مجموعة التجوال

في الأنظمة الديناميكية ونظرية الإرجودية ، يُضفي مفهوم المجموعة المتجولة طابعًا رسميًا على فكرة معينة عن الحركة والاختلاط . عندما يمتلك نظام ديناميكي مجموعة متجولة ذات قياس غير صفري، يكون النظام حينها نظامًا تبديديًا . وهذا عكس النظام المحافظ ، الذي تنطبق عليه نظرية بوانكاريه التكرارية . وبشكل بديهي، يسهل فهم العلاقة بين المجموعات المتجولة والتبديد: إذا "تجول" جزء من فضاء الطور خلال التطور الزمني الطبيعي للنظام، ولم يُزر مرة أخرى، فإن النظام يكون تبديديًا. يمكن استخدام مصطلح المجموعات المتجولة لإعطاء تعريف رياضي دقيق لمفهوم النظام التبديدي. وقد قدم بيركوف مفهوم المجموعات المتجولة في فضاء الطور عام 1927.

يبدأ التعريف الشائع للمجموعات المتجولة في الزمن المتقطع بخريطة.${\displaystyle f:X\to X}$من فضاء طوبولوجي X. نقطة${\displaystyle x\in X}$يُقال إن النقطة x هي نقطة تجوال إذا وُجد جوار U للنقطة x وعدد صحيح موجب N بحيث يكون لكل${\displaystyle n>N}$، الخريطة المتكررة غير متقاطعة:

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

يتطلب تعريفٌ أبسط أن يكون قياس التقاطع صفرًا . وبدقة، يتطلب التعريف أن يكون X فضاءً قياسيًا ، أي جزءًا من ثلاثية.${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$من مجموعات بوريل${\displaystyle \Sigma }$ومقياس${\displaystyle \mu }$بحيث

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

للجميع${\displaystyle n>N}$وبالمثل، سيكون لنظام الزمن المستمر خريطة${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$تحديد التطور الزمني أو تدفق النظام، باستخدام عامل التطور الزمني${\displaystyle \varphi }$كونها دالة تأثير مجموعة أبيلية مستمرة ذات معلمة واحدة على X :

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

في مثل هذه الحالة، نقطة تائهة${\displaystyle x\in X}$سيكون لها جوار U لـ x ووقت T بحيث يكون لجميع الأوقات${\displaystyle t>T}$، الخريطة المتطورة مع الزمن ذات قياس صفري:

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

يمكن تعميم هذه التعريفات الأبسط بشكل كامل على فعل المجموعة لمجموعة طوبولوجية . ليكن${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$ليكن فضاء قياس، أي مجموعة ذات قياس معرف على مجموعاتها الجزئية بوريل .${\displaystyle \Gamma }$ كن مجموعة تعمل على تلك المجموعة. بالنظر إلى نقطة${\displaystyle x\in \Omega }$، المجموعة

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

يُطلق عليه مسار أو مدار النقطة x .

عنصر${\displaystyle x\in \Omega }$تُسمى نقطة تجوال إذا وُجدت جوار U لـ x وجوار V للعنصر المحايد في${\displaystyle \Gamma }$ بحيث

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

للجميع${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$.

النقطة الثابتة هي عكس ذلك. في الحالة المنفصلة،${\displaystyle x\in X}$تكون المجموعة غير متجولة إذا كان لكل مجموعة مفتوحة U تحتوي على x ولكل N > 0، يوجد عدد n > N بحيث

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

وتتبع تعريفات مماثلة لأفعال المجموعة المستمرة في الزمن، وأفعال المجموعة المنفصلة والمستمرة.

المجموعة المتجولة هي مجموعة من النقاط المتجولة. وبشكل أدق، هي مجموعة جزئية W من$أوميغا$هي مجموعة متنقلة تحت تأثير مجموعة منفصلة${\displaystyle \Gamma }$إذا كان W قابلاً للقياس، وإذا كان، لأي${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$التقاطع

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

هي مجموعة قياسها صفر.

إن مفهوم المجموعة المتجولة هو، بمعنى ما، مكافئ للأفكار الواردة في نظرية بوانكاريه للتكرار. إذا وُجدت مجموعة متجولة ذات قياس موجب، فإن تأثيرها${\displaystyle \Gamma }$ويُقال إنه نظام تبديدي ، والنظام الديناميكي${\displaystyle (\Omega ,\Gamma )}$يُقال إن النظام مُبدد للطاقة . إذا لم تكن هناك مجموعة متجولة من هذا النوع، يُقال إن الفعل محافظ ، ويكون النظام نظامًا محافظًا . على سبيل المثال، أي نظام تنطبق عليه نظرية بوانكاريه التكرارية لا يمكن أن يحتوي، بحكم التعريف، على مجموعة متجولة ذات قياس موجب؛ وبالتالي فهو مثال على نظام محافظ.

عرّف مسار مجموعة متجولة W على النحو التالي:

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

فعل${\displaystyle \Gamma }$يُقال إنها مبددة تمامًا إذا وُجدت مجموعة متجولة W ذات قياس موجب، بحيث يكون المدار${\displaystyle W^{*}}$يساوي تقريبًا في كل مكان$أوميغا$أي إذا

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

هي مجموعة قياسها صفر.

ينص تحليل هوبف على أنه يمكن تقسيم كل فضاء قياس ذي تحويل غير منفرد إلى مجموعة محافظة ثابتة ومجموعة متجولة ثابتة.

• نظرية عدم التجوال

• نيكولز، بيتر ج. (1989). النظرية الإرجودية للمجموعات المنفصلة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-37674-2.
• ألكسندر آي. دانيلينكو وسيزار إي. سيلفا (8 أبريل 2009). نظرية الإرجودية: التحويلات غير المنفردة ؛ انظر Arxiv arXiv:0803.2424 .
• كرينجل ، أولريش (1985)، نظريات أرجوديك ، دراسات دي جرويتر في الرياضيات، المجلد.  6، دي جرويتر، ISBN 3-11-008478-3