجات الضوئية (الشكل ١). تُظهر تجربة يونغ للشق المزدوج اعتماد التداخل على التماسك، وتحديدًا على الارتباط من الدرجة الأولى. تُعادل هذه التجربة مقياس التداخل ماخ-زيندر، مع ملاحظة أن تجربة يونغ للشق المزدوج تُعنى بالتماسك المكاني، بينما يعتمد مقياس التداخل ماخ-زيندر على التماسك الزمني. ^{[ ٤ ]}

شدة القياس عند الموضع${\displaystyle \mathbf {r} }$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$يكون

${\displaystyle \langle I\rangle =\langle |E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}\rangle =\langle I\rangle =I_{1}+I_{2}+2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|\cos {\phi (x_{1},x_{2})}}$.

يكون مجال الضوء في أعلى درجة من التماسك عندما يكون نمط التداخل المقابل له ذا تباين أقصى على الشاشة. ويُعرَّف تباين الأهداب على النحو التالي:${\displaystyle V={\frac {I_{\rm {max}}-I_{\rm {min}}}{I_{\rm {max}}+I_{\rm {min}}}}}$.

تقليديا،${\displaystyle I_{\rm {min}}^{\rm {max}}=I_{1}+I_{2}\pm 2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}$وبالتالي${\displaystyle V={\frac {2{\sqrt {I_{1}I_{2}}}|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|}{I_{1}+I_{2}}}}$بما أن التماسك هو القدرة على التداخل، فإن الرؤية والتماسك مرتبطان:

${\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=1}$يعني أعلى تباين، وتماسك كامل

${\displaystyle 0<|\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|<1}$يعني رؤية هامشية جزئية، وتماسك جزئي

${\displaystyle |\gamma ^{(1)}(x_{1},x_{2})|=0}$يعني ذلك انعدام التباين، وعدم الترابط التام. ^{[ 4 ] [ 2 ]}

تُكتب دالة الارتباط من الدرجة الثانية المعيارية على النحو التالي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}$.

لاحظ أن هذا ليس تعميمًا للتماسك من الدرجة الأولى.

إذا اعتبرنا المجالات الكهربائية كلاسيكية، فيمكننا إعادة ترتيبها للتعبير عن${\displaystyle g^{(2)}}$من حيث الشدة. الموجة المستوية المتوازية في حالة مستقرة ستكون لها

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}$.

التعبير أعلاه زوجي،${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}$بالنسبة للحقول الكلاسيكية، يمكن تطبيق متباينة كوشي-شفارتز على الشدات في التعبير أعلاه (لأنها أعداد حقيقية) لإثبات أن${\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}$عدم المساواة${\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0}$يُظهر ذلك أن${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }$بافتراض استقلالية الشدات عندما${\displaystyle \tau \to +\infty }$يؤدي إلى${\displaystyle g^{(2)}(+\infty )=1}$ومع ذلك، فإن التماسك من الدرجة الثانية لمتوسط ​​أهداب مخرجات مقياس التداخل التكميلية لحالة متماسكة هو 0.5 فقط (على الرغم من${\displaystyle g^{(2)}=1}$لكل مخرج). و${\displaystyle g^{(2)}}$(المحسوبة من المتوسطات) يمكن تقليلها إلى الصفر مع تطبيق مستوى تشغيل تمييزي مناسب على الإشارة (ضمن نطاق التماسك).

يقال إن الضوء يكون متجمعاً إذا${\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}$ومضاد للتكتل إذا${\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}$.

يتم تجميع الضوء الفوضوي من جميع الأنواع (الموسع لورنتزيان أو غاوسيان) ، وفقًا لعلاقة سيجرت ^{[ 9 ].}${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+\left|g^{(1)}(\tau )\right|^{2}}$لاحظ أن تأثير هانبري براون وتويس يستخدم هذه الحقيقة لإيجاد${\displaystyle \left|g^{(1)}(\tau )\right|}$من قياس${\displaystyle g^{(2)}(\tau )}$يمكن اعتبار تكتل الضوء الفوضوي ناتجًا عن تغيرات زمنية في احتمالية الانبعاث بسبب الانبعاث المحفز . بمعنى آخر، بمجرد انبعاث فوتون تلقائيًا، يجب أن ينتقل عبر الوسط المُشع قبل أن يشع في المجال البعيد. خلال هذا الانتقال القصير، يمكن أن يتسبب في انبعاث محفز في حالات إثارة أخرى، مما يؤدي إلى زيادة احتمالية انبعاث الفوتونات بشكل متماسك مع تأخير زمني شبه معدوم، أي ذروة في${\displaystyle g^{(1)}(\tau )}$في${\displaystyle \tau =0}$.

بالنسبة للضوء ذي التردد الواحد: ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1}$وبالتالي، فإن ضوء الليزر ليس متجمعاً ولا متضاداً.

في حالة عدم تكتل الفوتونات ، لـ${\displaystyle \tau =0}$لدينا${\displaystyle g^{(2)}(0)=0}$بالنسبة لمصدر فوتون واحد لأن

${\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},}$

أين${\displaystyle n}$هل عدد الفوتونات قابل للملاحظة؟ ^{[ 10 ]}

In quantum mechanics, the positive and negative frequency components of the electric field are replaced by the operators${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$ and ${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$ respectively. In the Heisenberg picture,

${\displaystyle {\hat {E}}^{+}=i\sum \limits _{\mathbf {k} ,\mu }{\sqrt {\frac {\hbar \omega _{k}}{2\epsilon _{0}V}}}{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mu }e^{i\mathbf {k} .\mathbf {r} }\mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}$,

where ${\displaystyle \mathbf {k} }$ is the polarization vector, ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathbf {k} ,\mu }}$ is the unit vector perpendicular to ${\displaystyle \mathbf {k} }$, with ${\displaystyle \mu }$ signifying one of the two vectors that are perpendicular to the polarization vector, ${\displaystyle \omega _{k}}$ is the frequency of the mode and ${\displaystyle V}$ is the volume.^[2] The n-th order quantum correlation function is defined as:

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1})...{\hat {E}}^{-}(x_{n}){\hat {E}}^{+}(x_{n+1})...{\hat {E}}^{+}(x_{2n})]}$.

The ordering of the ${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$ and ${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$ operators do matter. This is because the positive and the negative frequency (${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$ and ${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$) components are proportional the annihilation and the creation operators respectively, and ${\displaystyle {\hat {a}}}$ and ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ do not commute. When the operators are written in the order shown in the equation above, they are said to be in a normal ordering. Subsequently, the n-th order normalized correlation function is defined as:

${\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})={\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{G^{(1)}(x_{1},x_{1})...G^{(1)}(x_{n},x_{n})}}}$.

A field is said to m-th order coherent if the m-th normalized correlation function is unity. This definition holds for both ${\displaystyle \gamma ^{(m)}}$ and ${\displaystyle g^{(m)}}$.

In the Hanbury Brown and Twiss experiment (Figure 2.), a light beam is split using a beam splitter and then detected by detectors, which are equidistant from the beam splitter. Subsequently, signal measured by the second detector is delayed by time ${\displaystyle \tau }$ and the coincidence rate between the original and delayed signal is counted. This experiment correlates intensities, ${\displaystyle |E^{+}(\mathbf {r} ,t+\tau )E^{+}(\mathbf {r} ,t)|^{2}}$, rather than electric fields and hence measures the second order correlation function

${\displaystyle G_{c}^{(2)}(t,t+\tau ,t+\tau ,t)=\langle E^{-}(t)E^{-}(t+\tau )E^{+}(t+\tau )E^{+}(t)\rangle }$.

Under the assumption of stationary statistics, at a given position, the normalized correlation function is

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{+}(0)\rangle }{\langle {\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)\rangle \langle {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau )\rangle }}}$.

${\displaystyle g^{(2)}}$ here measures the probability of coincidence of two photons being detected with a time difference ${\displaystyle \tau }$.^[4]

For all varieties of chaotic light, the following relationship between the first order and second-order coherences holds:

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}}$.

This relationship is true for both the classical and quantum correlation functions. Moreover, as ${\displaystyle |g^{(1)}(\tau )|}$ always takes a value between 0 and 1, for a chaotic light beam, ${\displaystyle 1\leq g^{(2)}\leq 2}$كان مصدر الضوء الذي استخدمه هانبري براون وتويس هو ضوء النجوم، وهو ضوء فوضوي. استخدم هانبري براون وتويس هذه النتيجة لحساب التماسك من الدرجة الأولى من قياسهما للتماسك من الدرجة الثانية. وكان منحنى التماسك من الدرجة الثانية المرصود كما هو موضح في الشكل 2. ^{[ 11 ]}

لمصدر ضوء غاوسي${\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}$غالباً ما يكون مصدر الضوء الغاوسي فوضوياً، وبالتالي،

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-{\frac {\pi }{2}}({\frac {\tau }{\tau _{0}}})^{2}}}$.

يتوافق هذا النموذج مع الملاحظة التي أجراها هانبري براون وتويس باستخدام ضوء النجوم كما هو موضح في الشكل 3. إذا استُخدم الضوء الحراري بدلًا من ضوء النجوم في نفس الإعداد، فسنرى دالة مختلفة للتماسك من الدرجة الثانية. ^{[ 11 ]} يمكن نمذجة الضوء الحراري على أنه طيف قدرة لورنتزي متمركز حول التردد${\displaystyle \omega _{0}}$وهذا يعني${\displaystyle \langle E^{*}(0)E(\tau )\rangle =E_{0}^{2}e^{-|\tau |/\tau _{0}}}$، أين${\displaystyle \tau _{0}}$يمثل طول تماسك الشعاع. وبناءً على ذلك،${\displaystyle g^{(1)}=e^{-i\omega _{0}\tau -|\tau |/\tau _{0}}}$و${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}$. يظهر التماسك من الدرجة الثانية للضوء النجمي (الغاوسي) والحراري (اللورنتزي) والمتماسك في الشكل 4.

عندما يكون الضوء الفوضوي متماسكًا من الدرجة الأولى، أي${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$، ثم ${\displaystyle g^{(2)}(0)=2}$وهذا يعني أن الضوء غير متماسك من الدرجة الثانية. ^{[ 2 ] [ 11 ]} من ناحية أخرى، يتمتع الضوء الصادر من مصدر ليزر تقليدي بتماسك من الدرجة الأولى والثانية. تجدر الإشارة إلى أنه من حيث المبدأ، يمكن أن يوجد مجال ضوئي ذو طيف عشوائي متماسك من جميع الرتب. ^{[ 12 ]}

الوصف الكمي

بشكل تقليدي، يمكننا أن نتصور شعاع الضوء على أنه يمتلك توزيعًا احتماليًا كدالة لسعات الأنماط،${\displaystyle P(\{\alpha _{k}\})}$وفي هذه الحالة، دالة الارتباط من الدرجة الثانية

${\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=\langle E^{-}(\tau )E^{+}(\tau )E^{-}(0)E^{+}(0)\rangle =\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}$.

إذا افترضنا أن الحالة الكمومية للجهاز هي

${\displaystyle \rho =\int d\{\alpha _{k}\}P(\{\alpha _{k}\})|\{\alpha _{k}\}\rangle \langle \{\alpha _{k}\}|}$،

ثم دالة الارتباط الكمومي،

${\displaystyle G^{(2)}(\tau ,0)=Tr[\rho {\hat {E}}^{-}(\tau ){\hat {E}}^{+}(\tau ){\hat {E}}^{-}(0){\hat {E}}^{+}(0)]=\int P(\{\alpha _{k}\})E^{*}(\tau )E(\tau )E^{*}(0)E(0)d\{\alpha _{k}\}}$،

وهو ما يتطابق مع النتيجة الكلاسيكية. ^{[ 13 ]}

على غرار تجربة يونغ ذات الشق المزدوج، يؤدي الوصف الكلاسيكي والكمي إلى النتيجة نفسها، لكن هذا لا يعني أن الوصفين متكافئان. كلاسيكيًا، تصل حزم الضوء كموجة كهرومغناطيسية وتتداخل وفقًا لمبدأ التراكب. أما الوصف الكمي فليس بهذه البساطة. لفهم دقة الوصف الكمي، افترض أن الفوتونات من المصدر تنبعث بشكل مستقل عن بعضها البعض، وأن مقسم الحزمة لا يقسمها. عندما تكون شدة المصدر منخفضة جدًا، بحيث لا يُرصد إلا فوتون واحد في أي لحظة، مع الأخذ في الاعتبار احتمالية حدوث مصادفات عرضية مستقلة إحصائيًا عن الزمن، فإن عداد المصادفات لا يتغير بتغير الزمن. مع ذلك، وكما هو موضح في الشكل 3، بالنسبة لضوء النجوم${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+e^{-2|\tau |/\tau _{0}}}$لذلك دون أي تأخير زمني${\displaystyle g^{(2)}(0)=2}$ومع تأخير زمني كبير${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }g^{(2)}(\tau )=1}$لذا، حتى في غياب أي تأخير زمني، كانت الفوتونات القادمة من المصدر تصل في أزواج! يُطلق على هذه الظاهرة اسم تجميع الفوتونات . علاوة على ذلك، إذا استُخدم ضوء ليزر عند المصدر بدلًا من الضوء العشوائي، فإن التماسك من الدرجة الثانية سيكون مستقلًا عن التأخير الزمني. تُتيح تجربة HBT تمييزًا جوهريًا في طريقة انبعاث الفوتونات من الليزر مقارنةً بمصدر الضوء الطبيعي. هذا التمييز لا يُمكن رصده بالوصف الكلاسيكي لتداخل الموجات. ^{[ 3 ]}

يُطلق على الحقل اسم حقل متماسك من الرتبة m إذا وُجدت دالة${\displaystyle E(x)}$بحيث تكون جميع دوال الارتباط لـ${\displaystyle n<m}$تحليل إلى عوامل. وهذا يعني من الناحية الرمزية:

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\prod \limits _{j=1}^{n}E^{*}(j)E^{*}(j+1)}$.

هذه قابلية تحليل جميع${\displaystyle n<m}$تشير دوال الارتباط إلى أن${\displaystyle |G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|^{2}=\prod \limits _{j=1}^{2n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}$. مثل${\displaystyle g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}$تم تعريفها على أنها${\displaystyle {\frac {G^{(n)}(x_{1},...,x_{n};x_{n},...,x_{1})}{\prod \limits _{j=1}^{n}G^{(1)}(x_{j},x_{j})}}}$وبناءً على ذلك${\displaystyle |g^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})|=1}$ل${\displaystyle n<m}$إذا كان الحقل متماسكًا من الدرجة m . ^{[ 14 ]} بالنسبة لحقل متماسك من الدرجة m ، فإن${\displaystyle m}$سيتم الكشف عن الفوتونات بشكل مستقل إحصائياً عن بعضها البعض. ^{[ 3 ]}

إذا وُجد حدٌّ أعلى لعدد الفوتونات التي يمكن أن تتواجد في المجال، فإن هناك حدًّا أعلى للتماسك من الرتبة M الذي يمكن أن يمتلكه المجال. وذلك لأن${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$يتناسب مع عامل الإفناء. ولتوضيح ذلك، ابدأ بحالة مختلطة للحقل.${\displaystyle \sum \limits _{n,m}c_{n,m}|n\rangle \langle m|}$إذا كان لهذا المجموع حد أعلى على n ، فإن m أي${\displaystyle M>n,m}$،${\displaystyle \mathrm {Tr} [\rho {\hat {E}}^{+}(x_{1})...{\hat {E}}^{+}(x_{p})]}$يتناسب مع

${\displaystyle \mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle \langle m|]=\sum \limits _{n,m}c_{n,m}\langle m|{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|n\rangle =0}$

ل${\displaystyle p>m}$ستكون هذه النتيجة غير بديهية في الوصف الكلاسيكي، ولكن لحسن الحظ ليس لمثل هذه الحالة نظير كلاسيكي لأنه لا يمكننا وضع حد أعلى لعدد الفوتونات في الحالة الكلاسيكية. ^{[ 3 ]}

عند التعامل مع البصريات الكلاسيكية، غالبًا ما يفترض الفيزيائيون أن إحصائيات النظام ثابتة. وهذا يعني أنه على الرغم من أن الملاحظات قد تتقلب، فإن الإحصائيات الأساسية للنظام تظل ثابتة مع مرور الوقت. أما النظير الكمي للإحصائيات الثابتة فهو اشتراط أن يكون مؤثر الكثافة، الذي يحتوي على معلومات حول دالة الموجة، متبادلًا مع الهاميلتوني. وبفضل معادلة شرودنغر ،${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {-i}{h}}[H,\rho ]}$تشير الإحصاءات الثابتة إلى أن عامل الكثافة مستقل عن الزمن. وبالتالي، في${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})}$بسبب دورية الأثر، يمكننا تحويل استقلال عامل الكثافة عن الزمن في صورة شرودنغر إلى استقلال عامل الكثافة عن الزمن.${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$و${\displaystyle {\hat {E}}^{-}}$، في صورة هايزنبرغ، مما يعطينا

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t)....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t)...{\hat {E}}^{+}(x_{2n,t})]}$${\displaystyle =\mathrm {Tr} [{\hat {\rho }}{\hat {E}}^{-}(x_{1},t+\tau )....{\hat {E}}^{-}(x_{n},t+\tau ){\hat {E}}^{+}(x_{n+1},t+\tau )...{\hat {E}}^{+}(x_{2n},t+\tau )]}$.

هذا يعني أنه بافتراض أن الإحصاءات الأساسية للنظام ثابتة، فإن دوال الارتباط من الرتبة n لا تتغير عند إزاحة كل وسيط زمني بنفس المقدار. بعبارة أخرى، بدلاً من النظر إلى الأوقات الفعلية، فإن دالة الارتباط تهتم فقط بـ${\displaystyle 2n-1}$الفروق الزمنية. ^{[ 3 ]}

الحالات المتماسكة هي حالات ميكانيكية كمومية تتميز بأقصى قدر من التماسك وتُظهر سلوكًا أقرب ما يكون إلى السلوك "الكلاسيكي". تُعرَّف الحالة المتماسكة بأنها الحالة الميكانيكية الكمومية التي تمثل الحالة الذاتية لمؤثر المجال الكهربائي.${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$. مثل${\displaystyle {\hat {E}}^{+}}$تتناسب الحالة المتماسكة طرديًا مع عامل الإفناء، وهي حالة ذاتية لعامل الإفناء. بالنظر إلى حالة متماسكة${\displaystyle |\alpha \rangle }$،

${\displaystyle G^{(n)}(x_{1},...,x_{2n})=\mathrm {Tr} [\sum \limits _{n,m}c_{n,m}{\hat {a}}...{\hat {a}}|\alpha \rangle \langle \alpha |]=\langle \alpha |{\hat {a}}...({\text{p times}})...{\hat {a}}|\alpha \rangle =1}$.

وبالتالي، فإن الحالات المتماسكة لها جميع رتب التماسك على أنها غير صفرية. ^{[ 15 ]}