نظرية دينجوي حول عدد الدوران

في الرياضيات ، تُقدّم نظرية دينجوي شرطًا كافيًا لكي يكون التماثل التفاضلي للدائرة مترافقًا طوبولوجيًا مع تماثل تفاضلي من نوع خاص، وهو الدوران غير النسبي . وقد برهن دينجوي ( 1932 ) على هذه النظرية في سياق تصنيفه الطوبولوجي للتماثلات الموضعية للدائرة. كما قدّم مثالًا على تماثل تفاضلي من الفئة ^C1 ذي عدد دوران غير نسبي غير مترافق مع دوران. 

ليكن ƒ : S ¹ → S ¹ تحويلاً تماثلياً يحافظ على اتجاه الدائرة، ويكون عدد دورانه θ = ρ ( ƒ ) عدداً غير نسبي . بافتراض أن له مشتقة موجبة ƒ ′ ( x ) > 0، وهي دالة متصلة ذات تغير محدود على الفترة [0,1). عندئذٍ، يكون ƒ مترافقاً طوبولوجياً مع الدوران غير النسبي بمقدار θ . علاوة على ذلك، كل مدار كثيف ، وكل فترة غير تافهة I من الدائرة تتقاطع مع صورتها الأمامية ƒ ° ^q ( I )، حيث q > 0 (وهذا يعني أن المجموعة غير المتجولة لـ ƒ هي الدائرة بأكملها).     

إذا كانت ƒ خريطة C ² ، فإن الفرضية المتعلقة بالمشتقة صحيحة؛ ومع ذلك، بالنسبة لأي عدد دوران غير نسبي، قام Denjoy بإنشاء مثال يوضح أنه لا يمكن تخفيف هذا الشرط إلى C ¹ ، قابلية التفاضل المستمر لـ ƒ . 

أظهر فلاديمير أرنولد أن الدالة المرافقة لا يشترط أن تكون سلسة ، حتى بالنسبة للتشاكل التحليلي للدائرة. وفي وقت لاحق، أثبت ميشيل هيرمان أنه مع ذلك، فإن الدالة المرافقة للتشاكل التحليلي تكون تحليلية بحد ذاتها لمعظم أعداد الدوران، مشكلةً مجموعة ذات قياس ليبيغ كامل ، أي تلك التي يصعب تقريبها بالأعداد النسبية. وتُعد نتائجه أكثر عمومية، إذ تُحدد فئة قابلية التفاضل للدالة المرافقة للتشاكلات من النوع C_^r مع أي قيمة لـ r ≥ 3.   

• خريطة الدائرة

• Denjoy، Arnaud (1932)، “Sur les courbes definies par les équations différentielles à la surface du tore.” ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (بالفرنسية)، 11 : 333–375 ، Zbl 0006.30501 ، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2007-12-12 ، استرجاعها 2012-02-13 
• هيرمان، مر. (1979)، “ Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des Rotation ” ، Publ. الرياضيات. IHÉS (بالفرنسية)، 49 : 5– 234، دوى : 10.1007/BF02684798 ، S2CID 118356096 ، Zbl 0448.58019  
• كورنفيلد، سيناء، فومين، النظرية الأرجودية .

• جون ميلنور ، نظرية دينجوي